Spt 함수

spt 함수(가장 작은 부품 함수)는 양수 정수의 각 칸막이에 있는 가장 작은 부품 수의 합을 계산하는 수 이론상의 함수다.그것은 파티션 기능과 관련이 있다.

spt(n)의 처음 몇 가지 값은 다음과 같다.

1, 3, 5, 10, 14, 26, 35, 57, 80, 119, 161, 238, 315, 440, 589 ... (OEIS의 경우 시퀀스 A092269).

예

예를 들어, 4의 5개의 분할 영역(가장 작은 부분 밑줄이 그어진):

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

이 파티션들은 각각 1, 2, 2, 4개의 가장 작은 부분을 가지고 있다.따라서 spt(4) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10.

특성.

파티션 함수와 마찬가지로 spt(n)에도 생성 함수가 있다.그것은 에 의해 주어진다.

S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {spt} (n)q^{n}={\frac {1}{(q)_{\infty }}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}\prod _{m=1}^{n-1}(1-q^{m})}{1-q^{n}}}

여기서 $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$ ( $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$ ) $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$ = = $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$ = $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$ $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$ ( $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$ - $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$ n $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$ ) $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$ {\ $displaystyle (q)_{\infit }=\prod _{n=1}^{n$

$S(q)$ S $S(q)$ ( $S(q)$ $S(q)$ $S(q)$ 는 모의 모듈형 형식과 관련이 있다 $S(q)$ . $E_{2}(z)$ E 2 $E_{2}(z)$ ( $E_{2}(z)$ ) ${\displaystyle E_{2$ }(z $)}$ 은 무게 2 준모듈형 아이젠슈타인 시리즈를 나타내며 $E_{2}(z)$ , $\eta (z)$ $\eta (z)$ $\eta (z)$ 은 데데킨드 eta 함수를 나타낸다 $\eta (z)$ .그런 다음 $q=e^{2\pi iz}$ = $q=e^{2\pi iz}$ $q=e^{2\pi iz}$ $q=e^{2\pi iz}$ $q=e^{2\pi iz}$ z ${\$ 함수

{\tilde{S}}(z):=q^{-1/24}S(q)-{\frac {1}{12}{12}{\frac {E_{2}(z)}{\eta (z)}}}}}

is a mock modular form of weight 3/2 on the full modular group $SL_{2}(\mathbb {Z} )$ with multiplier system $\chi _{\eta }^{-1}$ , where $\chi _{\eta }$ is the multiplier system for $\eta (z)$ .