판노 흐름

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판노 흐름은 마찰의 영향을 고려하는 일정한 면적 덕트를 통과하는 단열 흐름이다.^[1]압축성 효과는 Fanno 흐름 모델이 압축 불가능한 흐름에도 확실히 적용되지만 종종 고려된다.이 모델의 경우 덕트 면적은 일정하게 유지되며, 흐름은 일정하고 1차원적인 것으로 가정되며, 덕트 내에서는 질량이 추가되지 않는다.Panno flow model은 점성 효과로 인해 되돌릴 수 없는 프로세스로 간주된다.점성 마찰은 덕트를 따라 유량 특성을 변화시킨다.마찰 효과는 덕트의 모든 단면에 걸쳐 균일한 성질을 가진 유체에 작용하는 벽체의 전단 응력으로 모델링된다.null

충분히 긴 덕트에서 업스트림 마하 수치가 1.0보다 큰 흐름의 경우 감속이 발생하여 흐름이 막힐 수 있다.한편, 업스트림 마하 수치가 1.0 미만인 흐름의 경우 가속이 발생하여 충분히 긴 덕트에서 흐름이 질식될 수 있다.칼로리학적으로 완벽한 기체의 흐름의 경우 최대 엔트로피가 M = 1.0에서 발생한다는 것을 보여줄 수 있다.판노 흐름은 지노 지롤라모 판노의 이름을 따서 명명되었다.null

이론

Fanno 유량 모델은 덕트의 길이 dM/dx와 관련된 마하 수치의 변화와 관련된 미분 방정식으로 시작한다.미분방정식의 다른 용어로는 열용량비, γ, 패닝 마찰 계수, f, 유압 직경 D_h:

${\dfrac \{dM^{2}}:{{M^{2}}={\frac {\gamma M^{1}{2}}:2}}:}}\좌측(1+{\frac {\gamma -1}{2}}:M^{2}\오른쪽){\frac {4f}{D_{d}d}}}$

패닝 마찰계수가 덕트벽을 따라 상수라고 가정하면 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다.^[2][3]그러나 파닝 마찰 인자의 가치는 초음속과 특히 극초음속 유속에서는 결정하기 어려울 수 있다는 점을 명심해야 한다.그 결과 관계는 아래 나와 있다. 여기서 L*는 업스트림 마하 수가 초음속이라고 가정할 때 흐름을 질식시키는 데 필요한 덕트 길이다.왼쪽을 흔히 판노(Fanno) 파라미터라고 부른다.null

${\displaystyle \ {\frac {4fL^{*}}{D_{h}}}=\left({\frac {1-M^{2}}{\gamma M^{2}}}\right)+\left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)\ln \left[{\frac {M^{2}}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\right]}$

Fanno 흐름 모델에서도 마찬가지로 중요한 것은 일정한 압력에서 열 용량에 대한 엔트로피 변화의 치수 없는 비율이다. c_p.

${\displaystyle \ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[M^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left(\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\right]\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]\right)^{\frac {-(\gamma +1)}{2\gamma }}\right]}$

위의 방정식은 정전기 대 정전기 온도 비율의 관점에서 다시 쓰일 수 있으며, 이는 칼로리학적으로 완벽한 가스의 경우 치수 없는 엔탈피 비율인 H:

${\displaystyle \H={\frac {h}{h_{0}}={\frac {c_{p}T}{c_{p}T_{0}}={\frac {T}{T_{0}}}}$

${\displaystyle \ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {1}{H}}-1\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {2}{\gamma -1}}\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {\gamma +1}{2}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left(H\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]}$

위의 방정식을 사용하여 H-ΔS 다이어그램에 주어진 Panno 흐름 조건에 대한 상태 위치를 나타내는 Fanno 선을 표시할 수 있다.도표에서 판노 라인은 H = 0.833에서 최대 엔트로피에 도달하고 흐름은 질식된다.열역학 제2법칙에 따르면 팬노 흐름을 위해서는 엔트로피가 늘어야 한다.이는 마찰이 있는 덕트로 들어가는 아음속 흐름은 흐름이 막힐 때까지 마하 수치가 증가한다는 것을 의미한다.반대로 초음속 흐름의 마하 수는 흐름이 막힐 때까지 감소할 것이다.Fanno 라인의 각 지점은 다른 마하 숫자에 해당하며, 질식 흐름으로의 이동이 다이어그램에 표시된다.null

Fanno 라인은 질량 유량과 총 엔탈피가 일정하게 유지될 때 기체에 대해 가능한 상태를 정의하지만, 모멘텀은 다양하다.판노 라인의 포인트마다 모멘텀 값이 다를 것이며, 모멘텀의 변화는 마찰 효과에 기인한다.^[4]null

추가 Fanno 흐름 관계

앞에서 설명한 것처럼 덕트의 면적과 질량 유량은 팬노 유량에 대해 일정하게 유지된다.게다가, 정체 온도는 일정하게 유지된다.이러한 관계는 질식사할 수 있는 목 위치를 나타내는 * 기호와 함께 아래에 표시된다.정체 속성은 0 첨자를 포함한다.null

${\displaystyle {\reasoned}A&=A^{*}={\mbox{constant}\\T_{0}&=T_{0}^{*}={\mbox{constant}\\{\dot{m}={m}^{*}={\mbox{constant}\end}}}}}}}}}$

또한 질식 위치의 값에 대한 Fanno 흐름 특성 비율을 설명하기 위해 미분 방정식을 개발하고 해결할 수 있다.압력, 밀도, 온도, 속도 및 정체 압력의 비율은 각각 다음과 같다.그것들은 Fanno 매개변수와 함께 그래픽으로 표현된다.null

