페어링 힙

페어링 힙
페어링 힙
유형	산더미처럼 쌓다
발명된	1986
발명된 사람	마이클 L.프레드먼, 로버트 세지윅, 다니엘 슬레이터, 로버트 엔드레 타르잔
큰 O 표기법에서의 시간 복잡성
알고리즘.
알고리즘.
삽입하다
찾기민
삭제민
감소키
병합

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페어링 힙(pairing hip)은 비교적 구현이 간단하고 실제 상각 성능이 우수한 힙 데이터 구조의 일종으로, 1986년 마이클 프레드먼, 로버트 세지윅, 다니엘 슬레이터, 로버트 타르잔이 도입했다.^[1]페어링 힙은 힙으로 정렬된 다방향 트리 구조로 단순화된 피보나치 힙으로 간주할 수 있다.Prim의 MST 알고리즘과 같은 알고리즘을 구현하기 위한 "확실한 선택"으로 간주되며,^[2] 다음과 같은 작업을 지원한다(min-heap을 가정).

find-min: 힙의 상단 요소를 반환하십시오.
meld: 두 뿌리 원소를 비교한다. 작은 뿌리 원소는 결과의 근원으로 남아 있고, 큰 원소는 이 근원의 자식으로 추가된다.
삽입: 삽입된 요소에 대한 새 힙을 만들고 원래 힙에 결합하십시오.
delay-key(옵션): 줄일 키에 뿌리를 둔 하위 트리를 제거하고 키를 더 작은 키로 교체한 다음 결과를 다시 힙에 결합한다.
delete-min: 한 트리가 남을 때까지 루트를 제거하고 하위 트리의 반복적인 결합을 수행한다.다양한 합병 전략을 채택하고 있다.

페어링 힙의 시간 복잡성에 대한 분석은 처음에 splay 트리의 그것에서 영감을 얻었다.^[1]삭제분 당 상각된 $시간$ 은 O $(log$ n)이고 $,$ $O($ 1) 상각시간 내에 작업 find-min, meld, insert run을 수행한다.^[3]

감소키 동작도 추가되면 페어링 힙의 정확한 무증상 작동 시간을 결정하는 것은 어려운 것으로 드러났다.초기에는 이 연산의 시간 $복잡성$ 이 O(1)라고 경험적 근거로 추측되었지만, Fredman은 일부 연산의 순서에 대해 $\Omega (\log \log n)$ 감소키당 상각된 시간이 적어도 $\Omega (\log \log n)$ log $\Omega (\log \log n)$ $\Omega (\log \log n)$ ) ${\displaystyle \Oomega(\log \log$ \log $n)}$ 임을 증명했다 $.$ ^[4]^[5].[6]Elmasry 후 w.에 대합 더미( 게으르에서 통일되)의 elaborations을 소개했다 다른 상각 논의를 사용하여 Pettie고 decrease-key는 OOO(로그⁡ n){\displaystyle o(n\log)}은 O(22로그 ⁡ 로그⁡ n){O(2^{2{\sqrt{\log \log n}}})\displaystyle}분할 상환 시간에서 그, 혼합을 거두었다안녕ch 감소키 실행은 O $O(\log \log n)$ $O(\log \log n)$ $O(\log \log n)$ ) ${\displaystyle O(\log \log n)$ 상각 $O(\log \log n)$ 시간 및 기타 작업에는 최적의 상각 한계가 있지만, ^[7]^[8] $\Theta (\log \log n)$ $\Theta (\log \log n)$ ) ${\displaystyle \Teta(\log \log$ n $)}$ 바인딩된 $\Theta (\log \log n)$ tight은 원래 데이터 구조에 대해 알려져 있지 않다.^[3]^[6]

