슬루츠키의 정리

확률론에서 슬루츠키의 정리는 실제 숫자의 수렴 시퀀스에 대한 대수적 연산의 일부 속성을 무작위 변수의 시퀀스로 확장한다.^[1]

이 정리는 외젠 슬루츠키의 이름을 따서 명명되었다.^[2]슬루츠키의 정리도 하랄드 크라메르 덕분이다.^[3]

성명서

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle Y_{}}$ n ${\$$Y_{n}}$는 스칼라/벡터/매트릭스 랜덤 원소의 시퀀스다.X ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 분포에서 $임의$ 원소 X {\$displaystyle$ $X$$}$ 및 ${\displaystyle Y_{}}$n {\$displaystyle$ Y_${n}}$이(가) 일정한 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에 확률적으로 수렴되는$$ 경우$,$ .

• ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\ {\x오른쪽 화살표 {d}\ X+c;}$
• ${\displaystyle X_{n}Y_{n}\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$
• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$/ Y ${\displaystyle n_{}{}_{}\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{d}}$ ${\displaystyle X}$ /${\displaystyle }$c${\displaystyle }$, ${\displaystyle X_{n}/Y_{n}\{n}\\xrightarrow {d}\$ X$/c},$ 만약$$ c가 변절불가능하다면,

여기서${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{d}}$ ${\$은(는) 분포의 수렴을 의미한다.

주의:

1. Y가_n 상수로 수렴해야 하는 요건은 중요하다. 만약 Y가 비감소 무작위 변수에 수렴한다면, 정리는 더 이상 유효하지 않을 것이다.예를 들어 ${\displaystyle {Xn}_{}}$~ ${\displaystyle U\mathrm{}}$ n ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ r m${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle X_{n}\심(\rm {Uniform})(0,1$) 및 ${\displaystyle Y_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle X_{}}$ n ${\$을(를)로 한다$.$$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X_{n}+$의 합계모든 n 값에 대한$$ $Y_{n}=0}$더욱이 ${\displaystyle {Yn}_{}\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{d}}$ U ${\displaystyle \stackrel{}{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ r m${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle Y_{n}{\xrightarrow{d}{\rm {Uniform}(-1,0$ 그러나 ${\displaystyle {Xn}_{}}$+ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\$$Y_{n}}$ does not converge in distribution to ${\displaystyle X+Y}$, where ${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$, ${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$, and ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are independent.^[4]
2. 우리가 분포의 모든 수렴체를 확률의 수렴으로 대체한다면 그 정리는 유효하다.

증명

이 정리는 X가_n 분포에서 X로 수렴하고 Y가_n 확률로 일정한 c로 수렴하면, 관절 벡터(X_n, Y_n)가 분포에서 (X, c)로 수렴한다는 사실에서 따른다(여기 참조).

다음으로 함수 g(x,y) = x + y, g(x,y) = xy, g(x,y) = xy를⁻¹ 인식하여 연속 매핑 정리를 적용한다(최종 함수가 연속적이 되려면 y는 변절불능이어야 한다).

참고 항목

• 랜덤 변수의 수렴

참조

추가 읽기

• Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Statistical Inference. Pacific Grove: Duxbury. pp. 240–245. ISBN 0-534-24312-6.
• Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probability and Random Processes (3rd ed.). Oxford.
• Hayashi, Fumio (2000). Econometrics. Princeton University Press. pp. 92–93. ISBN 0-691-01018-8.