레일리 플로우

레일리 흐름은 열 추가 또는 제거 효과가 고려되는 일정한 면적 덕트를 통과하는 마찰 없는 비단열 흐름을 말합니다.압축성 효과는 종종 고려되지만, 레일리 흐름 모델은 확실히 비압축성 흐름에도 적용된다.이 모델의 경우 덕트 면적은 일정하게 유지되며 덕트 내에 질량이 추가되지 않습니다.따라서 Fanno 흐름과 달리 정체 온도가 변수입니다.열 첨가는 정체 압력의 감소를 유발하며, 이는 레일리 효과로 알려져 있으며 연소 시스템 설계에 매우 중요합니다.열을 더하면 초음속과 아음속 마하 수치가 모두 마하 1에 가까워져 흐름이 막히게 됩니다.반대로 열제거는 아음속 마하수를 감소시키고 덕트를 따라 초음속 마하수를 증가시킨다.열량적으로 완벽한 흐름의 경우 M = 1에서 최대 엔트로피가 발생한다는 것을 알 수 있다. 레일리 흐름의 이름은 제3대 레일리 남작 존 스트럿의 이름을 따왔다.

이론.

레일리 흐름 모델은 마하 수의 변화와 정체 온도 변화₀ T를 연관짓는 미분 방정식으로 시작합니다.미분방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle\\frac {dM^{2}}{1+\frac M^{2}}{1-M^{2}}\left(1+{\frac -1}{2}}M^{2}\오른쪽){\frac {d2}}T_{0}}{T_{0}}}}$

미분방정식을 풀면 아래와 같은 관계가 됩니다.여기서₀ T*는 흐름을 열적으로 질식시키는 데 필요한 덕트의 목구멍 위치의 정체 온도입니다.

${\displaystyle\\frac{T_{0}}{T_{0}^{*}}=param frac {2\left(\param +1\오른쪽)M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}\left(1+{\frac {\gamma-1}{2}}M^{2}\right)}$

이러한 값은 연소 시스템 설계에 중요합니다.예를 들어 터보젯 연소실의 최대 온도가 T* = 2000K인 경우₀₀ 연소실 입구의 T 및 M을 선택해야 열적 질식 현상이 발생하지 않으므로 엔진으로 유입되는 공기의 질량 유량이 제한되고 추력이 감소합니다.

레일리 플로우 모델의 경우 엔트로피 관계의 무차원 변화는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \ \Delta S = {c_{p} = \ln \left [ M^{2} \left ( { \ frac + 1 } { 1 + \ frac M^ { } } \ right )^{ \ frac + 1 } { \ frac } { \ frac$

위의 방정식을 사용하여 Rayleigh 선을 마하 수 대 δS 그래프에 표시할 수 있지만 무차원 엔탈피, H, δS 다이어그램이 더 자주 사용됩니다.무차원 엔탈피 방정식은 일정한 압력에서의 열용량 c가_p 일정하게 유지되는 열량 완전 가스의 초크 위치에서 정적 온도와 그 값을 관련짓는 방정식과 함께 아래에 나와 있습니다.

$디스플레이 스타일H&=beak frac {h}{h^{*}}=beak frac {c_{p}T}{c_{p}T^{*}}=blac{T}{T^{*}}\{\frac {T}{T^{*}&=frac {\left(\two +1\right)^{2}M^{2}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^2}\\end{aligned}}$

위의 방정식은 M을 H의 함수로서 풀 수 있도록 조작할 수 있다.그러나 T/T* 방정식의 형태로 인해 M = M(T/T*)에 대해 복잡한 다근 관계가 형성된다.대신 그림 1과 같이 차트 내에서 δS와 H를 일치시킬 수 있는 독립 변수로 M을 선택할 수 있다.그림 1은 M = 1.0 및 흐름 초크까지 가열이 업스트림 아음속 마하 수치를 증가시킨다는 것을 보여줍니다.반대로 상향 초음속 마하 수치를 가진 덕트에 열을 가하면 흐름이 초크할 때까지 마하 수치가 감소합니다.냉각은 두 가지 경우 각각 반대 결과를 낳습니다.레일리 플로우 모델은 M = 1.0에서 최대 엔트로피에 도달합니다. 아음속 플로우의 경우 H의 최대값은 M = 0.845에서 발생합니다.이는 가열 대신 냉각으로 인해 마하 수치가 0.845에서 1.0으로 이동함을 나타냅니다. 정체 온도가 항상 증가하여 아음속 마하 수치에서 M = 0.845에서 M = 1.0으로 흐름이 이동하므로 반드시 정확한 것은 아닙니다.따라서 열은 추가되지만 T/T*는 감소하는 상태입니다.

추가 레일리 흐름 관계

면적 및 질량 유량은 레일리 유량에 대해 일정하게 유지됩니다.Fanno 흐름과 달리 Fanning 마찰 계수 f는 일정하게 유지됩니다.이러한 관계는 질식할 수 있는 목의 위치를 나타내는 * 기호와 함께 아래에 나와 있습니다.

$디스플레이 스타일A&=A^{*}=mbox{constant}\{\dot {m}}&=modot {m}^{*}=mbox {mod}\\end {aligned}}$

질식 위치의 값에 대한 레일리 유량 특성비를 설명하기 위해 미분 방정식을 개발하고 풀 수도 있다.압력, 밀도, 정적 온도, 속도 및 정체 압력의 비율은 각각 아래에 나와 있습니다.이들은 이전 섹션의 정체 온도 비율 방정식과 함께 그래픽으로 표현됩니다.정체 속성은 '0' 첨자를 포함합니다.

