연속 매핑 정리

확률론에서 연속 매핑 정리는 연속함수가 랜덤 변수의 시퀀스일지라도 한계를 보존한다고 기술한다.하이네 정의에서 연속 함수는 수렴 시퀀스를 if x_n → x → g(x_n) → g(x) → g(x)로 매핑하는 기능이다.연속 매핑 정리는 결정론적 순서 {x_n}을(를) 변수의 순서 {X_n}(으)로 대체하고, 실수의 표준 개념인 "→"를 변수의 수렴 유형 중 하나로 대체하는 경우에도 이 역시 사실일 것이라고 명시하고 있다.

이 정리는 1943년 헨리 만과 아브라함 월드에 의해 처음 증명되었으며,^[1] 따라서 때로는 만-월드 정리라고 불린다.^[2]한편, 데니스 사르간은 이것을 일반적인 변혁 정리라고 언급하고 있다.^[3]

성명서

{X_n}, X는 미터법 공간 S에 정의된 임의 원소가 되도록 한다.함수 g: S→S′(여기서 S′은 다른 메트릭스 공간)에 Pr[X ∈ D_g] = 0과 같은 불연속점 D 집합이_g 있다고 가정한다.그러면^[4][5]

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{n}\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!}\X\quad &\오른쪽 화살표 \quad g(X_{n})\\\x오른쪽 화살표 {\!\!{\text{a.s.}}\!\!}\g(X)\\end{정렬}}}$

여기서 위첨자, "d", "p" 및 "a"는 각각 분포의 수렴, 확률의 수렴 및 거의 확실한 수렴을 나타낸다.

증명

Space S와 S′는 일정한 측정 기준을 갖추고 있다.단순성을 위해 측정 지표가 임의적일 수 있고 반드시 유클리드인이 아닐 수 있지만 x - y 표기법을 사용하여 두 측정 지표를 모두 나타낼 것이다.

분포의 수렴

우리는 portmanteau 정리로부터 특별한 진술이 필요할 것이다: 분배 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{X}}$ ${\디스플레이$ 스타일 $X_{n}{\xrightarrow{d}}X}$와 동등하다는$$ 것이다.

${\displaystyle \mathbb{E}}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$→ E ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \mathb {E}f(X_{n})\to \mathb {E}f(X)}$에 모든 경계 연속 기능 f에 대해.

따라서 모든 경계 연속 기능 f에 $대해$$$E f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$X${\displaystyle }$)${\displaystyle \mathb {E}f(g({n})\mathb {$E}f$(g(X$))}\mathb {E$}f$(X$)})}$을(를)로 입증하는 것으로 충분하다.$F{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F=f\circg}$은(는) 그 자체가 경계 연속 기능이라는 점에$$ 유의하십시오.그래서 그 주장은 위의 진술에서 따르게 된다.

확률의 수렴

임의 ε > 0을 수정한다.그런 다음 Δ > 0에 대해 다음과 같이 정의된 B 집합을_δ 고려하십시오.

$\displaystyle B_{\delta }={\big \{}x\in S\mid x\notin D_{g}}\exists y\in S:\-y <\delta ,\, g(x)-g(y) >\varepsilon {\big \}}.}$

이것은 함수 g(·)의 연속성 지점 x의 집합으로, x의 Δ-근접점 내에서, g(x)의 x근접점 밖에 지도가 있는 지점이다.연속성의 정의에 의해, 이 집합은 Δ가 0이 될 때 축소되므로, limB_{δ → 0δ} = ∅.

이제 g(X) - g(X_n) > ε. 이는 다음 중 적어도 하나가 참임을 암시한다: X-X_n ≥ Δ, X ∈ D_g 또는_δ X eitherB.확률 면에서 이것은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \Pr {\big (}{\big }g(X_{n})-g(X){\big }>\varepsilon {\big )}\leq \Pr {\big (} X_{n}-X \geq \delta {\big )}+\Pr(X\in B_{\delta })+\Pr(X\in D_{g}).}$

오른쪽에서 첫 번째 용어는 순서 {X_n}의 확률에 대한 수렴의 정의에 의해 고정 Δ에 대해 0으로 수렴된다.집합 B가_δ 빈 집합으로 축소되기 때문에 두 번째 항은 Δ → 0으로 수렴된다.그리고 마지막 용어는 정리를 가정하여 0과 동일하다.따라서 결론은 다음과 같다.

${\displaystyle \lim _{n\to \ft }\Pr {\big (}{\big }-g(X){\big }}}}\varepsilon {\big )=0,}$

즉, g(X_n)가 확률상 g(X)로 수렴된다는 뜻이다.

거의 확실한 수렴

함수 g(·)의 연속성의 정의에 의해,

${\displaystyle \lim \to \infit }X_{n}(\omega )=X(\whitearrow \quad \quad \lim_{n}(\omega)=g(X(\omega)}}}$

g(·)가 연속적인 각 지점 X(Ω)에서.그러므로

${\displaystyle {\begin{aigned}\Pr \left(\lim _{n}=g(X)\wright)&\gq \Pr \left(\lim _{n}=g)=g(X)\X\\notin D_{g}\rig}\rig}\rig}\rig\오른쪽)\\&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infit }X_{n}=X,\X\notin D_{g}\right)=1,\end{aigned}}}}}}}$

왜냐하면 거의 확실한 두 사건의 교차점이 거의 확실하기 때문이다.

정의상 g(X_n)는 거의 확실하게 g(X)로 수렴된다고 결론짓는다.

참고 항목

• 슬루츠키의 정리
• 포르만테우 정리

참조