지속성 바코드

위상 데이터 분석에서, 지속성 바코드()는 지속성 모듈의 대수적 불변량으로, 증가하는 ^[1]공간군 전체에서 위상 특성의 안정성을 특징으로 합니다.형식적으로, 지속성 바코드는 확장된 실선의 여러 구간 집합으로 구성되며, 여기서 각 구간의 길이는 일반적으로 점 구름, 그래프, 함수, 또는 더 일반적으로 단순 복소수 또는 체인 복소수에 구축된 여과의 위상적 특징의 수명에 해당합니다.일반적으로 바코드의 간격이 길면 더 강력한 기능에 해당하는 반면 간격이 짧으면 데이터의 노이즈가 될 가능성이 높습니다.지속성 바코드는 ^[2]필터에서 모든 위상 정보를 캡처하는 완전한 불변성입니다.대수 위상에서, 지속성 바코드는 1994년 세르게이 바라니코프에 의해 두 개의 평행선에 끝이 있는 선 세그먼트의 다중 집합으로 구성된 "정규 형식" 불변량으로^[2] 처음 도입되었고, 이후 기하학 처리에서 2004년 ^[3]군나르 칼손 등에 의해 도입되었습니다.

정의.

F ${$ 를 $\mathbb F$ 고정 필드라고 $\mathbb {F}$ .그런 다음 R ${$ 에 $\mathbb {R}$ 대해 색인화된 지속성 $모듈$ M ${displaystyle$ $\mathbb {F}$ M $}$ 은 $M$ F ${$ $\{M_{t}\}_{t\in \mathbb {R} }$ \ $mathbb {F} -$ 공간 $\mathbb {F}$ $\{M_{t}\}_{t\in \mathbb {R} }$ t $\{M_{t}\}_{t\in \mathbb {R} }$ ${$ _{ $t\$ in \ $mathbb{R}}}$ 와 $\{M_{t}\}_{t\in \mathbb {R} }$ $\varphi _{s,t}:M_{s}\to M_{t}$ 맵 s $\varphi _{s,t}:M_{s}\to M_{t}$ : $\varphi _{s,t}:M_{s}\to M_{t}$ $\varphi _{s,t}:M_{s}\to M_{t}$ 로 구성됩니다. $s\leq t$ 의 $s\leq t$ ≤\ $displaystyle$ s $\varphi _{s,t}\circ \varphi _{r,s}=\varphi _{r,t}$ $leqt$ }에 $대해$ $s\leq t$ $M_{$ s $\varphi _{s,t}\circ \varphi _{r,s}=\varphi _{r,t}$ $to M_{$ t $\varphi _{s,t}:M_{s}\to M_{t}$ }, 예를 들어 $\varphi _{s,t}\circ \varphi _{r,s}=\varphi _{r,t}$ $r\leq s\leq t$ r $≤$ ≤{\ $displaystyle r\leq$ ^[4]에 $\varphi _{s,t}\circ \varphi _{r,s}=\varphi _{r,t}$ 대해 $\varphi _{s,t}\circ \varphi _{r,s}=\varphi _{r,t}$ { $\varphi _{s,t}\circ \varphi _{r,s}=\varphi _{r,t}$ $r\leq s\leq t$ \ $varphi_{s,t}\$ displaystyleq $}\t$ \t ${$ t}\ $displaystylephi$ \varphi_ ${t$ }\ $varphi\varphi$ \t}.이 구성은 R ${$ 에만 한정되지 않습니다. 실제로 모든 완전 순서 집합과 동일하게 작동합니다.

네 개의 중첩된 단순 복합체 및 결과 여과의 0차원 지속성 바코드.

지속성 $모듈$ M({ $displaystyle$ M $})$ 은 $M$ 고유한 유한 차원 벡터 공간을 유한하게 포함하는 경우 유한 유형이라고 합니다.후자의 조건은 때때로 점별 유한 ^[5]차원이라고 합니다.

I $({displaystyle$ I $})$ 를 $I$ R $({$ 의 $Q(I)$ 간격으로 $I$ 합니다. Q $Q(I_{s})={\begin{cases}0,&{\text{if }}s\notin I;\\\mathbb {F} ,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ $Q(I)$ $=$ { $Q(I_{s})={\begin{cases}0,&{\text{if }}s\notin I;\\\mathbb {F} ,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ $Q(I_{s})={\begin{cases}0,&{\text{if }}s\notin I;\\\mathbb {F} ,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ $Q(I_{s})={\begin{cases}0,&{\text{if }}s\notin I;\\\mathbb {F} ,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ ; $Q(I_{s})={\begin{cases}0,&{\text{if }}s\notin I;\\\mathbb {F} ,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ $displaystyle$ $Q(I)$ $(I_{s$ }) = $시작이 {cases}, {\text{}s$ }s $\mathF,$ $&{\text{cases}}\end{cases$ 여기서 선형 맵은 구간 내의 ID 맵입니다. $Q(I)$ Q $)$ {\ $displaystyle$ Q $(I)}$ 를 $Q(I)$ 간격 ^[6]모듈이라고도 합니다.

