슈레이어 벡터

수학, 특히 계산 그룹 이론 분야에서 슈라이어 벡터는 순열 그룹의 궤도를 계산하는 데 필요한 시간과 공간의 복잡성을 줄이는 도구다.

개요

Suppose G is a finite group with generating sequence ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},...,x_{r}\}}$ which acts on the finite set ${\displaystyle \Omega =\{1,2,...,n\}}$. A common task in computational group theory is to compute the orbit of some element ${\$디스플레이 $스타일 \omega \in \Oomega }$을(를) G 아래에$$ 표시하십시오.At the same time, one can record a Schreier vector for ${\displaystyle \omega }$. This vector can then be used to find an element ${\displaystyle g\in G}$ satisfying ${\displaystyle \omega ^{g}=\alpha }$, for any ${\displaystyle \alpha \in \omega ^{G}}$. Use of Schreier vectors to perform이는 이러한 g를 명시적으로 저장하는 것보다 더 적은 저장 공간과 시간 복잡성을 필요로 한다.

형식 정의

여기서 사용되는 모든 변수는 개요에 정의되어 있다.

슈라이어${\displaystyle }$벡터는 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \omega \in}$에 대한$$$$ $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ v${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle v}$[${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle v}$[ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle ]}$,${\displaystyle }$. .${\displaystyle }$. . .${\displaystyle }$. . . . . . . . . . . . . . . . . .$$\$style \mathbf {v}$ = $(v[1], v[2$], $...,$ ..., $v[n]]]]]}).$

1. ${\displaystyle v[\omega ]=-1}$
2. For ${\displaystyle \alpha \in \omega ^{G}\setminus \{{\omega }\},v[\alpha ]\in \{1,...,r\}}$ (the manner in which the ${\displaystyle v[\alpha ]}$ are chosen will be made clear in the next section)
3. ${\displaystyle v}$ [${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v[\alpha ]=0}($${\displaystyle {\alpha }^{}}$ Ω G ${\$용

알고리즘에서 사용

여기서 우리는 두 개의 알고리즘에서 슈레이어 벡터의 사용을, 유사코드를 사용하여 설명한다.

• G하에서의 Ω 궤도 계산 알고리즘과 해당 슈레이어 벡터

입력: $\Omega {\displaystyle }$(Ω${\displaystyle ),}$ X = {${\displaystyle }$x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ X$=\{x_{1},x_{2$}, $...,x_{r}\}}$

{ 0, 1, …, n }의 i에 대해:

v[i] = 0으로 설정

설정 궤도 = { Ω}, v[Ω] = -1

궤도의 α 및 {1, 2, …, r }의 i에 대해:

$\alpha {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}^{}}$ ${\$이(가) 궤도에 있지$$ 않은 경우:

$\alpha {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}^{}}$ ${\$\ \ $^{x_{i}}$을(를) 궤도에 추가하십시오.

${\displaystyle v}$ [${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$= i ${\displaystyle$ v$[\displaystyle$^{$x_{i}}]=i}$

귀환 궤도, v

• 첫 번째 알고리즘의 v를 사용하여 Ω^g = α의 일부 α에 대해 G에서 g를 찾는 알고리즘

입력: v, α, X

v[α] = 0인 경우:

거짓으로 답례하다

g = e, k = v[α] 설정(여기서 e는 G의 ID 요소임)

k ≠ -1:

설정 $g{\displaystyle }$= ${\displaystyle x{}_{}}$ k ${\displaystyle {}_{},}$ ${\displaystyle \alpha }$= ${\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {k_{}^{}}^{}}$- ${\displaystyle {1_{}^{}}^{}}$,${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}k}$= ${\displaystyle v}$ [${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ g$={x_{k}g,\displaystyle ^{x_{k}^{x_{k}^{-1},$k=$v[\cf]}}$

리턴 g

참조

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "슈라이어 벡터" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2008년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

• Butler, G. (1991), Fundamental algorithms for permutation groups, Lecture Notes in Computer Science, vol. 559, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-54955-0, MR 1225579
• Holt, Derek F. (2005), A Handbook of Computational Group Theory, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-372-2
• Seress, Ákos (2003), Permutation group algorithms, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 152, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66103-4, MR 1970241