이너 모델

수학적 논리학의 한 분야인 집합론에서 이론 T의 내적 모델은^[1] T의 모델이며 M의 모든 서수를 포함하는 집합 이론의 모델 M의 하부 구조다.

정의

$Let{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ∈ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle L=\langle \in \angle}}$이(가) 집합 이론의 언어가$$ 된다. 예를 들어 S는 특정한 집합 이론으로, 예를 들어 ZFC 공리와 T(아마도 S와 동일할 것임)도 L ${\displaystyle L}$의 이론으로 하자$.$

M이 S에 대한 모델이고 $N$이 L ${\displaystyle L}$ 구조인$$ 경우

1. N은 M의 하부 구조로, 즉, N에서 $\in {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in$$_{N}$의 해석$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2 {\$displaystyle {\in _{M}\cap$ N$^{2$}}이다.
2. N은 T의 모델이다.
3. N의 영역은 M의 타동급이다.
4. N은 M의 모든 서수를 포함한다.

그러면 우리는 N이 T의 내부 모델(M)이라고 말한다.^[2] 보통 T는 S와 같거나 가라앉기 때문에 N은 S의 모델 M의 '내부' 모델이다.

조건 1과 2만 유지하면 N은 T(M)의 표준 모델이라고 하고, T(S = T 및)의 표준 하위 모델은 M으로 설정한다. M에서 T의 N 모델은 그것이 표준이고 조건 3이 유지될 때 transitive라고 불린다. 기초의 공리가 가정되지 않은 경우(즉, S에 있지 않은 경우) 이 세 가지 개념은 모두 N의 근거가 충분하다는 추가 조건이 주어진다. 그러므로 내부 모델은 전이적이고, 전이 모델은 표준이며, 표준 모델은 근거가 충분하다.

(주어진 우주에) ZFC의 표준 하위 모델이 존재한다는 가정은 모델이 존재한다는 가정보다 강하다. 실제로 표준 하위 모델이 있다면 모든 표준 하위 모델에 포함된 최소 모델이라는 최소 표준 하위 모델이 있다. 최소 하위모듈은 표준 하위모듈을 포함하지 않지만 (ZFC의 일관성을 가정할 때) 괴델 완전성 정리에 의한 ZFC의 일부 모델을 포함한다. 이 모델은 반드시 근거가 확실하지 않다. 그렇지 않으면 모스토스키 붕괴는 표준 하위 모델일 것이다. (내부적으로는 토대 공리를 만족시키지만, 우주에서는 관계로서 근거가 충분히 성립되지 않는다. 근거가 충분한 것은 절대재산이 아니다.)^[3] 특히 최소 하위 모델에는 ZFC 모델이 있지만 ZFC의 표준 하위 모델은 없다.

사용하다

보통 어떤 이론의 내부 모델에 대해 이야기할 때, 그 이론은 ZFC 또는 ZFC의 일부 확장(예: ZFC + $\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \exists}$는 측정$$ 가능한 추기경)이다. 이론이 언급되지 않을 때, 일반적으로 논의 중인 모델은 ZFC의 내부 모델이라고 가정한다. 그러나 ZFC(ZF나 KP와 같은)의 하위이념의 내부 모델에 대해서도 말하는 것은 드문 일이 아니다.

관련 아이디어

어떤 ZF 모델도 구성 가능한 우주라고 불리는 ZF의 최소 내측 모델(ZFC + GCH의 내측 모델이기도 하다)을 가지고 있다는 것이 커트 괴델에 의해 증명되었다.

ZF를 확장하는 이론의 최소 내적 모델을 구성하는 방법을 연구하는 내적 모델 이론이라고 불리는 집합 이론의 한 가지가 있다. 내적 모델 이론은 많은 중요한 집합 이론적 성질의 정확한 일관성 강도의 발견으로 이어졌다.

참고 항목

• 계산 가능한 전이 모델 및 일반 필터

참조