퀘이디터미네이터

수학에서 쿼시디터미네이터는 비확정 항목이 있는 행렬의 결정요소에 대한 대체물이다.예 2 × 2 quasideterminant는 다음과 같다.

${\displaystyle \left {\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right _{11}=a_{11}-a_{12}{a_{22}}^{-1}a_{21}\qquad \left {\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right _{12}=a_{12}-a_{11}{a_{21}}^{-1}a_{22}.}$

일반적으로 n × n 행렬(행렬의 각 위치에 대해 1개)에 대해 정의된 quasideterminant가 없지만², 위의 반전된 용어의 존재는 독자에게 일시 정지 상태를 제공해야 한다: 그것들이 항상 정의되는 것은 아니며, 정의되는 경우에도 항목이 통근할 때 결정요인으로 감소하지 않는다.오히려

${\displaystyle \왼쪽 A\오른쪽 _{ij}=(-1)^{i+j}{\frac {\detail A}{\detail A^{ij}}}}}$

여기서 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\$는 ith 행과 jth 열을 A에서 삭제함을 의미한다$$.

위의 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ 2 ${\displaystyle 2\times 2}$ 예제는$$ 리처드슨과^[1][2] 헤이팅에 의해 1926년부터 1928년 사이에 도입되었지만,^[3] $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$의 기재에 다항식이 아니었기 때문에 당시에는 소외되었다.이러한 예는 1991년 이스라엘 겔판드와 블라디미르 레타크에 의해 재발견되어 새로운 생명을 부여받았다.^[4][5]거기서 그들은 많은 친숙한 결정요인 성질의 준결정적 버전을 개발한다.예를 들어 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B}이$($$가$) i ${\displaystyle$ i}$-th$ 행$$(왼쪽)을 ${\displaystyle by}$ ${\$$\$왼쪽)으로 다시 정렬하여$$ A ${\displaystystyle$ A}에서 빌드된 경우$\rho \right.}$, then ${\displaystyle \left B\right _{ij}=\rho \left A\right _{ij}}$. Similarly, if ${\displaystyle B}$ is built from ${\displaystyle A}$ by adding a (left) multiple of the ${\displaystyle k}$-th row to another row, then ${\displaystyle B_{ij}=A_{ij}(\mathrm{\forall }j}$${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle ki}$ i${\displaystyle }$) ${\displaystyle \왼쪽$ B$\오른쪽$_${ij}=\왼쪽 A\$오른쪽 $_{ij}\,\,(\$all j$;\all k\neq$ i$)\}.$그들은 심지어 크레이머의 법칙을 quasideterminant 버전으로 개발한다.

정의

Let ${\displaystyle A}$ be an ${\displaystyle n\times n}$ matrix over a (not necessarily commutative) ring ${\displaystyle R}$ and fix ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$. Let ${\displaystyle a_{ij}}$ denote the (${\displaystyle i,j}$)-entry of ${\displaystyle A}$, let ${\displaystyle r_{i}^{j}}$ denote the ${\displaystyle i}$-th row of ${\displaystyle A}$ with column ${\displaystyle j}$ deleted, and let ${\displaystyle c_{j}^{i}}$ denote the ${\displaystyle j}$-th column of ${\displaystyle A}$ with row ${\displaystyle i}$ deleted. $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $i$$,j}$의 (${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j}$ ${\$$displaystyle$ A$})-$quasidminant는 하위atrix $A{\displaystyle {}^{}}$ i ${\displaystyle j^{}}$ ${\$이(가) $R{\displaystyle }$ ${\displaysty R}$보다 변위할 수 없는 경우$$ 정의된다$.$

${\displaystyle \left A\right _{ij}=a_{ij}-r_{i}^{j}\,{\bigl (}A^{ij}{\\bigr )^{-1}\,c_{j}^{i}}}.}$

Recall the formula (for commutative rings) relating ${\displaystyle A^{-1}}$ to the determinant, namely ${\displaystyle (A^{-1})_{ji}=(-1)^{i+j}{\frac {\det A^{ij}}{\det A}}}$. The above definition is a generalization in that (even for noncommutative rings)가지고 있다

${\displaystyle {\bigl (}A^{-1}{\bigr )}_{\\\!ji}=\왼쪽 A\오른쪽 _{ij}^{\,-1}$

쌍방이 이치에 맞을 때마다

정체성

퀘이시데터미네이트의 가장 중요한 속성 중 하나는 겔판드와 레타흐가 말하는 "계승 원리"이다.그것은 단계별로 퀘이시디터미네이터를 복용할 수 있도록 허용하고 (상호작용은 없다.)예를 들어,

${\displaystyle \left\put{array}{cc}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{array}\오른쪽)}$

$a{\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$ $k$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\times n$$}$ 행렬$$ $A{\displaystyle }$ ${\$ a k$$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle$ k\$times$ k$} 행렬$의 블록 행렬$$ 분해.(${\displaystyle }$, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i,j})-$intry $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$ 안에 있으면$$ 다음과 같이 되어 있다$.$

${\displaystyle \왼쪽 A\오른쪽 _{ij}=\왼쪽 A_{11}-A_{12}\,{A_{22}^{1},A_{21}\오른쪽 _{ij}.}$

즉, 퀘이시디터미네이터의 퀘이시디터미네이터는 퀘이시디터민턴트다.간략하게 말하자면, 결정요인과 달리, 준결정요인은 블록 매트릭스 항목으로 매트릭스를 처리한다(블록 매트릭스는 일반적으로 서로 통근하지 않기 때문에 어떤 결정요인은 할 수 없다).즉, 위의 정체성의 정확한 형태는 상당히 놀랍지만, 그러한 정체성의 존재는 다소 덜하다.논문에서 나온 다른 정체성은 (i) 공통의 행이나 열에 있는 2개의 준거성 물질이 서로 밀접하게 연관되어 있다고 진술하는 이른바 "호르몬 관계"와 (ii) 실베스터 공식이다.

