고체 고조파

In physics and mathematics, the solid harmonics are solutions of the Laplace equation in spherical polar coordinates, assumed to be (smooth) functions ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$. There are two kinds: the regular solid harmonics ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$, which는 원점에서 단수인 불규칙한 고체 고조파 $I{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle m\mathbf{}{}_{}^{}}$( r${\displaystyle }$) ${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$에서 잘 정의된다$.$두 기능 세트는 모두 전위 이론에서 중요한 역할을 하며, 구면 고조파를 적절히 재조정하여 얻는다.

${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}\r^{\ell }Y_{{\ell }^{}}}(\theta ,\varphi )}}}$

${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}\}\\\frac {Y_{\ell }{m}(\teta ,\varphi )}{r^{1}:{n1}}}}}}}}}}}}}}}:{r^{r^\ell +1}$

파생, 구형 고조파 관련

3-벡터 r의 구형 극좌표에 r, θ, φ을 도입하고, ${\displaystyle \phi \mathbb{}}$ ${\displaystyle \Phi }$이(가) (smooth) 함수 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$→ C ${\$에 대해 다음과 같은 형태로 라플라스 방정식을 작성할 수 있다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi(\mathbf {r} )=\왼쪽({\frac {1}{1}{{1}}{\frac {\partial ^{2}}}r-{\frac {{\l}^{2}}:{r^{2}}:}\오른쪽)\Phi(\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r} \neq \mathbf {0},}$

여기서 l은² 비차원 각운동량 연산자의 제곱이다.

${\displaystyle \mathbf{\l}} =-i\,(\mathbf {r} \mathbf {\mathla }).}$

구형 고조파 Y는^m_l l²:의 고유 기능인 것으로 알려져 있다.

${\displaystyle {\hat{l}^{2}Y_{\el}^{m}^\equiv \left[{{\hat {l}_{x}}^{2}+{\hat {l}^{l}}+{{l}}^{l}}^{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell(\ell +1)Y_{\ell }^{m}.}$

φ(r) = F(r) Y를^m_l 라플라스 방정식으로 대체하면 구형 고조파 함수를 나눈 후 다음과 같은 방사형 방정식과 그 일반 용액을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac{1}{r}{\frac {\partial ^{2}}:r^{2}}:rF(r)={\frac {\ell(\ell +1)}{r^{2}}:F(r)\Longrighrow F(r)=Ar^{}+Br^{-ell.}$

총 라플라스 방정식의 특정 해법은 규칙적인 고체 고조파다.

${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}\r^{\ell }Y_{{\ell }^{}}}(\theta ,\varphi )}}}$

불규칙한 고체 고조파:

${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}\}\\\frac {Y_{{\ell }{m}(\teta ,\varphi )}{r^{{1}.}$

정규 고체 고조파는 라플레이스의 방정식에 대한 해법인 고조파 동종 다항식, 즉 동종 다항식에 해당한다.

라카의 정상화

라카의 정상화(슈미트의 반정규화라고도 함)는 두 기능 모두에 적용된다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{0}^ \,d\theta \int_{0}^{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )^{*}\;;;;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}r^{2\ell }}}}}}}}}}}$

(그리고 불규칙한 고체 고조파와 유사하게) 단결로 정상화되는 대신.이것은 많은 애플리케이션에서 Racah 정규화 인자가 파생되는 동안 변경되지 않고 나타나기 때문에 편리하다.

덧셈 정리

정규 고체 고조파의 번역은 유한한 확장을 주지만,

${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu \ell m\rangle ,}$

여기서 클레브슈-고단 계수는

${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu \ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.}$

불규칙한 고체 고조파에 대한 유사한 확장은 무한 계열을 제공한다.

${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu \ell m\rangle }$

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \le }$을 사용하여,$$\$displaystyle$r$\leq$ a $\,}.$ 뾰족한 괄호 사이의 수량은 다시 Clebsch-Gordan 계수,

${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu \ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.}$

참조

추가 이론들은 여러 저자들에 의해 다른 방식으로 증명되었다.예를 들어, 다음에서 두 가지 다른 증거를 참조하십시오.

• R. J. A.터프하고 에이제이 스톤, 제이 피스A: 수학.제10권, 페이지 1261(1977)
• M. J. Cola, J. Phys.A: 수학.제11권, 페이지 L23 (1978년)

복합형식

The regular solid harmonics are homogeneous, polynomial solutions to the Laplace equation ${\displaystyle \Delta R=0}$. Separating the indeterminate ${\displaystyle z}$ and writing ${\displaystyle R=\sum _{a}p_{a}(x,y)z^{a}}$, the Laplace equation is easily seen to be equivalent to t그는 재귀식

${\displaystyle p_{a+2}={\frac {-(\flac _{x}^{2}+\filename _{y}^{2}p_{a}}{a+2){a}}}}}}}}$

