구면 모형

구형 모형은 1952년 T. H. 베를린과 M. Kac에 의해 해결된 이싱 모형과 유사한 강자성 모형이다.이는 선형 치수 d가 4보다 클 경우 임계점 부근의 시스템 동작을 지배하는 임계 지수가 d 및 시스템의 기하학적 구조와는 무관하다는 주목할 만한 특성을 갖는다.그것은 외부 장에서 정확히 해결될 수 있는 몇 안 되는 강자성 모델 중 하나이다.

공식화

이 모델은 N개의 사이트를 $포함$하는 격자$$L$(\displaystyle \mathbb${$L})$ 위의 입자 집합을 기술합니다.L ${\displaystyle \mathbb${L$\}\}$의 각 사이트 j에 대해 가장 가까운 이웃과 외부 필드 H에만 상호작용하는 스핀 ${\$ ${\displaystyle j_{}}$ {\$displaystyle \sigma$ _${j}.$ising 모델과는 달리 ${\displaystyle j_{}}${\$displaystyle \sigma$ _${$${\displaystyle \mathrm{j}}$$}}$는 ${\displaystyle j_{}}${ 1,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$}(\$displaystyle \sigma$ _${j}\in$\{$1,-1$로 제한되지 않고 모든 실제 값을 취할 수 있습니다.

$\displaystyle \sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{2}=N}$

이는 균질 시스템에서 일반적인 Ising 모델에서와 같이 스핀의 제곱의 평균이 1이 되도록 합니다.

파티션 함수는 Ising 모델에서 일반화되어 있습니다.

${\displaystyle Z_{N}=\int _{-\infty}^{\infty}d\cdots d\cdots d\cdots _{N}\exp \left[K\sum _{\infty }_int _{-\infty }^{\infty }d\cd\cd_{{{\cdl}_{n}_n}_{{{n}_n}_n}_cdl\cdl}_cdl}_cdisplaysty_$

$여기$서 ${\({displaystyle$\displaystyle$$\displaystyle $jl\rangle}$은 Dirac 델타 함수,${\displaystyle j}$ j l ${\$ {${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $\displaystyle$ jl\rangle$}$은 격자의 가장자리, $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle J/}$${\displaystyle k}$$$T({$displaystyle$ K$=J/kT$$\})$ $=$ K$=$ K$/$)는 T의 온도입니다.e 가장 근접한 상호 작용.

Berlin과 Kac은 이것을 일반적인 Ising 모델에 대한 근사치로 보고 Ising 모델의 $can$ \displaystyle $\sigma {\$ \displaystyle $\sigma -$ \$공간$ 내의 N차원 하이퍼큐브의 구석구석에 걸친 합으로 볼 수 있다고 주장했다.는 이러한 모든 모서리를 통과하는 초스피어 표면에서 통합됩니다.

Kac과 C. J^[1]. Thompson은 구형 모델이 N-벡터 모델의 제한 사례라는 것을 엄격하게 증명했다.

상태 방정식

분할 함수를 풀고 자유 에너지 계산을 사용하면 시스템의 자화 M을 설명하는 방정식이 생성됩니다.

$\displaystyle 2J(1-M^{2})=kTg'(H/2)JM)}$

다음과 같이 정의되는 함수 g에 대해

$\displaystyle g(z)=(2\pi)^{-d}^{2\pi }\ldots \int _{0}^{2\pi}d\ope _{1}\cdots -\cdots _{d}d\ln[z+d}$

사이트당 내부 에너지는 다음과 같습니다.

$({displaystyle u=sqfrac {1}{2}}kT-Jd-{\frac {1}{2}H(M+M^{-1})$

내부 에너지와 자화와 관련된 정확한 관계

중대한 동작

d${\displaystyle 2}$2 { $displaystyle$ d$\leq$ 2$}$의 경우 임계 온도가 절대 0에서 발생하므로 구형 모델의 위상 천이가 발생하지 않습니다.d가 2보다 클 경우 구형 모델은 강자성이 멈추는 유한 퀴리 온도의 전형적인 강자성 거동을 나타낸다.구형 모델의 임계 거동은 차원 d가 실제 비정수 차원일 수 있다는 완전히 일반적인 상황에서 도출되었다.

제로필드 케이스의 임계 ${\displaystyle \mathrm{지수\alpha },}$β, ${\displaystyle \beta }$,$$δ(\$displaystyle \alpha,\beta,\gamma)$ 및$$ $(\$는 다음과 같이 도출되었습니다.

$\displaystyle \alpha = scases {4-d} {d-2}}&{\text{if}}\ 2 <d < 4 \ \ \ \ 0 & { \ text { if } d > 4 \ end { cases } }$

${\displaystyle\displayfrac{1}{2}}$

$\displaystyle \displaystyle = displays { cases } {\frac {2} {d-2}} & {\text { if } 2 < d > 4 \ end { cases } }$

$\displaystyle \displaystyle = displays { cases } {\frac {d+2} {d-2}} & {\text { if } 2 <d > 4 \ end { cases } }$

4보다 클 때 d의 차원과 독립적이며, 차원은 어떤 실제 값도 취할 수 있다.

레퍼런스

• R. J. Baxter, 통계역학의 모델을 정확하게 해결했다, 런던, 학술 출판사, 1982; 2007년 도버 전재, 새로운 장 "후발적 발전"

추가 정보

• Berlin, T. H.; Kac, M. (1952). "The spherical model of a ferromagnet". Physical Review. Series 2. 86 (6): 821–835. Bibcode:1952PhRv...86..821B. doi:10.1103/PhysRev.86.821. MR 0049829.