플뤼커 행렬

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플뤼커 매트릭스는 특별한 스큐 대칭 4×4 매트릭스로 투사적 공간에서 직선을 특징으로 한다.행렬은 자유도 4도의 6 Plucker 좌표로 정의된다.독일의 수학자 율리우스 플뤼커의 이름을 따서 지은 것이다.

정의

A straight line in space is defined by two distinct points ${\displaystyle A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$ and ${\displaystyle B=\left(B_{0}$$,B_{1},B_{2},B_{3}\오른쪽)^{{\\top }\in \mathb {R}{\mathcal{P}^{3}}}}}}}$ 투사 공간의 균일한 좌표.그것의 Plucker 매트릭스는 다음과 같다.

${\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }\propto \mathbf {A} \mathbf {B} ^{\top }-\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\top }=\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&#0\end{array}\오른쪽)}$

여기서 스큐 대칭 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4\time 4}$ - 매트릭스는$$ 6 Plucker 좌표로 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {L} \propto(L_{01},L_{02},L_{03},L_{12},L_{13},L_{23}}^{\top }}}}}}}}}}$

와 함께

${\displaystyle L_{ij}=A_{i}B_{j}-B_{i}A_{j}}$

플뤼커 좌표는 그라만-플뤼커 관계를 충족시킨다.

${\displaystyle L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}=0}$

규모에 맞게 정의된다.Plucker 행렬은 자유도 2위와 4위만 가지고 있다($R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 선과 동일).$$이들은 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$및$ B ${\$지점의 특정 선택과는 무관하며, 투영$$ 평면에서 두 점의 결합 선뿐만 아니라 두 선의 교차점(met)에 대한 교차 제품의 일반화라고 볼 수 있다.

특성.

플뤼커 매트릭스는 다음과 같은 기하학적 연산을 매트릭스 벡터 제품으로 표현할 수 있게 해준다.

• 평면에 선 $포함{\displaystyle \mathbf{}}$: ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle L\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]{}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ E ${\$
• ${\displaystyle \mathbf{X}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle L\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]{}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ ${\$$}$ $]_{\time }\\mathbf$${E}}}}$ $선$과 평면$$ $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 교차점이다$$.
• 점이 선상에 위치: $0{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$[ L${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle ]{}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ ${\$ = $[{\tilde {\mathbf {L}}}}}}}{\times }\mathbf {X}}}}}}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {E} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }$ is the common plane ${\displaystyle \mathbf {E} }$, which contains both the point ${\displaystyle \mathbf {X} }$ and the line ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ('Join').
• Direction of a line: ${\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }=[\mathbf {L} ]_{\times }(0,0,0,1)^{\top }=\left(-L_{03},-L_{13},-L_{23},0\right)^{\top }}$ (Note:후자는 좌표 원점을 통과하는 선에 직교하는 평면으로 해석할 수 있다.)
• 원점 $X{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\cong [}$ L ${\displaystyle ]{}_{}}$×${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle L\mathbf{}{}_{}}$]${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$.$\displaystyle \mathbf {X} _{0}\cong[\mathbf$ {$L} ]_{\times ]_{\times }\pi ^{\inf}}}}}}}$

유니크함

선의 두 임의 고유 지점은 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 선형 조합으로 기록할 수 있다$.$

${\displaystyle \mathbf {A}^{\premate }\mathbf {A} \알파 +\mathbf {B} \beta {\text{ 및 }\mathbf {B} \premathbf {A} \gammathbma +\delta .}}$

이들의 Plucker 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{[}\mathbf{L}^{}\prime{]}_{\times}&, =\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{B}^{\prime}-\mathbf{B}^{\prime}\mathbf{A}^ᆸ\\[6pt]&, =(\mathbf{A}\alpha +\mathbf{B}\beta)(\mathbf{A}\gamma +\mathbf{B}\delta)^ᆹ-(\mathbf{A}\gamma +\mathbf{B}\delta)(\mathbf{A}\alpha +\mathbf{B}\beta)^{.\top}\\[6pt]&=\underbrace {(\alpha \delta -\beta \gamma )} _{\times }}\mathbf {L}{{\timees }\ended}}}}}}}}$

$[{\displaystyle }$ ${\displaystyle L\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]{}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\$과$($와) 동일한 크기로 확대.