(i) 공통 행 또는 컬럼을 공유하는 2개의 쿼시디터미네이터가 충족됨

${\displaystyle \왼쪽 A\오른쪽 _{ij}A^{il} _{kj}^{\,-1}=-\왼쪽 A\오른쪽 _{il}A^{ij} _{kl}^{kl}^{,-1}$

또는

${\displaystyle A^{kj} _{il}^{\,-1}\왼쪽 A\오른쪽 _{ij}=- A^{ij} _{kl}^{\,-1}\왼쪽 A\오른쪽 _{kj}}$

모든 선택에 대해 각각${\displaystyle }i{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i\neq k$ $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle j\neq$ l$}$을(를) 사용하여 관련된$$ 쿼시디터미네이터가 정의된다.

(ii) 유전 원리와 마찬가지로 실베스터 정체성은 퀘이시디터민제를 재귀적으로 계산하는 방법이다.표기법을 완화하기 위해 특별한 케이스를 표시한다.Let ${\displaystyle A_{0}}$ be the upper-left ${\displaystyle k\times k}$ submatrix of an ${\displaystyle n\times n}$ matrix ${\displaystyle A}$ and fix a coordinate (${\displaystyle i,j}$) in ${\displaystyle A_{0}}$. Let ${\displaystyle B=(b_{pq})}$be the ${\displaystyle (n-k)\times (n-k)}$ matrix, with ${\displaystyle b_{pq}}$ defined as the (${\displaystyle p,q}$)-quasideterminant of the ${\displaystyle (k+1)\times (k+1)}$ matrix formed by adjoining to ${\displaystyle A_{0}}$ the first ${\displaystyle k}$$$$p{\displaystyle }$ 행의 ${\displaystyle p}$ 열$$$,$ 첫 $번째{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$ 열$$ Q ${\displaystyle q}$및 $항목{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a$_{${\displaystyle pq}$}그러면 한 사람이 가지고 있다.

$왼쪽 B\오른쪽 _{ij}=\왼쪽 A\오른쪽 _{ij}.}$

그 주제에 대한 겔판드와 레타흐의 첫 번째 조항 이후 더 많은 정체성이 나타났는데, 그 대부분은 고전적인 결정요인 정체성의 유사점이다.중요한 출처는 Krob와 Leclerc의 1995년 기사다.^[6]하나를 강조하기 위해 행/기둥 확장 ID를 고려한다.확장하려면$$ 행 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$을(를) 수정하십시오.결정 공식 ${\displaystyle Det}$ ${\displaystyle A}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{l}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle i^{}}$+ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle det}$ A ${\displaystyle l^{}}$ ${\$ A$^{il$ 음, 퀴디테터제 성분이 만족하는 일이 일어난다.

${\displaystyle \왼쪽 A\오른쪽 _{ij}=a_{ij}-\sum _{l\neq j}a_{il}\cdot A^{ij} _{kl}^{\,-1}A^{kj}}}$

($$$j{\displaystyle }$ 열 ${\displaystyle j}$에 따라 다름) 및

${\displaystyle \왼쪽 A\오른쪽 _{ij}=a_{ij}-\sum _{k\neq i}A^{kj} _{il} A^{ij} _{kl}^{kl}^{\,-1}\cdot a_{kj}}}$

($i행{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$을(를) 따라 이동하십시오.)$$

다른 결정요인에 대한 연결

quasideterminant는 확실히 비확정적 설정에 대한 유일한 기존 결정인자 아날로그가 아니다. 아마도 가장 유명한 예는 Dieudonné 결정인자와 양자 결정인자일 것이다.그러나 이것들은 어떤 면에서는 퀘이시디터미네이터와 관련이 있다.예를 들어,

${\displaystyle {\det }_{q}A={\bigl }A{\bigr }_{11}\,\왼쪽 A^{11}\right _{22}\,\ft A^{12,12}\right _{33}\,\cdots \, a_{n},{n}}}, _{n}}}}}}$

우측 통근 요인들이 서로 통근하면서베레지니아인, 무어와 스터디 결정요소, 카펠리 결정요소, 카르티에-포아타형 결정요인과 같은 다른 유명한 예들도 준결정요인 측면에서 표현할 수 있다.Gelfand는 (비확정적) 결정요소가 퀘이민자의 산물로 표현될 수 있다면 "좋은" 것으로 정의한 것으로 알려져 있다.

적용들

세르게이 겔판드, 로버트 윌슨,^[7] 이스라엘 겔판드, 블라디미르 레타흐와 함께한 2005년 조사 기사의 패러프레이싱은 "비교역대수의 주요 조직 도구로서, 그들에게 역학대수학에서 동일한 역할을 부여한다"고 주장하였다.통합형 시스템,^[8][9] 표현 이론,^[10][11] 대수적 결합론,^[12] 비고정 대칭함수의 이론,^[13] 분할 링에 대한 다항식 이론,^[14] 비고정 기하학 등의 수학 분야에서 실질적인 사용이 이루어졌다.^[15][16][17]

위의 애플리케이션 중 몇몇은 준-플뤼커 좌표를 사용하며, 이 좌표는 플뤼커 좌표와 거의 같은 방식으로 비규범적인 그래스만 좌표와 깃발을 상호교환적인 분야 위에 사용한다.이에 대한 자세한 내용은 설문조사 기사에서 확인할 수 있다.^[7]

참고 항목

• 맥마흔 마스터 정리

참조