페어링 힙의 무증상 성능은 $O(1)$ ( $O(1)$ ) ${\displaystyle O(1)$ 상각 $O(1)$ 시간에서 감소키를 수행하는 피보나치 힙스와 같은 다른 우선순위 대기열 알고리즘보다 낮지만, 실제 성능은 우수하다.존스와^[9] 라킨, 센, 타르잔은^[10] 힙과 다른 힙 데이터 구조에 대한 실험을 실시했다.그들은 감소키 작업이 필요하지 않을 때(따라서 감소키에서 노드의 위치를 외부적으로 추적할 필요가 없을 때), 바이너리 힙과 같은 d-ari 힙은 다른 모든 힙 구현보다 빠르지만 감소키가 필요할 때 종종 d-ari 힙보다 빠르고 거의 항상 oth보다 빠르다고 결론지었다.이론적으로 더 효율적인 피보나치 힙과 같은 데이터 구조를 포함하여 포인터 기반 힙Chen 외 ^[11]연구진은 Dijkstra의 알고리즘에 사용하기 위해 특히 우선순위 대기열을 조사했고 정상적인 경우(대신 힙의 노드를 복제하고 중복 인스턴스를 무시하는 대신) 감소 키 없이 d-ary 힙을 사용하면 이론적 성능 보장이 열악함에도 불구하고 성능이 향상된다는 결론을 내렸다.

구조

페어링 힙은 빈 힙이거나 루트 요소와 페어링 트리의 빈 목록으로 구성된 페어링 트리입니다.힙 순서 지정 속성은 모든 노드의 상위 노드가 노드 자체보다 크지 않아야 함을 요구한다.다음 설명은 감소키 연산을 지원하지 않는 순기능 힙을 가정한다.

Type PairingTree[Elem] = 힙(Elem: Elem, 하위 heaps: List[PairingTree[Elem]) 유형 PairingHeap[Elem] = 비어 있는 PairingTree[Elem] = Elem]

RAM 기계에 대한 포인터 기반 구현은 단일 연결 목록(노드의 첫 번째 자식, 다음 형제 및 이전 형제(또는 가장 왼쪽 형제)에 대한 포인터)으로 노드의 자식을 나타냄으로써 노드당 세 개의 포인터를 사용하여 달성할 수 있다.또는 "목록의 끝"을 나타내기 위해 단일 부울 플래그가 추가된 경우, 마지막 아이가 부모 쪽을 가리키도록 하여 이전 포인터를 생략할 수 있다.이것은 작업당 일정한 오버헤드 계수를 희생하여 보다 컴팩트한 구조를 달성한다.^[1]

운영

소인을 찾아내다

find-min 함수는 단순히 힙의 루트 요소를 반환한다.

function find-min(heap: PairingHeap[Elem]) -> 힙이 비어 있는 경우 Elem, 그렇지 않으면 힙을 반환함.Elem

섞다

빈 힙을 사용하여 결합하면 다른 힙이 반환되고, 그렇지 않으면 두 루트 요소 중 최소값을 루트 요소로 가지고 있는 새 힙이 반환되며, 더 큰 루트를 가진 힙을 하위 힙 목록에 추가하기만 하면 된다.

function meld(heap1, heap2: PairingHeap[Elem]) -> PairingHeap[Elem]     if heap1 is Empty         return heap2     elsif heap2 is Empty         return heap1     elsif heap1.elem < heap2.elem         return Heap(heap1.elem, heap2 :: heap1.subheaps)     else return Heap(heap2.elem, heap1 :: heap2.하위 힙)

삽입하다

힙에 요소를 삽입하는 가장 쉬운 방법은 이 요소만 포함하는 새 힙과 하위 힙의 빈 목록으로 힙을 결합하는 것이다.

함수 삽입(Elem: Elem, 힙: PairingHeap[Elem] -> PairingHeap[Elem] 반환 meld(Heap(Elem, []), 힙)

삭제민

유일한 비종교적 기본 작동은 힙에서 최소 요소를 삭제하는 것이다.이것은 오직 한 그루의 나무만이 남을 때까지 그것의 아이들의 반복적인 결합을 수행하도록 요구한다.표준 전략은 먼저 서브 heap을 왼쪽에서 오른쪽으로 짝을 지어 혼합한 다음(이 단계가 이 데이터 구조에 이름을 부여한 단계임) 결과 heaps 목록을 오른쪽에서 왼쪽으로 혼합한다.

함수 delete-min(heap: PairingHeap[Elem]) -> PairingHeap[Elem] 힙이 비어 있는 경우 merge-pares를 반환하지 않으면(heap.subheaps)

보조 함수 병합 쌍을 사용한다.

함수 병합 쌍[목록: PairingTree[Elem]] -> 쌍화합[Elem] 길이(목록) = 0이면 빈 엘시프 길이(목록) ==1개 반환 목록[0] 또는 반환 meld(목록[0], 목록[1], 병합 쌍화합[2..]

