2 ~ 3 히프

컴퓨터 공학에서 2-3 힙은 1999년 타다오 타카오카에 의해 설계된 데이터 구조, 즉 힙의 변형입니다.이 구조는 Fibonacci 힙과 비슷하며 2-3 트리에서 차용합니다.

일부 일반적인 힙 작업의 시간 비용은 다음과 같습니다.

delete-min은 O $O(\log(n))$ ( $O(\log(n))$ $O(\log(n))$ ( $O(\log(n))$ ) $O(\log(n))$ { $displaystyle$ O ( \ $log$ ( $n$ ) } ) $O(\log(n))$ 이 걸립니다 $O(\log(n))$ .
감소 키는 상각된 일정한 시간이 걸립니다.
삽입에는 상각된 시간이 일정하게 소요됩니다.

나무의 다항식

$크기$ r {\ $displaystyle$ r $}$ 의 $r$ 선형 트리는 첫 번째 노드를 트리의 루트로 하는r {\ $displaystyle$ $r}$ 노드의 $r$ $순차$ 경로이며 $\mathbf {r}$ 글씨 $\mathbf {r}$ r ${\$ \ $mathbf {1$ $}$ 로 표시됩니다( $\mathbf {1}$ : $\mathbf {1}$ 1 {\ $displaystyle \mathbf {1}$ 은 $\mathbf {1}$ 단일 노드의 선형 트리입니다). $P=ST$ P $P=ST$ $P=ST$ T $P=ST$ \ $display style$ P $=$ $2개$ 의 $트리$ S(\ $T$ S $)$ 와 T(\ $displaystyle$ T $T$ 중 ST $($ S $P=ST$ $)$ 는 S(\ $displaystyle$ $S$ )의모든 $노드$ 가 T(\ $displaystyle$ T)의 $T$ 으로 대체된 새로운 트리이며 $,$ S(\ $displaystyle$ S $)$ 의 $S$ 각 엣지에 대응하는 트리의 뿌리를 연결합니다.이 제품의 정의는 연관성이 있지만 가환성이 없다는 점에 유의하십시오.2개의 트리 $($ $디스플레이$ 스타일 S $S+T$ 와 T $(디스플레이 스타일$ T $)$ 의 $S$ $T$ S + $T(디스플레이 스타일$ S)는 $S+T$ 2개의 $트리$ S $(디스플레이 스타일$ S $)$ 와 $S$ T $(디스플레이 스타일$ T $T$ 의 집합입니다.

나무의 r-ary 다항식은 P $P=\mathbf {a} _{k-1}\mathbf {r} ^{k-1}+\dots +\mathbf {a} _{1}\mathbf {r} +\mathbf {a} _{0}$ - $P=\mathbf {a} _{k-1}\mathbf {r} ^{k-1}+\dots +\mathbf {a} _{1}\mathbf {r} +\mathbf {a} _{0}$ $P=\mathbf {a} _{k-1}\mathbf {r} ^{k-1}+\dots +\mathbf {a} _{1}\mathbf {r} +\mathbf {a} _{0}$ - $P=\mathbf {a} _{k-1}\mathbf {r} ^{k-1}+\dots +\mathbf {a} _{1}\mathbf {r} +\mathbf {a} _{0}$ + $P=\mathbf {a} _{k-1}\mathbf {r} ^{k-1}+\dots +\mathbf {a} _{1}\mathbf {r} +\mathbf {a} _{0}$ 1 $P=\mathbf {a} _{k-1}\mathbf {r} ^{k-1}+\dots +\mathbf {a} _{1}\mathbf {r} +\mathbf {a} _{0}$ + a 1 r + $P=\mathbf {a} _{k-1}\mathbf {r} ^{k-1}+\dots +\mathbf {a} _{1}\mathbf {r} +\mathbf {a} _{0}$ 0 { { $display$ P = \ $mathbf$ { a $} _$ { $k$ - 1 } ^ { k - 1 } + \ $display$ + \ $mathbf {$ r } + \ $mathbf { a }$ 로 정의된다 $.$ $tyle$ n $}$ 노드가 $n$ 고유합니다. $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ i $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ i $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ \ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $a } _$ { $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ $i$ } ^ { $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ $i$ } { { { { { { 、 { $\mathbf {r} ^{i}$ $（$ $displaystyle$ a $_$ { i } ）의 $a_{i}$ $\mathbf {r} ^{i}$ $a_{i}-1$ $\mathbf {r} ^{i}$ 으로 루트가 $a_{i}-1$ i $a_{i}$ - $a_{i}-1$ $a_{i}-1$ ( \ $displaystyle a$ _ { $i$ $a_{i}-1$ } $a_{i}-1$ } ） $a_{i}-1$ $of$ of of of of of of of of of of $a_{i}-1$ 。 $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ ${i}-1}$ 에지는 $a_{i}-1$ $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ 의 메인 트렁크 $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ ${\$ ^{ $i$ 라고 불립니다.게다가, 트리의 다항식의 노드가 힙 속성의 키와 관련되어 있는 경우, 트리의 r-nomial 큐라고 불립니다.