평면과 교차점

Let ${\displaystyle \mathbf {E} =\left(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$ denote the plane with the equation

${\displaystyle E_{0}x+E_{1}y_{1}y+E_{2}z+E_{3}=0.}$

$L{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 포함하지 않는 경우$$Plucker 행렬이 있는 매트릭스 벡터 제품은 점을 설명한다.

${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} =\mathbf {A} {\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-\mathbf {B} {\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta ,}$

$A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ $\mathbf$${A}$과(와) $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 선형 결합이기$$ $때문$에 L$${\$displaystyle$ \mathbf {$B$$}$$$선에 있는 이 선은$$$X{\displaystyle \mathbf{}}$$$${\$ {$E$$}$에도 포함되어$$ 있다$.$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\top }\mathbf {X} =\mathbf {E} ^{\top }[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} ={\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {A} } }}{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {B} } }}{\underset {\alpha }{\underbrace {\matsbf {A} ^{\top }\mathbf {E}}}}}}}}}}}}$

그러므로 그들의 교차점이 되어야 한다.

$또한{\displaystyle \mathbf{}}$ L ${\$라인이 평면에 완전히 포함되는$$ 경우 평면이 있는 Plucker 행렬의 곱은 0 벡터다.

${\displaystyle \alpha }$=${\displaystyle \beta }$ = ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\displaystyle ⟺}$ E ${\$에 $L{\displaystyle \mathbf{}}$. ${\displaystyle \mathbf {L}$이$($가) 포함되어 있음

듀얼 플뤼커 행렬

투사형 3공간에서 점 및 평면은 모두 4-벡터와 같은 표현을 하며, 기하학적 관계(평면에 있는 점)에 대한 대수적 설명은 대칭이다.용어 평면과 점을 정리에서 상호 교환함으로써, 또한 참인 이중 정리를 얻는다.

Plucker 행렬의 경우 두 평면의 교차점으로서 공간 내 선의 이중표현이 존재한다.

${\displaystyle E=\왼쪽(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\오른쪽)^{}^{\top }\in \mathb {R}{\mathcal{P}}^{3}}}}}}}}:{3}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle F=\왼쪽(F_{0},F_{1},F_{2},F_{3}\오른쪽)^{}^{\top }\in \mathb {R}{\mathcal{P}}^{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:$

투사 공간의 균일한 좌표에서이들의 플뤼커 매트릭스는 다음과 같다.

${\displaystyle \left[{\tilde {L}}}}}\right]_{\times }=\mathbf {E}\mathbf {F}^{\top }-\mathbf {F} \mathbf {E} ^{\top }}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle \mathbf {G} =\왼쪽[{\tilde {\mathbf {}}}}{\times }\mathbf {X}}}}}$

$점{\displaystyle \mathbf{}}$ $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$mathbf$${X}$과(와) L ${\$ \$mathbf$ {$L}을($를) 모두 포함하는$$ 평면 $G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ $\mathbf${L}을$($를) 설명한다$.$

원시 및 이중 Plucker 행렬의 관계

$벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ $X{\displaystyle \mathbf{}}$ = [ L ] $×$ E ${\$ $\mathbf {X}$ =[\$mathbf {L} ]_{\times }\\mathbf {E$이$($가$)$ 임의 평면 E ${\$이(가) 0 벡터 또는 선상의 점이기 때문에 다음과 같다.

${\displaystyle \forall \mathbf {E} \in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}:\,\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} {\text{ lies on }}\mathbf {L} \iff \left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }\mathbf {X} =\mathbf {0} .}$

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \left([{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\right)^{\top }=[\mathbf {L} ]_{\times }\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{4\times 4}.}$

다음 제품은 이러한 특성을 충족한다.