이렇게 하면 실제로 기술된 좌우 투패스, 좌우합병 전략을 구현할 수 있다는 사실은 이러한 감소에서 확인할 수 있다.

Merge-pairs([H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7])=>, meld( 섞이다(H1, H2), merge-pairs([H3, H4, H5, H6, H7]))#H12에 H1과 H2meld, 다음 목록의 나머지 =>, meld(H12, 혼합하다(혼합하다(H3, H4), merge-pairs([H5, H6, H7])))#H34, 다음 목록 =&gt의 나머지에 H3과 H4혼합, meld(H12, 혼합하다(H34, 혼합하다(혼합하다(H5, H6), merge-pairs([H7]))))#. 섞이다 H목록 =&gt의 5와 H6 H56, 그 다음에 나머지, meld(H12, 혼합하다(H34, 혼합하다(H56, H7)))#스위치 방향, H567 => 있는 meld(H12, 혼합하다(H34, H567))#, H34567 => 있는 meld(H12, H34567)#마침내, 나머지 => 통합하는 결과와 첫번째 쌍을 잘 지난 2결과 다수 meld 있다; 지난 두 결과 다수 meld H.1234567

실행 시간 요약

여기 다양한 힙 데이터 구조의 시간 복잡성이^[12] 있다.함수 이름은 최소 히프를 가정한다."O(f)"와 "θ(f)"의 의미는 빅 O 표기법을 참조하십시오.

작전	소인을 찾아내다	삭제민	삽입하다	줄임말	섞다
이진수^[12]	Θ(1)	θ(log n)	O(log n)	O(log n)	θ(n)
좌익	Θ(1)	θ(log n)	θ(log n)	O(log n)	θ(log n)
이항체^[12]^[13]	Θ(1)	θ(log n)	Θ(1)^[a]	θ(log n)	O(log n)^[b]
피보나치^[12]^[14]	Θ(1)	O(log n)^[a]	Θ(1)	Θ(1)^[a]	Θ(1)
페어링^[3]	Θ(1)	O(log n)^[a]	Θ(1)	o(log n)^[a]^[c]	Θ(1)
브로달^[17]^[d]	Θ(1)	O(log n)	Θ(1)	Θ(1)	Θ(1)
랭크페어링^[19]	Θ(1)	O(log n)^[a]	Θ(1)	Θ(1)^[a]	Θ(1)
엄격한 피보나치^[20]	Θ(1)	O(log n)	Θ(1)	Θ(1)	Θ(1)
2-3 힙^[21]	O(log n)	O(log n)^[a]	O(log n)^[a]	Θ(1)	?

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ 상각시간.
^ n은 더 큰 힙의 크기 입니다.
^ $\Omega (\log \log n),$ 의 하한 $\Omega (\log \log n),$ log $\Omega (\log \log n),$ $\Omega (\log \log n),$ ) $\Omega (\log \log n),$ , $\Oomega(\log \log n),$ $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}}).$ 의 상한 $\Omega (\log \log n),$ ^[15] $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}}).$ 2 $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}}).$ $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}}).$ n ) $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}}).$ . ${\displaystyle O(2^{\sqrt$ {\sqrt ${\log n}}).$ $}$ ^[16]
^ 브로달과 오카사키에서는 나중에 지원되지 않는 감소키를 제외하고 같은 경계를 가진 지속 변종을 기술한다.원소가 n개인 힙은 O(n)에 상향으로 시공할 수 있다.^[18]

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외부 링크

Louis Wasserman은 The Monad Reader, Issue 16 (pp. 37–52)의 Haskell에서 짝짓기 힙과 그 구현에 대해 논의한다.
페어링 히프, 사르타즈 사니

[amortized-14] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ 상각시간.

[meld-15] 은 더 큰 힙의 크기 입니다.

[pairingdecreasekey-19] $\Omega (\log \log n),$ 의 하한 $\Omega (\log \log n),$ log $\Omega (\log \log n),$ $\Omega (\log \log n),$ ) $\Omega (\log \log n),$ , $\Oomega(\log \log n),$ $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}}).$ 의 상한 $\Omega (\log \log n),$ ^[15] $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}}).$ 2 $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}}).$ $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}}).$ n ) $O(2^{2{\sqrt {\log \log n}}}).$ . ${\displaystyle O(2^{\sqrt$ {\sqrt ${\log n}}).$ $}$ ^[16]

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