실버머신

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세트 이론에서 실버 기계는 L에 있는 진술 증명에 미세한 구조의 사용을 우회하기 위해 사용되는 장치다.그것들은 건설 가능한 우주에서 세계적인 광장 보유를 증명하기 위한 수단으로서 세트 이론가 잭 실버에 의해 발명되었다.

예선

An ordinal ${\displaystyle \alpha }$ is *definable from a class of ordinals X if and only if there is a formula ${\displaystyle \phi (\mu _{0},\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})}$ and ${\displaystyle \exists \beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\gamma \in X}$ such that ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$ is the unique ordinal for which ${\displaystyle \models _{L_{\gamma }}\phi (\alpha ^{\circ },\beta _{1}^{\circ },\ldots ,\beta _{n}^{\circ })}$ where for all ${\displaystyle \alpha }$ we define ${\displaystyle \alpha ^{\circ }}$ to be $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$에 있는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 이름$.$

구조 ,, ,, ,( ) i {\$displaystyle \langle$ X$,<,$ ($h_{i}_{i$}_{i<\$omega }\rangele}}}}}$이(가) 다음과 같은 경우에만 해당된다.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X\subseteq On}$.
2. < 주문은 On이 X로 제한되어 있다.
3. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$\$forall$ i,$h_{i}}$는 일부 정수 k(${\displaystyle i^{}}$)에 대해 X $k{\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle i^{}}$){\$displaystyle X^{k(i)}}$에서 X까지의 부분 함수다$.$

If ${\displaystyle N=\langle X,<,(h_{i})_{i<\omega }\rangle }$ is an eligible structure then ${\displaystyle N_{\lambda }}$ is defined to be as before but with all occurrences of X replaced with ${\displaystyle X\cap \lambda }$.

$N{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$대를 동일한 기능 k를 가진 적격 구조물 두 개로$$ 한다.Then we say ${\displaystyle N^{1}\triangleleft N^{2}}$ if ${\displaystyle \forall i\in \omega }$ and ${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{k(i)}\in X^{1}}$ we have:

${\displaystyle h_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{k(i)}\cong h_{i}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{k(i)}}}}$

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실버 시스템은 다음 을 만족하는 M= On, <,, , ( ) i <$display$ {\$displaystyle M$=\$langle On,<, (h_{i$}_{$i}_{i$<\omega$}}\$rangle $}}})$ 형식의 적합한 구조물이다.

응축 원리.$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle ◃}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$인 $경우{\displaystyle }$ N ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$과 같은$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \alpha }$이 있다$.$

미세성 원칙.각 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 대해 유한 집합 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \lambda }$λ {\$displaystyle H\subseteq \lambda }$이(가$)$ 있으며$$, 따라서 모든 집합 $A{\displaystyle 1}$+ 1$${\$displaystystyle$A\$seteq \lambda +$1}은$$ 다음과 같다.

${\displaystyle M_{\lambda +1}[A]\subseteq M_{\lambda }[(A\cap \lambda )\cup H]\cup \{\lambda \}}}}}컵 \cup \cup \{\lambda \}}}}}}}}}}$

스콜렘 속성.만약 α{\displaystyle \alpha}의 집합 X⊆ On{X\subseteq On\displaystyle}에서∈ M[X]{\displaystyle \alpha \in M[X]}α,*definable은 게다가가 서수 λ<>[s너 p(X)∪ α]+{\displaystyle \lambda<>[저녁을 먹다.(X)\cup \alpha]^{+}}, 한결같이 Σ 1{\displaystyle \Sigma_{1}}. 그렇지만 있다.inable $\alpha {\displaystyle }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle X\cup \{\alpha$ $\backslash \}\}$에서 α α ${\displaystyle {}_{}}$[ M ${\displaystyle \lambda {}_{}}$[ X${\displaystyle }$]$${\$displaystyle \alpha \in M_}{\lambda }[X$

참조

• Keith J Devlin (1984). "Chapter IX". Constructibility. ISBN 0-387-13258-9.