r-nomial 큐에서의 동작

$i$ $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ i $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ \ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $a$ $\mathbf {a} '_{i}\mathbf {r} ^{i}$ } $_$ $\mathbf {a} '_{i}\mathbf {r} ^{i}$ { $i$ } \ $mathbf$ { $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ $r } ^$ { $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ $i$ $\mathbf {a} '_{i}\mathbf {r} ^{i}$ $\mathbf {a} '_{i}\mathbf {r} ^{i}$ a a2개의 형식의 $\mathbf {a} _{i}\mathbf {r} ^{i}$ 를 결합하려면 트리 루트 키에 따라 메인 트렁크 내의 트리를 정렬합니다. $a_{i}+a'_{i}\geq r$ + $a_{i}+a'_{i}\geq r$ $a_{i}+a'_{i}\geq r$ { $displaystyle a$ _ { $i$ } + $a } _$ { $i$ } \ $geq$ r }의 $a_{i}+a'_{i}\geq r$ $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i}-\mathbf {r} )\mathbf {r} ^{i}$ 경우 $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i}-\mathbf {r} )\mathbf {r} ^{i}$ ( $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i}-\mathbf {r} )\mathbf {r} ^{i}$ + $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i}-\mathbf {r} )\mathbf {r} ^{i}$ $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i}-\mathbf {r} )\mathbf {r} ^{i}$ - $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i}-\mathbf {r} )\mathbf {r} ^{i}$ ) $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i}-\mathbf {r} )\mathbf {r} ^{i}$ i { $displaystyle$ ( \ $mathbf { a$ } $_$ { $i$ } + \ $mathbf { a$ } - $}$ )이 됩니다 $.$ 그렇지 않으면 트리 $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i})\mathbf {r} ^{i}$ $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i})\mathbf {r} ^{i}$ $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i})\mathbf {r} ^{i}$ ) $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i})\mathbf {r} ^{i}$ i $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i})\mathbf {r} ^{i}$ { $displaystyle (\mathbf {a} _{i}$ +\ $mathbf$ {a} ' $_{i}\mathbf {r} ^{$ i $(\mathbf {a} _{i}+\mathbf {a} '_{i})\mathbf {r} ^{i}$ 만 $있습니다.$ 따라서 2개의 nomial 큐의 합계는 실제로는 base $r$ {\ $displaystyle$ r $r$ 에 2개의 숫자를 추가하는 것과 비슷합니다.

키를 다항식 큐에 삽입하는 것은 단일 노드를 키의 라벨과 함께 기존 r-nomial 큐에 병합하는 것과 같습니다. $O(r\log _{r}{n})$ ( $O(r\log _{r}{n})$ $O(r\log _{r}{n})$ r $O(r\log _{r}{n})$ n ) $O(r\log _{r}{n})$ \ $display style$ O ( $r$ \ $log$ _ { $r$ } { $n$ } } $O(r\log _{r}{n})$ 。

최소값을 삭제하려면 먼저 트리의 루트( $예$ :T {\ $displaystyle$ T $})$ 에서 최소값을 찾아야 합니다 $.$ 그런 $다음$ T {\ $displaystyle$ T}에서 최소값을 삭제한 후 결과 다항식 큐 $Q$ {\ $displaystyle$ Q $}$ 를 $Q$ $O(r\log _{r}{n})$ 총 $P-T$ - T {\ $displaystyle$ $P-T}$ 에 $P-T$ 추가합니다(\ $displaystyle$ O $).$ $r}{n$