다항식 p ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle p_{0}(x,y)}$ 도$$ $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell$ $}$ 및 p$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}x}$, y${\displaystyle }$)$$degree${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle \mathrm{도<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p\_\{1\}(x,y)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ba0ee4b91a1310bbd86264e62102a73b7626c4c8"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:7.641ex;\; height:2.843ex;">}}$ $\ell {\displaystyle }$ -$${\$displaystyle$$p_{1}(x,$$y)$의 모든 선택이 방정식에 대한 해결책을 제공하도록$$ 한다.One particular basis of the space of homogeneous polynomials (in two variables) of degree ${\displaystyle k}$ is ${\displaystyle \{(x^{2}+y^{2})^{m}(x\pm iy)^{k-2m} 0\leq m\leq k/2\}}$. Note that it is the (unique up to normalization) basis of eigenvectors ofthe rotation group ${\displaystyle SO(2)}$: The rotation ${\displaystyle \rho _{\alpha }}$ of the plane by ${\displaystyle \alpha \in [0,2\pi ]}$ acts as multiplication by ${\displaystyle e^{\pm i(k-2m)\alpha }}$ on the basis vector ${\displaystyle (x^2+y^2{)}^m(}$${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle i}$ y${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ -${\displaystyle {\mathrm{2m}}^{}}$ ${\$

만일 우리가 도 $\ell {\displaystyle }${\$displaystyle \ell$$$} 기초와 도${\displaystyle 1}$ - 1$${\$displaystyle \ell$ -1}을$$ 재귀 공식과 결합한다면, S ${\displaystyle O}$(${\displaystyle 2}$) {\$displaystyty$}에 대한 고유 벡터로 구성된$$ 조화, 동종 다항식 $\$ $}$의 공간 근거를 얻는다$.$$le$SO($2)$ $$(Raplace 연산자가 회전 불변성이기 때문에 재귀 $공식$은 ${\displaystyle S}$O (${\displaystyle 2}$ ) ${\displaystyle$SO($2)$ -action과$$ 호환된다는 점에 유의하십시오.다음은 복잡한 고체 고조파 입니다.

${\displaystyle R_{\ell }^{\pm \el }=(x\pm iy)^{\ell }z^{0}}}}$

${\displaystyle R_{\ell }^{\pm (\ell -1)}=(x\pm iy)^{\ell -1}z^{1}:{1}:{1}$

${\displaystyle R_{\ell }^{\pm (\ell -2)}=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}}$

${\displaystyle R_{\ell }^{\pm (\ell -3)}=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}}$

${\displaystyle R_{\ell }^{\pm (\ell -4)}=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}z^{4}}$

${\displaystyle R_{\ell }^{\pm (\ell -5)}=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}z^{5}}$

...

그리고 일반적으로

${\displaystyle R_{\ell }^{\pm m}={\begin{case}\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{y}^{2})^{k}\left(x^{2}+y^{2})^{(\ell -m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{{{{k)}}}}{(2k)!}}}&\ell -m{\text{\text{은 even}\\\sum _{k}(\reason _{x}^{2}+\reason _{y}^{2})^{k}\왼쪽((x^{2}+y^{2})^{{2}^{{n1}-m)/2}(x\pm iy)^{m}\오른쪽){\frac {(-1)^{k^{2k+1}:{2k+1}:{(2k+1)!}}&\ell -m{\text{{\text}{이상한 경우}\end{case}}}$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le m}$ ${\displaystyle \le }$ {\$displaystyle 0\leq m\leq \ell$ }에 대해$.$

Plugging in spherical coordinates ${\displaystyle x=r\cos(\theta )\sin(\varphi ),y=r\sin(\theta )\sin(\varphi ),z=r\cos(\varphi )}$ and using ${\displaystyle x^{2}+y^{2$$}=r^{2}\sin(\varphi )^{2}=r^{2}(1-\cos(\varphi )^{2})}$ one finds the usual relationship to spherical harmonics ${\displaystyle R_{\ell }^{m}=r^{\ell }e^{im\theta }P_{\ell }^{m}(\cos(\varphi ))}$ with a polynomial ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$, which is (up to정규화) 관련 범례 다항식, 즉 $R{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \ell }$ Y ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{},}$ , ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle R_{\ell }^{m}=r^{\ell }Y_{}{\$ell$}^{}{}}}{}^(\teta ,\varphi )}($와 함께 특정 정규화) 선택 사항까지).

