지속성 바코드
Persistence barcode위상 데이터 분석에서, 지속성 바코드()는 지속성 모듈의 대수적 불변량으로, 증가하는 [1]공간군 전체에서 위상 특성의 안정성을 특징으로 합니다.형식적으로, 지속성 바코드는 확장된 실선의 여러 구간 집합으로 구성되며, 여기서 각 구간의 길이는 일반적으로 점 구름, 그래프, 함수, 또는 더 일반적으로 단순 복소수 또는 체인 복소수에 구축된 여과의 위상적 특징의 수명에 해당합니다.일반적으로 바코드의 간격이 길면 더 강력한 기능에 해당하는 반면 간격이 짧으면 데이터의 노이즈가 될 가능성이 높습니다.지속성 바코드는 [2]필터에서 모든 위상 정보를 캡처하는 완전한 불변성입니다.대수 위상에서, 지속성 바코드는 1994년 세르게이 바라니코프에 의해 두 개의 평행선에 끝이 있는 선 세그먼트의 다중 집합으로 구성된 "정규 형식" 불변량으로[2] 처음 도입되었고, 이후 기하학 처리에서 2004년 [3]군나르 칼손 등에 의해 도입되었습니다.
정의.
F를 고정 필드라고 .그런 다음 R에 대해 색인화된 지속성 MM은 F\ 공간 t _{in \와 맵 s: 로 구성됩니다.의≤\ s}에 st}, 예를 들어 r ≤{\[4]에 대해 {\displaystyleq\tt}\ \varphi_}\\t}.이 구성은 R에만 한정되지 않습니다. 실제로 모든 완전 순서 집합과 동일하게 작동합니다.
지속성 M({ M은 고유한 유한 차원 벡터 공간을 유한하게 포함하는 경우 유한 유형이라고 합니다.후자의 조건은 때때로 점별 유한 [5]차원이라고 합니다.
I I를 R의 간격으로 합니다. Q { ; }) = }s 여기서 선형 맵은 구간 내의 ID 맵입니다. Q {\ Q를 간격 [6]모듈이라고도 합니다.
유한 유형의 인덱스 모듈M({에 , M ∈ BQ ( {\ _),여기서 지속성 모듈의 직접 합계는 인덱스 단위로 수행됩니다. {\은M({M의 바코드라고 하며,[3] 간격을 재정렬할 때까지 고유합니다.
이 결과는 2020년 윌리엄 크롤리-보비와 매그너스 봇넌에 의해 임의의 전체 순서 집합에 대해 색인화된 점별 유한 차원 지속성 모듈의 경우로 확장되었으며, [7] PID를 통해 유한 생성된 모듈에 대한 구조 정리의 알려진 결과를 기반으로 구축되었다,정수의 경우 캐리 웹의 연구뿐만 아니라.[8][8]
레퍼런스
- ^ Ghrist, Robert (2007-10-26). "Barcodes: The persistent topology of data". Bulletin of the American Mathematical Society. 45 (01): 61–76. doi:10.1090/S0273-0979-07-01191-3. ISSN 0273-0979.
- ^ a b Barannikov, Sergey (1994). "Framed Morse complex and its invariants". Advances in Soviet Mathematics. ADVSOV. 21: 93–115. doi:10.1090/advsov/021/03. ISBN 9780821802373. S2CID 125829976.
- ^ a b Carlsson, Gunnar; Zomorodian, Afra; Collins, Anne; Guibas, Leonidas (2004-07-08). "Persistence barcodes for shapes". Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing. Nice France: ACM: 124–135. doi:10.1145/1057432.1057449. ISBN 978-3-905673-13-5.
- ^ Zomorodian, Afra; Carlsson, Gunnar (2005). "Computing Persistent Homology". Discrete & Computational Geometry. 33 (2): 249–274. doi:10.1007/s00454-004-1146-y. ISSN 0179-5376.
- ^ Crawley-Boevey, William (2015). "Decomposition of pointwise finite-dimensional persistence modules". Journal of Algebra and Its Applications. 14 (05): 1550066. doi:10.1142/S0219498815500668. ISSN 0219-4988.
- ^ Chazal, Fréderic; de Silva, Vin; Glisse, Marc; Oudot, Steve (2016). The structure and stability of persistence modules. Switzerland. ISBN 978-3-319-42545-0. OCLC 960458101.
- ^ 봇넌, 매그너스, 윌리엄 크롤리-보비."지속성 모듈의 분해."미국 수학회 의사록 148, 제11호(2020): 4581-4596.
- ^ 웹, 캐리"등급이 매겨진 모듈의 분해."미국 수학회 의사록 94, 4번(1985): 565-571.