링크(단순복합체)

단순 복합체의 링크는 그래프에서 꼭짓점 주변의 일반화입니다.꼭짓점의 링크는 꼭짓점에 있는 복합체의 로컬 구조에 대한 정보를 인코딩합니다.

꼭짓점의 연결

추상 단순 복소수 X와 v{textstyle v}가 V(X)의 꼭짓점에 있을 때, 그 연결 Lk ⁡ (v, X)는 모든 면 τ X \textstyle \operatorname {Lk} (v, X)를 포함하는 집합으로, v τ \textstyle v \not \text\tau}이고 v \cup}는 \textstyle이다.

X가 1차원 복합체(즉, 그래프)인 특별한 경우, ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ ( ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ) ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ \ $textstyle$ $\operatorname {Lk}$ ( ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ $, X)$ 에서 ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ , { ${\textstyle \{u,v\}}$ $}$ {\ $textstyle$ \{ $u, v\}$ 가 ${\textstyle \{u,v\}}$ 그래프의 모서리인 ${\textstyle \{u,v\}}$ 즉, ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ ( ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ X ) $=$ { $k$ ( ${\textstyle u\neq v}$ $,$ \ $operat$ } \textstyle {k}, \" $= 그래프$ 에서 v ${{N$ $}}(v)=}$ 의 ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ ${\textstyle v}$ v{ $textstyle$ v $}.$

기하학적 단순 $복소수$ ${\textstyle v\in V(X)}$ 와 ${\textstyle v\in V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle v\in V(X)}$ ( $X$ ) {\ $textstyle$ v $\in$ V $(X$ 가 주어졌을 때, 그 ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ Lk ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ( ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ) \ $textstyle \operatorname {Lk}$ ( $v,$ $}$ 는 ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ v ${\textstyle v\not \in \tau }$ {{ $textstyle$ v $\not \in \tau}$ 와 ${\textstyle v\not \in \tau }$ 같은 ${\textstyle v\not \in \tau }$ 면 ${\textstyle \tau \in X}$ \ $textstyle$ \ $in X를$ 포함하는 ${\textstyle \tau \in X}$ 집합이며 X ${{textstyle$ X $}$ 에는 ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle v}$ { $textstyle$ v $}$ 를 ${\textstyle v}$ 정점으로 하고 ${\textstyle \tau }$ {^[1]^{: 3} $textstyle \tau$ }를 ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle \tau }$ 면으로 하는 심플렉스가 있습니다.동등하게, ${\textstyle v\star \tau }$ v $⋆$ ${\textstyle v\star \tau }$ {{ $textstyle$ v $\star \tau}$ 는 ${\textstyle v\star \tau }$ X ${textstyle$ X ${\textstyle X}$ ^[2]^{: 20}의 ${\textstyle X}$ 입니다.

예를 들어, v가 왼쪽 사면체의 맨 위 정점이라고 가정합니다.그러면 v의 연결은 사면체의 밑면에 있는 삼각형입니다.그 삼각형의 각 모서리에 대해, v와 모서리의 결합은 삼각형(사면체의 측면에 있는 세 개의 삼각형 중 하나)이고, v와 삼각형의 결합 자체는 사면체 전체이기 때문입니다.
사면체의 꼭짓점의 연결은 삼각형입니다.

다른 정의는 다음과 같습니다. ${\textstyle v\in V(X)}$ v ${\textstyle v\in V(X)}$ ( ${\textstyle v\in V(X)}$ X ${\textstyle v\in V(X)}$ ) \ \ $textstyle$ v $\in$ V $(X)$ 의 ${\textstyle v\in V(X)}$ 링크는 $다음과$ 같이 $구성$ 된 $그래프$ Lk(v, X $)$ 입니다. $Lk(v,$ $X)$ 의 꼭짓점은 v에 $입사$ 하는 $X$ 의 모서리입니다.이러한 두 에지는 $v$ 에서 공통의 2 셀에 입사하는 경우 $Lk(v,$ $X)$ 에 인접합니다.