(2,3)-접속

$T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ $(l,r)-$ , $(l,r)-$ ) - ${\displaystyle$ $( l$ , r ) - { $displaystyle$ T $($ $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ $)$ $(l,r)-$ $=$ $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ 1 ( $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ - $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ ) $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ ( $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ - $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ ) $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ 、 { $displaystyle$ T $(i$ ) $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ 에 $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ 재귀적으로 정의됩니다. $T_{1}(i-1)\triangleleft \triangleleleft T_{s}($ $i-1$ $)$ $({$ $displaystyle$ $i\geq 1$ s $}$ 는 $T(i)=T_{1}(i-1)\triangleleft \dots \triangleleft T_{s}(i-1)$ $s$ l ${$ $displaystyle$ l $}$ 과 $l$ r ${displaystyle$ r $}$ $사이$ $r$ $(s-1)$ $)$ 는 $\triangleleft$ $l$ { $displaystyle$ $(s-1$ $)}$ 와 r{displaystyleft (s-1 $)$ 사이의 동작입니다 $\triangleleft$ $.$ $A$ (디스플레이 $스타일 A)$ 및 $A$ $B$ $($ $디스플레이$ $스타일$ B $)$ $A\triangleleft B$ 의 결과인A $($ $디스플레이 스타일$ A) 및 B(디스플레이 스타일 B)는 $A\triangleleft B$ B $(디스플레이$ $스타일$ A $)$ 의 $B$ $A$ 루트를 오른쪽 $끝$ 의 아이로 $T(0)$ 하고 $T(0)$ T(0 $)$ 는 $T(0)$ 단일 노드입니다. $T(i)$ T $)$ 의 루트(\ $displaystyle$ T $(i))$ 는 $T(i)$ $도수$ i(\ $displaystyle$ i $i$ 입니다.

트리의 확장 다항식 $P$ (\ $displaystyle$ P $P$ 는 P $P=a_{k-1}T(k-1)+\dots +a_{1}T(1)+a_{0}$ $P=a_{k-1}T(k-1)+\dots +a_{1}T(1)+a_{0}$ - $P=a_{k-1}T(k-1)+\dots +a_{1}T(1)+a_{0}$ T $P=a_{k-1}T(k-1)+\dots +a_{1}T(1)+a_{0}$ $P=a_{k-1}T(k-1)+\dots +a_{1}T(1)+a_{0}$ ) $P=a_{k-1}T(k-1)+\dots +a_{1}T(1)+a_{0}$ + $P=a_{k-1}T(k-1)+\dots +a_{1}T(1)+a_{0}$ + + $P=a_{k-1}T(k-1)+\dots +a_{1}T(1)+a_{0}$ $P=a_{k-1}T(k-1)+\dots +a_{1}T(1)+a_{0}$ ) $P=a_{k-1}T(k-1)+\dots +a_{1}T(1)+a_{0}$ + $(\$ P $=a_{k-1} T(k-1)+\dots$ + $a_{$ 1}T $(1)+a_{0$ 로 정의됩니다.l $l=2$ $({displaystyle$ l $r=3$ }) $r=3$ r $r=3$ = 3({ $displaystyle$ r= $3})$ 의 $r=3$ $l=2$ 케이스는 $(2,3)-heap$ ) $(2,3)-heap$ - $(2,3)-heap$ e $(2,3)-heap$ $(2,3)-heap$ { $displaystyle (2,3$ ) $-$

(2,3)-히프에서의 동작

삭제 최소값:우선 나무의 뿌리를 스캔하여 최소값을 구합니다. $)$ { $displaystyle$ T $(i)}$ 를 $T(i)$ 최소 요소를 포함하는 트리로 하고 Q $({displaystyle$ Q})를 $Q$ $T(i)$ i $)$ { $displaystyle T(i$ 에서 루트를 삭제한 결과로 합니다.다음으로 P $P-T(i)$ - $P-T(i)$ ( $P-T(i)$ $){$ $displaystyle P-T(i)}$ $Q$ Q ${displaystyle$ Q $}$ 를 $P-T(i)$ (마지 조작은 2개의 r-nomial 큐의 Marge와 유사합니다).

삽입:새 키를 삽입하기 위해 현재 존재하는 (2,3)-히프를 이 키로 라벨이 지정된 단일 노드 트리 $T(0)$ ( $T(0)$ 0 $)\displaystyle$ T ( $0)$ 와 $T(0)$ 결합합니다.

감소 키: 완료!

레퍼런스

^ ^a ^b Takaoka, Tadao (March 2003). "Theory of 2–3 Heaps". Discrete Applied Mathematics. 126 (1): 115–128. doi:10.1016/S0166-218X(02)00219-6.

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[:0-1] Takaoka, Tadao (March 2003). "Theory of 2–3 Heaps". Discrete Applied Mathematics. 126 (1): 115–128. doi:10.1016/S0166-218X(02)00219-6.

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