${\displaystyle {\displaystyle}&\왼쪽 사진\cccc}0>L_{23}&-L_{13}&L_{12}\\-L_{23}\-L_{03}&L_{02}\L_{13}&-L_{03}&L_{01}\\-L_{12}&L_{02}&L_{02}&-L_{01}\end{array}\오른쪽)\왼쪽({\begin}{cccc0&-L_{01}&L_{03}\}\}\}\\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&#0\end{array}\오른쪽)\\[10pt]={}&\left(L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)=\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$

그라우만-플뤼커 관계 때문에원시 Plucker 좌표에 대한 Plucker 행렬의 고유성을 스칼라 배수까지 적용

${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{01},\,L_{02},\,L_{03},\,L_{12},\,L_{31},L_{23}\right)^{\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

다음의 이중 Plucker 좌표를 구한다.

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {L}}}}}}}}}}}}}}}\{{23}\,-L_{13}\,\, L_{03},\,-L_{02},\, L_{01}, 오른쪽)^{\\\}}}}}$

투영 평면에서

투영 평면에서 두 점의 '조인'은 두 점을 직선으로 연결하는 작업이다.그것의 선 방정식은 교차 제품을 사용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {l} \propto \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left({\begin{array}{c}a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\\b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}\\a_{0}b_{1}-a_{1}b_{0}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}l_{0}\\l_{1}\\l_{2}\end{array}}\right).}$

두 직선의 교차점인 '미트(meet)' 또는 교차점(sistrict-products:

$\displaystyle \mathbf {x} \propto \mathbf {l} \mathbf {m}$

Plucker 행렬과의 관계는 명확해지며, 만약 한 사람이 교차 제품을 스큐 대칭 행렬이 있는 매트릭스 벡터 제품으로 쓴다면:

${\displaystyle [\mathbf {l} ]_{\times }=\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }-\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }=\left({\begin{array}{ccc}0&l_{2}&-l_{1}\\-l_{2}&0&l_{0}\\l_{1}&-l_{0}&0\end{array}}\right)}$

그리고 유사하게${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]{}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$= l ${\displaystyle m{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$m ${$ {\$mathbf {x} ]_{\mathbf$ {l$} \mathbf${l} \mathbf ${m} ^{\top }-\mathbf {l}$ ^{\m$} \mathbf$ {l} $^{\$top $}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

기하학적 해석

Let ${\displaystyle \mathbf {d} =\left(-L_{03},\,-L_{13},\,-L_{23}\right)^{\top }}$ and ${\displaystyle \mathbf {m} =\left(L_{12},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top }}$, then we can write

${\displaystyle [\mathbf {L} ]{\time }=\좌({\begin{array}}{cc}[\mathbf {m} ][\mathbf {d}&\\mathbf {d}\\\mathbf {d} &0\end}\오른쪽)}$

그리고

${\displaystyle [{\tilde {\mathbf {L}}}}_{\times }{ccc}[-\mathbf {d} ]_{\time }&\mathbf {m}\\mathbf {m} &0\end{array}\}\right}),}}}}$^{[필요하다]}

여기서 $d{\displaystyle \mathbf{}}$ $[\${d$$$}$은(는) $변위$이고$$m {\$displaystyle \mathbf${m$$$}$은(는) 선의 순간이다. 플뤼커 좌표의 기하학적 직관을 비교한다.

참조

• Richter-Gebert, Jürgen (2011). Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Projective Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1.
• Jorge Stolfi (1991). Oriented Projective Geometry: A Framework for Geometric Computations. Academic Press. ISBN 978-1483247045.
  원본 스탠포드 대학교 1988 박사 논문에서 [1]로 제공되는 계산 기하학을 위한 Primitics for Computing Geomics.
• Blinn, James F. (Aug 1977). "A homogeneous formulation for lines in 3 space". ACM SIGGRAPH Computer Graphics. 11 (2): 237–241. doi:10.1145/965141.563900. ISSN 0097-8930.