${\mathcal {B}}_{M}$ 유한 유형의 ${$ 인덱스 $\mathbb {R}$ $지속성$ 모듈M({ $displaystyle M})$ 에 $M$ $M\cong \bigoplus _{I\in {\mathcal {B}}_{M}}Q(I)$ , M $M\cong \bigoplus _{I\in {\mathcal {B}}_{M}}Q(I)$ $M\cong \bigoplus _{I\in {\mathcal {B}}_{M}}Q(I)$ ∈ B ${\mathcal {B}}_{M}$ $M\cong \bigoplus _{I\in {\mathcal {B}}_{M}}Q(I)$ Q ( $M\cong \bigoplus _{I\in {\mathcal {B}}_{M}}Q(I)$ {\ $displaystyle$ $M$ $\bigplus$ _ ${I\in\math{B_$ ),여기서 지속성 모듈의 직접 합계는 인덱스 단위로 수행됩니다. ${\mathcal {B}}_{M}$ $({$ {\ $mathcal {B}_$ 은M({ $displaystyle$ M $M$ 의 바코드라고 하며,^[3] 간격을 재정렬할 때까지 고유합니다.

이 결과는 2020년 윌리엄 크롤리-보비와 매그너스 봇넌에 의해 임의의 전체 순서 집합에 대해 색인화된 점별 유한 차원 지속성 모듈의 경우로 확장되었으며, [7] PID를 통해 유한 생성된 모듈에 대한 구조 정리의 알려진 결과를 기반으로 구축되었다,정수의 경우 캐리 웹의 연구뿐만 아니라.[8][8]

레퍼런스

^ Ghrist, Robert (2007-10-26). "Barcodes: The persistent topology of data". Bulletin of the American Mathematical Society. 45 (01): 61–76. doi:10.1090/S0273-0979-07-01191-3. ISSN 0273-0979.
^ ^a ^b Barannikov, Sergey (1994). "Framed Morse complex and its invariants". Advances in Soviet Mathematics. ADVSOV. 21: 93–115. doi:10.1090/advsov/021/03. ISBN 9780821802373. S2CID 125829976.
^ ^a ^b Carlsson, Gunnar; Zomorodian, Afra; Collins, Anne; Guibas, Leonidas (2004-07-08). "Persistence barcodes for shapes". Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing. Nice France: ACM: 124–135. doi:10.1145/1057432.1057449. ISBN 978-3-905673-13-5.
^ Zomorodian, Afra; Carlsson, Gunnar (2005). "Computing Persistent Homology". Discrete & Computational Geometry. 33 (2): 249–274. doi:10.1007/s00454-004-1146-y. ISSN 0179-5376.
^ Crawley-Boevey, William (2015). "Decomposition of pointwise finite-dimensional persistence modules". Journal of Algebra and Its Applications. 14 (05): 1550066. doi:10.1142/S0219498815500668. ISSN 0219-4988.
^ Chazal, Fréderic; de Silva, Vin; Glisse, Marc; Oudot, Steve (2016). The structure and stability of persistence modules. Switzerland. ISBN 978-3-319-42545-0. OCLC 960458101.
^ 봇넌, 매그너스, 윌리엄 크롤리-보비."지속성 모듈의 분해."미국 수학회 의사록 148, 제11호(2020): 4581-4596.
^ 웹, 캐리"등급이 매겨진 모듈의 분해."미국 수학회 의사록 94, 4번(1985): 565-571.

[1] Ghrist, Robert (2007-10-26). "Barcodes: The persistent topology of data". Bulletin of the American Mathematical Society. 45 (01): 61–76. doi:10.1090/S0273-0979-07-01191-3. ISSN 0273-0979.

[Barannikov_1994-2] Barannikov, Sergey (1994). "Framed Morse complex and its invariants". Advances in Soviet Mathematics. ADVSOV. 21: 93–115. doi:10.1090/advsov/021/03. ISBN 9780821802373. S2CID 125829976.

[:0-3] Carlsson, Gunnar; Zomorodian, Afra; Collins, Anne; Guibas, Leonidas (2004-07-08). "Persistence barcodes for shapes". Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing. Nice France: ACM: 124–135. doi:10.1145/1057432.1057449. ISBN 978-3-905673-13-5.

[4] Zomorodian, Afra; Carlsson, Gunnar (2005). "Computing Persistent Homology". Discrete & Computational Geometry. 33 (2): 249–274. doi:10.1007/s00454-004-1146-y. ISSN 0179-5376.

[5] Crawley-Boevey, William (2015). "Decomposition of pointwise finite-dimensional persistence modules". Journal of Algebra and Its Applications. 14 (05): 1550066. doi:10.1142/S0219498815500668. ISSN 0219-4988.

[6] Chazal, Fréderic; de Silva, Vin; Glisse, Marc; Oudot, Steve (2016). The structure and stability of persistence modules. Switzerland. ISBN 978-3-319-42545-0. OCLC 960458101.

[7] 봇넌, 매그너스, 윌리엄 크롤리-보비."지속성 모듈의 분해."미국 수학회 의사록 148, 제11호(2020): 4581-4596.

[8] 웹, 캐리"등급이 매겨진 모듈의 분해."미국 수학회 의사록 94, 4번(1985): 565-571.

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