실물형태

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 비소싱 소재는 도전하여 제거할 수 있다.(2010년 10월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

±m의 고형 고조파의 단순한 선형 조합에 의해 이러한 함수는 실제 함수로 변환된다. 즉$,$ ${\displaystyle 함수\mathbb{}}$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ → R {\$displaystyle \mathb {R}^{3}\to$\mathb {$R}}}.$ 실제 정규 고형 고조파는 순서 $homogeneous{\displaystyle }${\$displaysty \ell}$의 균일한 다항식이다$.$$$ x, y, z 단위로.이러한 다항식의 명시적인 형태는 어느 정도 중요하다.예를 들어, 그것들은 구형 원자 궤도와 실제 다중 홀 모멘트의 형태로 나타난다.진짜 정규 고조파들의 노골적인 데카르트적 표현이 이제 파생될 것이다.

선형결합

우리는 이전의 정의에 동의하여 글을 쓴다.

${\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+ m )/2}\;r^{\ell }\;;;;\theta _{\ell }^{m }(\cos \theta )e^{im\varphi }}\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,}$

와 함께

$\displaystyle \theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{{(\ell +m)!}}}}\^{1/2}}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}}}}{d\cos ^{m}}}}}}}},\qquad m\geq,},},},},},},},},},},}$

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$(${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}$은 순서 l의 Legendre 다항식이다.m 종속 단계는 콘돈-숏리 단계로 알려져 있다.

다음 식은 실제 정규 고체 고조파를 정의한다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt{2}}\;r^{\ell }\;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;.\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$

및 m = 0인 경우:

${\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.}$

변환은 단일 행렬에 의해 이루어지기 때문에 실제와 복잡한 고체 고조파의 정규화는 동일하다.

z-기울기 부분

u = cos θ 작성시 레전드레 다항식의 m번째 파생상품은 u에 다음과 같은 확장형으로 기재할 수 있다.

${\dflacyle {\d^{m^}P_{\ell }{{du^{m}}}}=\sum _{k=0}^{k=0}}{lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor _{\ell k}^{{dom}}.$

와 함께

${\displaystyle \cHB_{\ell k}^{\el}{\binom{-}-\ell{k}{\binom {2\ell -2k}{\frac(\ell -2k)!}{{(\ell -2k-m)!}}.}$

z = r cosmital이기 때문에, 이 파생상품은 적절한 r의 힘을 곱한 z의 단순한 다항식이다.

${\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$

(x,y)-기울기 부분

다음으로, x = r sinθcosφ and y = r sin sin,

${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]}$

마찬가지로

${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].}$

더 멀리

${\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}}$

그리고

${\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}$

합계

${\displaystyle C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\왼쪽[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{{(\ell +m)!}}}\{1/2}}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots,\ell }$

${\displaystyle S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\왼쪽[{\frac {2(\ell -m)!}{{(\ell +m)!}}}\{1/2}}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots,\ell .}$

최하위 기능 목록

We list explicitly the lowest functions up to and including l = 5 . Here ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!$$}{{(\ell +m)!$$}}}\{1/2}}\Pi _{\ell }^{m}(z)$$}$

---

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi}}_{3}^{3}&, ={\frac{1}{4}}{\sqrt{10}}&{\bar{\Pi}}_{5}^{1}&, ={\frac{1}{8}}{\sqrt{15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar{\Pi}}_{2}^{0}&, ={\frac{1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&,{\bar{\Pi}}_{4}^{0}&, ={\frac{1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&,{\bar{\Pi}}_{5}^{2}&, ={\frac{1}{4}}{\sqrt{105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar{\Pi.}}_{2}^{1}&, ={\sqrt{3}}z&,{\bar{\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi}{}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}{4}{\sqrt{70}\;z&{\bar{\pi }}}^{5}}={\frac {3}{16}}}{\sqrt{14}\\end\liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

---

${\displaystyle {가장}_{}}$ 낮은 함수 $A{\displaystyle {}_{}}$ m${\displaystyle {}_{}x}$, y${\displaystyle }$) ${\$${\displaystyle y}$$)\,}$ 및$$ $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}x,}$ y${\displaystyle }$) ${\$은 다음과$$ 같다.

m	Am	Bm
0	$1\displaystyle 1\,}$	$0\displaystyle 0\,}$
1	$\displaystyle x\,}$	$(\displaystyle y\,})$
2	${\displaystyle x^{2}-y^{2}\,}$	$2xy\,}$
3	${\displaystyle x^{3}-3xy^{2}\,}$	${\displaystyle 3x^{2}y-y^{3}\,}$
4	${\displaystyle x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\,}$	${\displaystyle 4x^{3}y-4xy^{3}\,}$
5	${\displaystyle x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\,}$	${\displaystyle 5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\,}$

참조

• Steinborn, E. O.; Ruedenberg, K. (1973). "Rotation and Translation of Regular and Irregular Solid Spherical Harmonics". In Lowdin, Per-Olov (ed.). Advances in quantum chemistry. Vol. 7. Academic Press. pp. 1–82. ISBN 9780080582320.
• Thompson, William J. (2004). Angular momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems. Weinheim: Wiley-VCH. pp. 143–148. ISBN 9783527617838.