${\displaystyle {\begin{p^{p}{p^{*}}&={\frac {1}{{1}{{1}{{1}{{1}}{\frac{2}{\gamma +1}\right)\좌측(1+{\frac {\framma -1}{2M^{{{2}}:} 오른쪽)}}\\\\frac{\rho }{\rho ^{*}}&={\frac{1}{1}{1}{1}{{1}{{1}}{{\frac{2}}}}{\frac{\gamma +1}\오른쪽)\좌측(1+{\frac{1}{2}}M^{2}\rig}}}\\{\frac{T}{T^{*}}&={\frac {1}{\frac{2}{\gamma +1}\오른쪽)\왼쪽(1+{\frac{\frac{\1}{2}}M^{2}}\오른쪽)}}\\{\frac {V}{V^{*}}&=M{\frac {1}{\sqrt {\\\{\frac {2}{\gamma +1}\오른쪽)\왼쪽(1+{\frac{\pamma -1}{2}}M^{2}\오른쪽)}}}\\{\frac {p_{0}}{p_{0}^{*}}}&={\frac {1}{M}}\left[\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma +1}{2\left(\gamma -1\right)}}\end{aligned}}}$

적용들

노즐의 설계와 분석에 Fanno flow model이 자주 사용된다.노즐에서 수렴 또는 분기 영역은 등방성 흐름으로 모델링하고, 이후 일정 영역 부분은 Fanno 흐름으로 모델링한다.그림 3과 4와 같이 지점 1의 업스트림 조건에 대해 노즐 출구 마하 번호와 상수 면적 덕트의 정상 충격 위치를 결정하기 위해 계산할 수 있다.지점 2는 노즐 목구멍에 라벨을 표시하며, 여기서 흐름이 막힐 경우 M = 1이다.점 3은 노즐의 끝에 등방성으로부터 팬노로 흐름이 전환되는 지점을 표시한다.초기의 압력이 충분하면 초음속 유량은 블로 다운형 초음속 풍동의 원하는 성능과 유사하게 일정한 면적 덕트를 통해 유지될 수 있다.그러나 이러한 수치는 충격파가 덕트를 통해 완전히 이동하기 전의 것을 보여준다.충격파가 존재하는 경우, M = 1 방향으로 계속 진행하기 전에 Fanno 라인의 초음속 부분에서 아음속 부분으로 흐름이 전환된다.그림 4의 움직임은 열역학 제2법칙을 만족시키기 위해 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 움직인다.null

Fanno flow 모델은 또한 Rayleigh flow 모델과 함께 광범위하게 사용된다.이 두 모델은 엔탈피-엔트로피와 마하 수-엔트로피 도표의 지점에서 교차하며, 이는 많은 용도에 의미가 있다.그러나 각 모델의 엔트로피 값은 소닉 상태에서 동일하지 않다.엔트로피의 변화는 모델별로 M = 1에서 0이지만, 앞의 문장은 같은 임의 지점에서 소닉 포인트로 엔트로피의 변화가 판노와 레일리 흐름 모델에 따라 다르다는 것을 의미한다.s와_i M의_i 초기 값을 정의하면 각 모델에 대해 치수 없는 엔트로피 대 마하 수에 대한 새로운 방정식을 정의할 수 있다.이러한 방정식은 각각 Fanno와 Rayleigh flow에 대해 아래에 제시되어 있다.null

${\displaystyle{\begin{정렬}\Delta S_{F}&, ={\frac{s-s_{나는}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac{M}{M_{나는}}}\right)^{\frac{\gamma)}{\gamma}}\left({\frac{1+{\frac{\gamma)}{2}}M_{나는}^{2}}{1+{\frac{\gamma)}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac{\gamma+1}{2\gamma}}\right]\\\Delta S_{R}&, ={\frac{s-s_{나는}}{c_{p}}}=\ln\left[\left({\frac{M}{M_{나는}}}\ri.ght)^{2}\left({\frac{1+\gamma M_{i}^{2}}:{1+\gamma M^{2}}:}\오른쪽)^{\frac {\gamma +1}{\1}{\gamma }\ligned}}}}}}$

그림_i 5는 s = 0과 M = 3의_i 초기 조건에서 서로 교차하는 Fanno와 Rayleigh 선을 보여준다.교차로점은 새로운 차원 없는 엔트로피 방정식을 서로 동일시하여 계산하며, 그 결과 아래와 같은 관계가 된다.null

${\displaystyle \ \left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}^{2}}{\left(1+\gamma M_{i}^{2}\right)^{2}}}\right]=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\left[{\frac {M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\right]}$

교차점은 주어진 초기 마하 수치와 그것의 정상 충격 후 값으로 발생한다.그림 5의 경우 이 값은 M = 3과 0.4752로 대부분의 압축 가능한 흐름 교재에 나열된 정상 충격 표를 찾을 수 있다.일정한 덕트 영역을 가진 주어진 흐름은 이 지점에서 Fanno와 Rayleigh 모델 사이를 전환할 수 있다.null

참고 항목

• 레일리 흐름
• 등방성 공정
• 등온유량
• 가스 역학
• 압축유동
• 질식유동
• 엔탈피
• 엔트로피
• 등방성 노즐 흐름

참조

외부 링크

• 퍼듀 대학교 단열 및 등온 팬노 유량 계산기
• 켄터키 주립 대학교 Fanno flow Webcalculator
• 모리스 다우니, 지노 판노