그래프 $Lk(v,$ $X)$ 는 종종 $v$ 를 중심으로 하는 작은 반경의 공의 위상이 주어집니다. 이것은 점을 ^[3]중심으로 하는 구와 유사합니다.

얼굴 링크

링크의 정의는 단일 정점에서 모든 면으로 확장될 수 있습니다.

추상 단순 복소수 X와 X의 임의의 면 σ \textstyle \sigma가 주어졌을 때, 그 연결 Lk ⁡ (\textstyle \operatorname {Lk} (\textstyle \operatorname {Lk})는 모든 면 τ, τ, \textstyle \textstyle \in X가 분리되고 τ는 X의 면 : X의 \cup (L: \cup)이다: $X$ $=\{\cap \in X:~\tau \cap \cap$ =\ $emptyset$ , $~\cup \cup \in X$

기하학적 단순 $복합체$ X와 임의의 면 ${\textstyle \sigma ,\tau }$ ${\textstyle \sigma \in$ X ${\textstyle \sigma \in X}$ 가 주어졌을 때, 그 ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ Lk ${\textstyle \tau \in X}$ (\ $textstyle \operatorname {Lk} (\sigma$ $,$ $X)$ 는 ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ $τ$ 와 같은 모든 면 ${\textstyle \tau \in X}$ X{\ $textstyle \tau \$ $in$ X $}$ 를 ${\textstyle \tau \in X}$ 포함하는 집합입니다.\ $tau}$ 은 ${\textstyle \sigma ,\tau }$ (는) 분리되어 있으며 X ${textstyle$ X $}$ 에 ${\textstyle X}$ ${\textstyle \tau }$ ${{textstyle \sigma}$ 와 ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle \tau }$ τ{{ $textstyle \tau}$ 를 ${\textstyle \tau }$ 모두 ^[1]^{: 3}면으로 갖는 심플렉스가 있습니다 $.$

예

사면체의 꼭짓점 링크는 삼각형입니다. 링크의 세 꼭짓점은 꼭짓점에 입사하는 세 모서리에 해당하고 링크의 세 모서리는 꼭짓점에 입사하는 면에 해당합니다.이 예에서 링크는 평면으로 정점을 잘라내어 시각화할 수 있습니다. 공식적으로, 사면체와 꼭짓점 근처의 평면으로 교차합니다. 결과 단면이 링크입니다.

다른 예는 아래에 나와 있습니다.2차원 단순 복합체가 있습니다.왼쪽에는 꼭짓점이 노란색으로 표시됩니다.오른쪽에서 정점의 링크는 녹색으로 표시됩니다.

꼭짓점과 그 링크.

특성.

임의의 단순 $복소수$ X에 대하여, 모든 ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ Lk ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ ⁡ ( $,$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ ) \ $textstyle$ \ $operatorname$ {Lk} (\ $sigma, X)$ 는 ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ 아래쪽으로 닫히기 때문에, $X$ 의 하위 복소수이기도 합니다.
X가 단순하기 때문에, Lk ⁡ ( σ, X ) \textstyle \operatorname {Lk} (\textstyle {Lk} (\text, X)와 집합 X σ : = {{\sigma } \displaystyle X_{\text{ that sigma}: = \{\text} \text} \Type {\text} 사이에는 항상 동형이 있다 ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ X $X_{\sigma }$ {\ $displaystyle$ X_ ${\sigma$ 에 있는 {\ $textstyle \tau \cup \sigma$ 입니다 $.$

링크와 별

링크와 밀접한 관련이 있는 개념은 별입니다.

