자연수 추가와 관련된 증거
Proofs involving the addition of natural numbers |
이 글에는 자연수를 추가하는 몇 가지 특성에 대한 수학적 증거가 포함되어 있다: 부가적 정체성, 공통성 및 연관성.이러한 증명은 자연수의 추가라는 글에서 사용된다.
정의들
이 글은 자연수의 정의에 페아노 공리를 사용할 것이다.이러한 공리로, 추가는 두 규칙에 의해 상수 0과 후속 함수 S(a)에서 정의된다.
| A1: | a + 0 = a |
| A2: | a + S(b) = S(a + b) |
교감성의 증명에 대해서는, 0의 후계자에게 「1」이라는 이름을 붙이는 것이 유용하다. 즉, 즉,
- 1 = S(0).
모든 자연수 a에 대해, 사람은
| S(a) | ||
| = | S(a + 0) | [A1까지] |
| = | a + S(0) | [A2까지] |
| = | a + 1 | [Def. of 1] |
연관성 증명
우리는 먼저 자연수 a와 b를 고치고 자연수 c에 유도를 적용함으로써 연상성을 증명한다.
기준 사례 c = 0의 경우,
- (a+b)+0 = a+b = a+(b+0)
각 방정식은 정의 [A1]에 따른다. 첫 번째 방정식은 + b이고 두 번째 방정식은 b이다.
인덕션을 위해서.우리는 유도 가설, 즉 자연수 c에 대해
- (a+b)+c = a+(b+c)
그 다음엔,
| (a + b) + S(c) | ||
| = | S((a + b) + c) | [A2까지] |
| = | S(a + (b + c) | [유도 가설로] |
| = | a + S(b + c) | [A2까지] |
| = | a + (b + S(c)) | [A2까지] |
즉, 유도 가설은 S(c)를 지탱한다.따라서 c에 대한 인덕션이 완성된다.
신원 증명 요소
정의 [A1]은 0이 올바른 정체라고 직접 명시하고 있다.우리는 자연수 a에 유도를 통해 0이 좌의정임을 증명한다.
기준 사례 a = 0, 정의로 0 + 0 = 0.이제 유도 가설, 즉 0 + a = a라고 가정해 봅시다.그러면
| 0 + S(a) | ||
| = | S(0 + a) | [A2까지] |
| = | S(a) | [유도 가설로] |
이렇게 하면 a에 대한 유도가 완료된다.
동일성 증명
자연수 b에 유도를 적용하여 동시성(a + b = b + a)을 증명한다.먼저 b = 0, b = S(0) = 1(즉, 0과 1이 모든 것을 가지고 통근한다는 것을 증명한다).
기준 사례 b = 0은 ID 요소 속성(0은 가법 ID)에서 바로 뒤따라 발생하며, 위에서 입증된 것은 다음과 같다: a + 0 = a = 0 = 0 + a.
다음으로 우리는 기본 사례 b = 1을 증명할 것이다. 1은 모든 것과 통용된다. 즉, 모든 자연 숫자 a에 대해 우리는 + 1 = 1 + a를 가진다.인덕션(인덕션 내의 인덕션 증명)에 의해 이것을 증명할 것이다.우리는 0이 모든 것에 통근한다는 것을 증명했으므로, 특히 1과 통근하는 0이 a = 0이면 0 + 1 = 1 + 0이 된다. 자, + 1 = 1 + a를 가정해 보자.그러면
| S(a) + 1 | ||
| = | S(a) + S(0) | [Def. of 1] |
| = | S(S)(a) + 0) | [A2까지] |
| = | S((a + 1) + 0) | [위 그림과 같이] |
| = | S(a + 1) | [A1까지] |
| = | S(1 + a) | [유도 가설로] |
| = | 1 + S(a) | [A2까지] |
이렇게 하면 a에 대한 유도가 완료되고, 따라서 b = 1 베이스 케이스가 입증되었다. 이제 모든 자연수 a에 대해 + b = b + a가 있다고 가정합시다.모든 자연수 a에 대해 + S(b) = S(b) + a가 있음을 보여줘야 한다.
| a + S(b) | ||
| = | a + (b + 1) | [위 그림과 같이] |
| = | (a + b) + 1 | [연관성별] |
| = | (b + a) + 1 | [유도 가설로] |
| = | b + (a + 1) | [연관성별] |
| = | b + (1 + a) | [기준 사례 b = 1] |
| = | (b + 1) + a | [연관성별] |
| = | S(b) + a | [위 그림과 같이] |
이렇게 하면 b에 대한 유도가 완료된다.
참고 항목
참조
- Edmund Landau, 분석 재단, Chelsea Pub Co. ISBN0-8218-2693-X.
