룬게-쿠타 방법(SDE)

확률론적 시스템의 수학에서 룬게-쿠타 방법은 확률론적 미분 방정식의 대략적인 수치해결을 위한 기법이다.일반 미분방정식부터 확률미분방정식(SSE)까지 룬게-쿠타 방법을 일반화한 것이다.중요한 것은, 이 방법은 SSDE에서 계수 함수의 파생상품을 아는 것은 포함하지 않는다는 것이다.

가장 기본적인 계획

$다음$ Ito 확률적 미분식을 만족하는 $Ito 확산$ X {\displaystyle X$}$을(를$)$ 고려하십시오.

${\d}X_{t}=a(X_{t})\,{d}t+b(X_{t})\,{d}W_{t}}}$

with initial condition ${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$, where ${\displaystyle W_{t}}$ stands for the Wiener process, and suppose that we wish to solve this SDE on some interval of time ${\displaystyle [0,T]}$. Then the basic Runge–Kutta approximation to the true solution ${\displaystyle X}$$$ 마르코프 체인 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.^[1]

• 간격${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,T]}$을(를$)$ 너비 = / > ${\displaystyle \delta$= $T/N>0$의 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$N} 하위 절편으로 분할:

${\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<dots <\tau _{N}=T;}$

• $설정{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle }$:= ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle Y_{0}==x_{0}$ $;;$
• ${\displaystyle Y}$ $n{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$을(를) 1${\displaystyle ³}$N$${\$displaystyle 1\leq n\leq N}$에 대해 반복적으로 계산함

${\displaystyle Y_{n+1}:=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}\left(b({\hat {\Upsilon }}_{n})-b(Y_{n})\right)\left((\Delta W_{n})^{2}-\delta \right)\delta ^{-1/2},}$

where ${\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}}$ and ${\displaystyle {\hat {\Upsilon }}_{n}=$$Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\delta ^{1/2}}$ 랜덤 변수 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\$은 독립적이며 기대값 0과 분산 $\Delta {\displaystyle }${\$displaystyle \delta$ $\}$을 갖는 동일한 분포의 정규 랜덤 변수들이다.

이 체계는 강한 순서 1을 가지고 있는데, 이는 고정된 시간에서의 실제 솔루션의 근사 오차는 시간 단계 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta$}과 함께 척도한다는 것을 의미한다$.$ 또한 순서 1이 약하다는 뜻으로, 솔루션 통계에 대한 오차는 시간 단계 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta$}과 함께 척도한다는 것을 의미한다$.$ 완전하고 e를 참조하라.xact 진술

기능 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은(는) 복잡성 없이 시간 변동을 일으킬 수 있다$$.이 방법은 여러 개의 결합 방정식의 경우에 일반화될 수 있다. 원리는 같지만 방정식은 길어진다.

개선된 오일러의 가변성이 유동적임

새로운 런지—Kutta 체계도 강력한 순서 1로 결정론적 ODE를 위한 개선된 오일러 체계로 직접적으로 감소한다.^[2] $일반적$인 이토 SSE를 만족시키는$$ 벡터 확률 프로세스 X${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$ )${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$vec${X}(t)\in \mathb {R}^{n}}$을 고려하십시오.

${\displaystyle d{\vec{X}={\vec {a}(t,{\vec {X})\,dt+{\vec {b}(t,{\vec {X})\,dW,}$

여기서 드리프트 $a{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ 변동성$$ $b{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ {$b}$은(는) 그들 주장의 충분히 부드러운 기능이다$$.Given time step ${\displaystyle h}$, and given the value ${\displaystyle {\vec {X}}(t_{k})={\vec {X}}_{k}}$, estimate ${\displaystyle {\vec {X}}(t_{k+1})}$ by ${\displaystyle {\vec {X}}_{k+1}}$ for time ${\$디스플레이 $스타일 t_{k+1}=t_{k}+h}$을(를) 통해

${\displaystyle{\begin{배열}{rl}&.{\vec{K}}_{1}=h{\vec{}}(t_{k},{\vec{X}}_{k})+(\Delta W_{k}-S_{k}{\sqrt{h}}){\vec{b}}(t_{k},{\vec{X}}_{k}),\\&,{\vec{K}}_{2}=h{\vec{}}(t_{k+1},{\vec{X}}_{k}+{\vec{K}}_{1})+(\Delta W_{k}+S_{k}{\sqrt{h}}){\vec{b}}(t_{k+1},{\vec{X}}_{k}+{\vec{K}}_{1}),\\&,{\vec{X}}_{k+1}={\vec{X}}_{k}+{\frac{1}{2}}({\v.ec{K}_{1}+{\vec {K}_{2}),\end{array}}}$

• $여기$서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle h\sqrt{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle k{}_{}}$ ${\$${\displaystyle {}_{}\mathrm{h}\}}$$Z_{k$$}}{\displaystyle Z_{k}\sim$ N$(0,1$
• 그리고 여기서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{k}{}_{}}$=${\displaystyle }$± 1 ${\displaystyle S_{k}=\pm 1$ 확률 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1/$2}$과(와) 함께 선택한 각 대안$.$

위 내용은 단 한 번의 단계만을 설명한다.${\displaystyle {시간}_{}}$ $t{\displaystyle }$= t = ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ = t = t = t = t = t = t = 0 ${\$${\displaystyle {}_{}}$ $t=t_$${0$$}/$$h$}을${\displaystyle (}$를) 통합하려면 이 시간 단계$({\displaystyle t_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle h}$ ${\$$displaystystyle$$$($t_{$$0})/$h$}$회 반복하십시오$.$

${\displaystyle {이}_{}}$ 계획은${\displaystyle {}_{}}$(±${\$$displaystyle \pm$ 1}을(를) 선택하는 대신$){\displaystyle }$ $전체적$으로 S k = 0 {\$displaystyle$ S_{$k}=0}$ 세트인 경우$$ 스트라토노비치 SDE를${\displaystyle }O{\displaystyle }$ (${\displaystyle h}$ )${\displaystystyle O(h)}$에 통합한다.$$

상위 순서 Runge-Kutta 체계

고차적 계획도 존재하지만 점점 더 복잡해진다.뢰글러는 이토 SSDE를 위해 많은 계획을 수립한 반면,^[3][4] 코모리는 스트라토노비치 SDEs를 위한 계획을 개발했다.^[5][6][7]Racauckas는 RSWM(Rejection Sampling with Memory)을 통한 적응형 시간 스텝을 허용하기 위해 이러한 계획을 확장하여 실제 생물학적 모델에서 규모 효율성 증가와 함께 안정성 향상을 위한 계수 최적화를 달성했다.^[8][9]

참조