계단 역설

Staircase paradox
점으로 단위 사각형 대각선으로 수렴하지만 그 길이로 수렴하지 않는 계단

수학적 해석에서 계단 역설은 곡선의 한계가 [1]곡선의 길이를 반드시 보존하는 것은 아니라는 것을 보여주는 병리학적 예이다.이 계단은 길이가 감소하는 수평 및 수직 선 세그먼트에서 형성된 단위 사각형의 "계단" 폴리곤 체인 시퀀스로 구성되므로 이러한 계단이 사각형의 [2]대각선으로 균일하게 수렴됩니다.그러나 각 계단은 길이가 2인 반면 대각선의 길이는 2의 제곱근이므로 계단 길이의 시퀀스는 대각선의 [3][4]길이로 수렴되지 않습니다.마틴 가드너는 이것을 "고대 기하학적 역설"[5]이라고 부른다.균일한 수렴 하의 곡선의 경우 곡선의 길이가 [6]곡선의 연속 함수가 아님을 보여준다.

부드러운 곡선의 경우 세그먼트 길이가 0으로 감소하고 원곡선을 따라 연속된 정점을 연결하는 다각형 체인은 항상 호 길이로 수렴됩니다.계단 곡선이 올바른 길이로 수렴되지 않는 것은 일부 정점이 [7]대각선에 있지 않다는 사실로 설명할 수 있습니다.고차원에서는 슈바르츠 랜턴이 곡면에 [8]점으로 수렴하는 다면체 표면이 정점이 모두 표면에 있는 경우에도 반드시 면적으로 수렴할 필요는 없다는 것을 보여주는 유사한 예를 제공합니다.

수학 [9]교육에서 호 길이에 대한 신중한 정의의 필요성을 강조할 뿐만 아니라, 역설은 디지털 기하학에서 적용되며,[10] 여기서 단순히 픽셀 사이의 경계 길이를 합하는 것이 아닌 픽셀화된 형상의 둘레를 추정하는 방법에 동기를 부여합니다.

「 」를 참조해 주세요.

  • 앨리어싱(Aliasing), 픽셀화로 인한 부정확성의 보다 일반적인 현상
  • 칸토르 계단, 단위 정사각형의 대각선을 따른 프랙탈 곡선
  • 계단과 대각선의 길이가 동일한 택시카브 기하학

레퍼런스

  1. ^ Moscovich, Ivan (2006), Loopy Logic Problems and Other Puzzles, New York: Sterling Publishing, p. 23, ISBN 9780486490694
  2. ^ Farrell, Margaret A. (February 1975), "An intuitive leap or an unscholarly lapse?", The Mathematics Teacher, 68 (2): 149–152, doi:10.5951/mt.68.2.0149, JSTOR 27960047
  3. ^ Sedaghat, H. (2022), Real Analysis and Infinity, Oxford University Press, p. 9, ISBN 9780192895622
  4. ^ Stewart, Ian (2017), "Diagonal of a square", Infinity: A Very Short Introduction, Oxford University Press, pp. 43 & 54, ISBN 9780191071515
  5. ^ Thompson, Silvanus P.; Gardner, Martin (1998), "Appendix: Some recreational problems related to calculus", Calculus Made Easy, Palgrave, pp. 296–325. 페이지 305-306을 참조하십시오.
  6. ^ Sinitsky, Ilya; Ilany, Bat-Sheva (2016), Change and Invariance: A Textbook on Algebraic Insight into Numbers and Shapes, Sense Publishers, pp. 375–376, doi:10.1007/978-94-6300-699-6, ISBN 978-94-6300-699-6
  7. ^ Krantz, Steven G. (2010), "15.1: How to measure the length of a curve", An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture Through Problem Solving, MAA Textbooks, Washington, DC: Mathematical Association of America, pp. https://books.google.com/books?id=ulmAH-6IzNoC&pg=PA249, ISBN 978-0-88385-766-3, MR 2604456
  8. ^ Ogilvy, C. Stanley (1962), "Note to page 7", Tomorrow's Math: Unsolved Problems for the Amateur, Oxford University Press, pp. 155–161
  9. ^ 특히 페이지 16을 참조해 주세요Bennett, Albert A. (February 10, 1920), "Limit proofs in geometry", The Texas Mathematics Teachers' Bulletin, 5 (2): 12–22.
  10. ^ Klette, Reinhard; Yip, Ben (2000), "The length of digital curves", Machine Graphics and Vision, 9 (3): 673–703

외부 링크