스펙트럼 위험도 측정

스펙트럼 위험 측정은 일반적으로 나쁜 결과가 더 큰 가중치에 포함되는 경우 결과의 가중 평균으로 주어진 위험 측정이다. 스펙트럼 위험 측정은 포트폴리오 반환의 함수로서 예비적으로 보관할 숫자(일반적으로 통화)의 양을 산출한다. 스펙트럼 위험 측정은 항상 일관성 있는 위험 측정이지만, 역이 항상 유지되는 것은 아니다. 스펙트럼 측정의 장점은 가능한 포트폴리오 수익에 주어진 가중치를 통해 위험 회피, 특히 효용 함수와 관련될 수 있는 방법이다.^[1]

정의

포트폴리오 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 고려하십시오($$포트폴리오 보상의 표시). Then a spectral risk measure ${\displaystyle M_{\phi }:{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }$ where ${\displaystyle \phi }$ is non-negative, non-increasing, right-continuous, integrable function defined on ${\displaystyle [0,1]}$ such that ${\displaystyle \int _{0}^{1}$$\phi (p)dp=1$}은$($는) 다음에 의해 정의됨

${\displaystyle M_{\pi }}=-\int _{0}^{1}{1}\p)F_{X}^{-1}(p)dp}$

여기서 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$는 X의 누적분포함수다.^[2][3]

주문 통계 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: S${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$. .${\displaystyle }$. . X S :${\displaystyle S_{}}$ ${\$에서 주어진 상응하는 보상으로 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$을(를) 장착할$$ 수 있는 결과가 있는 경우...$X_{S:S}}$. Let ${\displaystyle \phi \in \mathbb {R} ^{S}}$. The measure ${\displaystyle M_{\phi }:\mathbb {R} ^{S}\rightarrow \mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle M_{\phi }(X)=-\delta \sum _{s=1}^{S}\phi _{s}X_{s:$$S}}$은 $\varphi$ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 조건을 만족하면$$ 위험을 스펙트럼으로 측정하는 것이다.

1. 비부정성:${\displaystyle {}_{}}$ivity ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle ,}$0 ${\$ $\$$pi _{s}\$geq 0$$} ${\displaystyle {모든}_{}}$ $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ , …$$, S${\$$displaysty$ s=$1,\$dots ,$S}$,
2. 정규화: $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{S}}}}$ ${\displaystyle {\varphi s}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sum _{s=1}^{S}\phi _{s}=1$
3. Monotonicity : ${\displaystyle \phi _{s}}$ is non-increasing, that is ${\displaystyle \phi _{s_{1}}\geq \phi _{s_{2}}}$ if ${\displaystyle {s_{1}}<{s_{2}}}$ and ${\displaystyle {s_{1}},{s_{2}}\in \{1,\dots ,S\}}$.^[4]

특성.

스펙트럼 위험 측정도 일관성이 있다. 모든 스펙트럼 위험 측정 $\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle L}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$을(를) 만족한다$$.

1. 양의 동질성: 모든 포트폴리오 와 의 값value > 0 ${\displaystyle \lambda >0},$$\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle \lambda }$ X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \lambda }$ (${\displaystyle X}$) ${\displaysty \rho (\lambda$ X$)=\lambda \rho (X$
2. 번역-상호: 모든 포트폴리오에 대해 X 및 $\alpha {\displaystyle }$ α ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle a}$)${\displaystyle }$=$$( X${\displaystyle }$) -${\displaysty \rho (X)-a$
3. 단일성: 모든 포트폴리오 X와 ${\displaystyle Y}$에 대해, X ${\displaystyle \ge }$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle X\geq$ Y$},$${\displaystyle \rho }$ (${\displaystyle }$X )${\displaystyle \{}$ (${\displaystyle Y}$)${\displaystyle \rho (X)\leq \rho (Y$
4. 하위additivity: 모든 포트폴리오 X와 Y에 대해 $\rho {\displaystyle }$(${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle \le }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \rho }$(${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle \rho (X+Y)\leq \rho (X)+\rho (Y$
5. 법칙-불균형: 누적분포함수 ${\displaystyle F_{}}$ X ${\$와 ${\displaystyle F_{}}$ Y$${\$displaystyle F_{Y}$이(가) 각각 있는 모든 포트폴리오 $X$와 Y에 ${\displaystyle {대해}_{}}$, ${\displaystyle F_{}}$X ${\displaystyle {}_{}}$ F {\$displaystyle$ F_${X}=$F_{{}}}}}}{{}}}}}}}}}}$Y}$ 그$$ 다음에 $\rho {\displaystyle }$(${\displaystyle X}$) = ${\displaystyle \rho }$(${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle \rho (X)=\rho (Y$
6. Comonotonic Additivity: for every comonotonic random variables X and Y, ${\displaystyle \rho (X+Y)=\rho (X)+\rho (Y)}$. Note that X and Y are comonotonic if for every ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in$$\Oomega :\;(X(\omega _{2})-X(\omega _{1$}) $(Y(\omega$_${2})-Y(\omega _{1})\geq$ 0$\}$^[2] .

일부 텍스트에서^[which?] 입력 X는 포트폴리오의 보상이 아닌 손실로 해석된다. 이 경우 번역-상호 속성은 위의 속성 대신$$${\displaystyle }\rho {\displaystyle }$(${\displaystyle X}$+ ${\displaystyle a}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \rho (}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \rho(X+a)=\rho(X)+a}$로 주어진다.

예

• 예상되는 부족분은 위험의 스펙트럼 측정이다.
• 기대값은 사소한 위험의 스펙트럼 측정값이다.

참고 항목

• 왜곡위험도측정

참조