구면 평균

수학에서, 한 점을 중심으로 한 함수의 구면 평균은 해당 점을 중심으로 주어진 반지름의 구에 있는 해당 함수의 모든 값의 평균이다.

정의

유클리드 공간 R에서ⁿ 열린 집합 U와 실제 또는 복잡한 값을 가진 U에 정의된 연속 함수 u를 고려하십시오.중심 x와 반지름 r의 닫힌 볼 B(x, r)가 U에 포함되도록 x를 U와 r > 0의 지점으로 한다. x를 중심으로 한 반경 r의 구면 위에 있는 구형 평균은 다음과 같이 정의된다.

${\d}표시 스타일 {\frac {1}{\omega _{n-1}(r)}\int \limits _{\partial B(x,r)}\!u(y)\\\\mathrm {d}S(y)}$

여기서 ∂B(x, r)는 B(x, r)의 경계를 이루는 (n - 1)-sphere이며, dS는 구면 측정에 관한 통합을 의미하며 Ω_n−1(r)은 이 (n - 1)-sphere의 "표면 면적"이다.

동등하게 구면 평균은 다음과 같다.

${\dapplaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}\int \limits _{\n\1\!u(x+ry)\\\mathrm {d}S(y)}$

여기서 Ω은_n−1 반경 1의 (n - 1)-sphere의 영역이다.

구형 평균은 흔히 다음과 같이 표시된다.

$\displaystyle \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\-\,u(y)\,\mathrm {d}S(y).}$

구면 평균은 리만 다지관에 대해서도 자연적으로 정의된다.

속성 및 사용

• $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 연속성에서 다음 함수가

$\displaystyle r\to \into \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\-\,u(y)\,\mathrm {d}S(y)}$

연속형이며, $r{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r\to 0}$의 제한은 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle u(x$)이다$.$$}$

• 구형 수단은 홀수 공간 차원에서$$ 파동 방정식 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ t ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= c ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \Delta {}^{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=c^{2}\delta u}$의 Cauchy 문제를 해결하는 데 사용할 수 있다.Kirchhoff의 공식으로 알려진 결과는 구면 수단을 사용하여 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$홀수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystylen$의 파동 방정식을 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 파동 방정식으로 줄인 다음 D'Alalumbert의 공식을 사용하여 도출된다.그 표현 자체는 파동 방정식 기사에 제시되어 있다.

• Rn에 만약 U{U\displaystyle}은 개방되어 세트(^{n}}과 너{\displaystyle u}은 지휘 통제 기능 U{U\displaystyle}에 정의된, U{U\displaystyle}의 모든){\displaystyle)}과 모든 r>를 위해서만 만약 0{\displays 다음 너{\displaystyle u}조화다.tyle닫힌 볼 $B{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle B(x,r)}$이(가) $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 포함되도록$$ $r>0}$

$\displaystyle u(x)=\int \limits _{\partial B(x,r)}\\!\!\!\!\!\!\!\-\,u(y)\,\mathrm {d}S(y).}$

이 결과는 고조파 함수의 최대 원리를 입증하는 데 사용될 수 있다.

참조

• Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0772-9.

• Sabelfeld, K. K.; Shalimova, I. A. (1997). Spherical means for PDEs. VSP. ISBN 978-90-6764-211-8.
• Sunada, Toshikazu (1981). "Spherical means and geodesic chains in a Riemannian manifold". Trans. Am. Math. Soc. 267: 483–501.

외부 링크

• PlanetMath에서 구면 평균.