${\displaystyle {\frac {p}{p^{*}}&=frac {\frac +1}{1+\frac M^{2}}\{\frac {1+\rho }{\rho }&=frac {1+\frac M^{2}}{\(왼쪽)M^{2}}\{\frac {T}{T^{*}}&=frac {\left(1+\gamma M^{2}M^{2}}{2}\{\frac {v^{*}}&=frac {\left(\frac +1\right)M^{2}}{1+\gamma M^{2}}\{\frac {p_{0}{*}}&=frac {1+\frac M^{2}}\left[\left({\frac {2}{\frac {1}\frac {1})\frac {\frac}$

적용들

레일리 플로우 모델은 많은 분석적 용도를 가지고 있으며, 특히 항공기 엔진과 관련이 있다.예를 들어 터보젯 엔진 내부의 연소실은 일반적으로 일정한 면적을 가지며 연료량 추가는 무시할 수 있습니다.이러한 특성으로 인해 Rayleigh 흐름 모델은 열 추가가 공연비 혼합물의 해리를 초래하지 않는다고 가정할 때 연소를 통한 흐름에 열을 추가하는 데 적용할 수 있습니다.열흡입으로 인해 엔진 연소실 내부에 충격파가 발생하는 것은 질량 유량 및 추력 감소로 인해 매우 바람직하지 않습니다.따라서 Rayleigh 흐름 모델은 엔진의 덕트 형상 및 연소 온도의 초기 설계에 매우 중요합니다.

레일리 플로우 모델은 Fanno 플로우 모델에서도 광범위하게 사용됩니다.이 두 모델은 엔탈피-엔트로피 및 마하 수-엔트로피 다이어그램의 점에서 교차하며, 이는 많은 애플리케이션에 의미가 있습니다.그러나 소닉 상태에서는 각 모델의 엔트로피 값이 동일하지 않습니다.각 모델의 엔트로피 변화는 M = 1에서 0이지만, 앞의 설명은 동일한 임의 지점에서 소닉 점으로의 엔트로피 변화는 Fanno 및 Rayleigh 흐름 모델에서 다르다는 것을 의미합니다.s와_i M의_i 초기값을 정의하면 각 모델에 대해 무차원 엔트로피 대 마하 수에 대한 새로운 방정식을 정의할 수 있다.Fanno 및 Rayleigh 흐름은 다음과 같습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\Delta S_{F}&, ={\frac{s-s_{나는}}{c_{p}}}=ln\left[\left({\frac{M}{M_{나는}}}\right)^{\frac{\gamma)}{\gamma}}\left({\frac{1+{\frac{\gamma)}{2}}M_{나는}^{2}}{1+{\frac{\gamma)}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac{\gamma+1}{2\gamma}}\right]\\\Delta S_{R}&, ={\frac{s-s_{나는}}{c_{p}}}=ln\left-LSB- \left({\frac{M}{M_{나는}}}\right).^{2}\left({\frac {1+\gamma M_{i}^{2}}{1+\gamma M^{2}}\오른쪽)^{\frac {gamma +1}{\gamma }}\end {aligned}}})$

그림 3은 s = 0 및_i M = 3.0의 초기_i 조건에 대해 서로 교차하는 Rayleigh 선과 Fanno 선을 보여줍니다. 교차점은 새로운 무차원 엔트로피 방정식을 서로 동등하게 하여 계산되며, 그 결과는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(1+{\frac -1}{2}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}{2}{{2}\left(1+\gamma M_{i}^2}\right){2}\right]=\left(1+\frac - {{1}{{{{{{1}}{{{{{1}}{{}}{{{}}}}{{{{m}}}}}{{{}}}}}{m}}}}}{{{{{{$

교차점은 주어진 초기 마하 수치와 정규 충격 이후의 값으로 발생한다.그림 3의 경우 이 값은 M = 3.0 및 0.4752이며, 대부분의 압축성 흐름 교과서에 나열된 정상 충격 표를 찾을 수 있다.일정한 덕트 면적을 가진 주어진 흐름은 이러한 지점에서 레일리 모델과 Fanno 모델 사이를 전환할 수 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 팬노 플로우
• 등엔트로픽 과정
• 등온류
• 기체역학
• 압축 흐름
• 막힌 흐름
• 엔탈피
• 엔트로피

레퍼런스

• Strutt, John William (Lord Rayleigh) (1910). "Aerial plane waves of finite amplitudes". Proc. R. Soc. Lond. A. 84 (570): 247–284. doi:10.1098/rspa.1910.0075., 또한 다음과 같습니다.
  • Dover, ed. (1964). Scientific papers of Lord Rayleigh (John William Strutt). Vol. 5. pp. 573–610.
• Zucker, Robert D.; Biblarz O. (2002). "Chapter 10. Rayleigh flow". Fundamentals of Gas Dynamics. John Wiley & Sons. pp. 277–313. ISBN 0-471-05967-6.
• Shapiro, Ascher H. (1953). The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow, Volume 1. Ronald Press. ISBN 978-0-471-06691-0.
• Hodge, B. K.; Koenig K. (1995). Compressible Fluid Dynamics with Personal Computer Applications. Prentice Hall. ISBN 0-13-308552-X.
• Emanuel, G. (1986). "Chapter 8.2 Rayleigh flow". Gasdynamics: Theory and Applications. AIAA. pp. 121–133. ISBN 0-930403-12-6.

외부 링크

• 퍼듀 대학교 레일리 유량 계산기
• 켄터키 대학교 레일리 플로우 웹계산기