방사 함수

수학에서 방사형 함수는 유클리드 공간ⁿ R에 정의된 함수로, 각 점의 값이 그 점과 원점 사이의 거리에만 의존한다.예를 들어, 2차원의 방사형 함수 φ은 형태를 가진다.

${\displaystyle \Phi(x,y)=\varphi(r),\quad r={\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}$

여기서 φ은 단일 비 음의 실제 변수의 함수다.방사상 함수는 구형 함수와 대조되며, 유클리드 공간의 모든 괜찮은 함수(예: 연속적이고 빠르게 감소)는 방사상 및 구형 부분으로 구성된 직렬로 분해될 수 있다: 고체 구형 고조파 팽창이다.

함수는 원점을 고정시킨 채 모든 회전 시 불변인 경우에만 원점이 고정된다.즉, ƒ은 만약의 경우에 한하여 방사상이다.

$\displaystyle f\put \rho=f\,}$

모든 ρ ∈ SO(n)에 대해, n 치수의 특수 직교 그룹.방사형 함수의 이러한 특성화를 통해 방사형 분포도 정의할 수 있다.다음은ⁿ R에 대한 분포 S이며 다음과 같다.

$S[\displaystyle S[\varphi ]=S[\varphi \circ \rho ]}$

모든 시험 기능 φ과 회전 ρ에 대하여.

임의의 (로컬하게 통합 가능한) 함수 ƒ에 따라, 그것의 방사형 부분은 원점을 중심으로 한 구를 평균하여 주어진다.재치있게.

${\displaystyle \phi(x)={\frac {1}{\omega_{n-1}\int_{S^{n-1}f(rx')\,dx'}}$

여기서 Ω은_n−1 (n-1)-sphere S의ⁿ⁻¹ 표면적이며, r = x , x′ = x/r이다.국소적으로 통합할 수 있는 함수가 거의 모든 r에서 잘 정의된 방사형 부분을 갖는다는 것은 푸비니의 정리에 따라 근본적으로 이루어진다.

방사형 함수의 푸리에 변환도 방사형이며, 따라서 푸리에 분석에서 방사형 함수는 중요한 역할을 한다.더욱이 방사형 함수의 푸리에 변환은 일반적으로 비방사성 함수보다 무한대에서 더 강한 붕괴 동작을 가진다: 원점 부근에 경계된 방사형 함수의 경우 푸리에 변환은 R보다^−(n−1)/2 더 빠르게 분해된다.베셀 함수는 라플라시안의 방사형 고유 기능으로서 푸리에 분석에서 자연적으로 발생하는 방사형 함수의 특수한 등급이다. 따라서 그것들은 푸리에 변환의 방사형 부분으로 자연적으로 나타난다.

참고 항목

• 반지름 기준 함수

참조

• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.