추상 단순 $복소수$ X와 임의의 면 ${\textstyle \tau \in X}$ ${\textstyle \sigma \in X}$ X ${{textstyle \sigma \in$ X $({textstyle$ V $(X))$ 가 주어졌을 때, 그 ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}$ St $({textstyle \operatorname {St}(\sigma$ $,$ $X)$ 는 ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}$ 모든 면 ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ ${\textstyle \tau \in X}$ ${textstyle$ \ $textstyle$ \ $textstyle \$ $in$ X $}$ 를 ${\textstyle \tau \in X}$ ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ 포함하는 집합입니다.X가 1차원 복합체(즉, 그래프)인 특수한 경우, St⁡ (v, X) ({textstyle \operatorname {St} (v, X)는 v{textstyle v}의 모든 꼭짓점에 대한 모든 모서리 {u, v}를 포함한다.

기하학적 단순 복합체 X와 임의의 면 δ X({textstyle \sigma \in X})가 주어졌을 때, 그 별 St({textstyle \operatorname {St}(\sigma, X)는 모든 면 δ X({textstyle \textst})를 포함하는 집합이다: $σ$ $=\{\$ text $\in X:\tau,\text{는$ }의 $얼굴$ 입니다. 즉, 집합 ${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ is a face of }}\rho \}}$ {}는 ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ are faces of }}\rho \}}$ }의 $얼굴$ 입니다. 즉, X: ${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ is a face of }}\rho \}}$ $σ$ 는 $}$ 의 얼굴입니다. {\ $rho \in$ $X$ $:\sigma{text}$ 의 얼굴은 ${\textstyle \sigma }$ } ${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ is a face of }}\rho \}}$ 의 얼굴입니다. -- 즉, \ $textstyle\$ $text$ }의 ${\textstyle \sigma }$ 얼굴입니다.

그래서 그 연결고리는 별의 부분집합입니다.별과 링크는 다음과 같은 관련이 있습니다.

임의의 ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$ X ${textstyle \"$ in $X$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$ ( ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$ , ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$ X ) $=$ { ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$ ( $σ$ ) : $=$ { $textstyle \operatorname {Lk} (\$ textstyle \ $in \operatorname {St}$ (\text, $X):$ \ $tau$ capys \ $empty$ } $=$ \empty
${\textstyle v\in V(X)}$ 의 v ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle v\in V(X)}$ ( ${\textstyle v\in V(X)}$ ) {\ $textstyle$ v $\$ $in$ V( $X$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ ( ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ ) $=$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ ( $v,$ = $v\star$ \ $operatorname {Lk$ ${\textstyle v}$ ^[2]^{: 20} $v, X$ 즉 $vtextstyle$ 의 ${\textstyle v}$ ${\textstyle v}$ 은 v $textstyle$ 에 ${\textstyle v}$ 링크의 원뿔입니다.

아래에 예제가 나와 있습니다.2차원 단순 복합체가 있습니다.왼쪽에는 꼭짓점이 노란색으로 표시됩니다.오른쪽에는 꼭짓점의 별이 녹색으로 표시되어 있습니다.

꼭짓점과 그 별.

참고 항목

정점 그림 - 단순 연결과 유사한 기하학적 개념입니다.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c Bryant, John L. (2001-01-01), Daverman, R. J.; Sher, R. B. (eds.), "Chapter 5 - Piecewise Linear Topology", Handbook of Geometric Topology, Amsterdam: North-Holland, pp. 219–259, ISBN 978-0-444-82432-5, retrieved 2022-11-15
^ ^a ^b C. P. Rourke and B. J. Sanderson (1972). Introduction to Piecewise-Linear Topology. doi:10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3.
^ Bridson, Martin; Haefliger, André (1999), Metric spaces of non-positive curvature, Springer, ISBN 3-540-64324-9

[:0-1] Bryant, John L. (2001-01-01), Daverman, R. J.; Sher, R. B. (eds.), "Chapter 5 - Piecewise Linear Topology", Handbook of Geometric Topology, Amsterdam: North-Holland, pp. 219–259, ISBN 978-0-444-82432-5, retrieved 2022-11-15

[:1-2] C. P. Rourke and B. J. Sanderson (1972). Introduction to Piecewise-Linear Topology. doi:10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3.

[3] Bridson, Martin; Haefliger, André (1999), Metric spaces of non-positive curvature, Springer, ISBN 3-540-64324-9

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