상대 유효 카르티어 디비저

대수 기하학에서 상대적 유효 카르티에 디비저는 대략 유효 카르티에 디비저의 계열이다.정확히 말하면, 고리 R에 대한 체계 X의 효과적인 카르티에 디비저는 (1) R 위에 평평하고 (2) D의 이상적인 $셰이프{\displaystyle }$ I${\displaystyle }$(${\displaystyle D}$) ${\디스플레이 스타일$ I$(D)}$이(가) 국소적으로 1위(즉, 반전 가능한 셰이프)가 없는 X의 닫힌 하위 체임 D이다.Equivalently, a closed subscheme D of X is an effective Cartier divisor if there is an open affine cover ${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$ of X and nonzerodivisors ${\displaystyle f_{i}\in A_{i}}$ such that the intersection ${\displaystyle D\cap U_{i}}$ is gif ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{i}=0}($로컬 방정식이라고 함) $및{\displaystyle }$ A${\displaystyle /f{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A/f_{i}A}$는 R 위에 평평하게 위치하므로$$ 서로 호환된다.

선다발 섹션의 제로 루프로서 효과적인 카티어 디비저

Let L be a line bundle on X and s a section of it such that ${\displaystyle s:{\mathcal {O}}_{X}\hookrightarrow L}$ (in other words, s is a ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$-regular element for any open subset U.)

Choose some open cover ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ of X such that ${\displaystyle L _{U_{i}}\simeq {\mathcal {O}}_{X} _{U_{i}}}$. For each i, through the isomorphisms, the restriction ${\displaystyle s _{U_{i}}}$ corresponds to a nonzerodivisor ${\displaystyle f_i}$${\displaystyle {}_{}}$$O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}{X}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ $){\displaystyle {\mathcal {O}_{X}(U_{i$의$$${\displaystyle$ $f_$${s=0\}}$ 이제 X(섹션의 제로 로쿠스라고 함)를$$ 기준으로 닫힌 하위 메뉴를${\displaystyle \mathrm{정의}}$하십시오.

${\displaystyle \{s=0\}\cap U_{i}=\{f_{i}=0\}}}$

여기서 오른쪽은 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 의해 생성된$$ 이상적인 피복이 주는 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 닫힌 하위 체크를 의미한다.$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}f{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{{}_{}}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ j ${\$}} _{U}}\cap U_${$j}}}}}}}}이(가) 단위 요소이기$$ 때문에 이는 잘 정의되어 있다.닫힌 하위 체임${\displaystyle }${${\displaystyle s}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{s=0\}}$은(는) 로컬 사소한 항목의 선택과 무관하다$$.

동등하게 s의 영점(zero locus)은 형태론의 섬유로서 구성될 수 있다. 즉, L을 그것의 총공간으로 보고, s섹션 s는 L의 X-모르퍼시즘 $s{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→${\displaystyle }$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle$ s$:$$\to X}$ 뒤에 $오는{\displaystyle }$ 것이$$$$ $정체성$이다.그런 다음${\displaystyle }${${\displaystyle \mathrm{s}}$= 0${\displaystyle }$}$${\$displaystyle$\{$s=0\}$의 섬유 제품 및 제로 섹션 포함 ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s_{0}:X\to L}$의 구성될 수 있다$$$.$

마지막으로$,{\displaystyle }$ 기본 구성표 S에 대해 {${\displaystyle s}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{s=0\}}}$이(가) 평평할$$ 때 X over S에 유효한 카르티에 디비서가 된다.또한, 이 구조는 다음과 같이 X에 효과적인 카티어 디비저를 모두 배출한다.D를 효과적인 카르티에 디비서가 되게 하고 $I{\displaystyle }$($){\displaystyle I(D)}$는 D의 이상적인 껍질을 나타낸다$$.Because of locally-freeness, taking ${\displaystyle I(D)^{-1}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}-}$ of ${\displaystyle 0\to I(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0}$ gives the exact sequence

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{X}\to I(D)^{-1}\to I(D)^{-1}\otimes {\mathcal {O}_{D}\to 0}$

In particular, 1 in ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ can be identified with a section in ${\displaystyle \Gamma (X,I(D)^{-1})}$, which we denote by ${\displaystyle s_{D}}$.

Now we can repeat the early argument with ${\displaystyle L=I(D)^{-1}}$. Since D is an effective Cartier divisor, D is locally of the form ${\displaystyle \{f=0\}}$ on ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$ for some nonzerodivisor f in A.사소한 L ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}\stackrel{}{}}$→${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$L$_{U}=Af^{-1}{\overset{\sim }{\\to }A}}$는 f에 의한 곱셈으로 주어지며$$, 특히 1은 f에 해당한다.따라서 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\$의 영로쿠스는 D이다.

특성.

• D와 D'가 유효한 카르티에 분배기일 경우, D +${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ D+$D'의$합은 f $g{\displaystyle }$ =${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle fg=0}($f$$, g가 D와 D'에 대한 국부 방정식을 로컬로 정의한 유효 카르티에 분배기이다$$.
• If D is an effective Cartier divisor and ${\displaystyle R\to R'}$ is a ring homomorphism, then ${\displaystyle D\times _{R}R'}$ is an effective Cartier divisor in ${\displaystyle X\times _{R}R'}$.
• If D is an effective Cartier divisor and ${\displaystyle f:X'\to X}$ a flat morphism over R, then ${\displaystyle D'=D\times _{X}X'}$ is an effective Cartier divisor in X' with the ideal sheaf ${\displaystyle I(D')=f^{*}(I(D))}$.

예

하이퍼플레인 번들

상대 곡선의 유효 카르티어 구분자

지금부터 X가 매끄러운 곡선(아직 R보다 높은 곡선)이라고 가정해 보자.D를 X의 효과적인 카르티에 디비서가 되게 하고 R에 대해 적절하다고 가정한다(X가 적절하다면 즉시).그러면 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}(D}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$) ${\displaystyle \Gamma(D$, ${\mathcal{O}_{D})$는 유한 등급의 국소적으로 자유로운 R-모듈이다.This rank is called the degree of D and is denoted by ${\displaystyle \deg D}$. It is a locally constant function on ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$. If D and D' are proper effective Cartier divisors, then ${\displaystyle D+D'}$ is proper over R and ${\displaystyle \mathrm{deg}(D+D^{\prime })=\mathrm{deg}(D)+\mathrm{deg}}$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle \deg(D+D')=\deg(D)+\deg(D')}.$$let{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$: X ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X'\to$ X$}$는 유한 평면 형태론이다$$.Then ${\displaystyle \deg(f^{*}D)=\deg(f)\deg(D)}$.^[1] On the other hand, a base change does not change degree: ${\displaystyle \deg(D\times _{R}R')=\deg(D)}$.^[2]

X의 닫힌 하위 체임 D는 R에 대해 적절한 효과적인 카르티에 디비저인 경우에만 유한하고 평평하며 유한한 표시다.^[3]

효과적인 카르티어 디비저와 관련된 웨일 디비저

효과적인 Cartier divisor D가 주어지면, Weil divisor${\displaystyle }$[${\displaystyle D}$] ${\displaystyle [D]}$을(를) 그것에 연관시키는$$ 두 가지 동등한 방법이 있다.

메모들

참조

• Katz, Nicholas M; Mazur, Barry (1985). Arithmetic Moduli of Elliptic Curves. Princeton University Press. ISBN 0-691-08352-5.