몽고메리의 쌍상관계 추측

수학에서 몽고메리의 쌍상관계 추측이란 리만 제타함수의 0쌍(단위 평균 간격을 가지도록 정규화) 사이의 쌍상관계는 휴 몽고메리(1973)가 만든 추측이다.

${\displaystyle 1-\left\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}\오른쪽)^{\!2}+\pi(u),}$

프리먼 다이슨이 그에게 지적했듯이, 그것은 무작위 에르미트 행렬의 쌍상관함수와 같다.

추측

리만 가설이 사실이라는 가정 하에.

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$을(를) $T{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle T\to \fty }$로 고정시키십시오$$.

${\displaystyle N(T;\alpha ,\beta )\,:=\,\sum _{A}1\,\sim \,\left(\int \limits _{\alpha }^{\beta }\left(1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} u+\delta _{0}([\alpha ,\beta ])\right){\frac {T}{2\pi }}\log(T)}$

and we count over ${\displaystyle A=\{(\gamma ,\gamma '):0<\gamma ,\gamma '\leq T{\text{ and }}2\pi \alpha /\log(T)\leq \gamma -\gamma '\leq 2\pi \beta /\log(T)\}}$.

설명

비공식적으로 이것은 0 1/2+iT에서 2 fromu/log(T) 거리에서 길이 2πL/log(T)의 매우 짧은 간격에서 0을 발견할 확률은 위의 식에 약 L배라는 것을 의미한다.(인자 2π/log(T)는 T에 대한 가상의 부품이 있는 0 사이의 평균 간격으로서 비공식적으로 생각할 수 있는 정규화 요인이다.)앤드류 오들리즈코(1987)는 이 추측이 0의 대규모 컴퓨터 계산에 의해 뒷받침된다는 것을 보여주었다.이러한 추측은 2개 이상의 0의 상관관계와 자동형 표현에 대한 제타 함수로 확장되었다(Rudnick & Sarnak 1996).1982년 몽고메리의 학생인 알리 에르한 외즐뤼크는 디리클레트의 L 기능 중 일부에 대한 쌍상관계 추측을 증명했다.A.E. Ozluk (1982)

무작위 단일 행렬과의 연결은 리만 가설(RH)의 증거로 이어질 수 있다.힐버트-Polya 추측에 따르면 리만 제타 함수의 0은 선형 연산자의 고유값에 해당하며, RH를 암시한다.일부 사람들은 이것이 유망한 접근법이라고 생각한다(Andrew Odlyzko(1987)).

몽고메리는 쌍상관함수의 푸리에 변환 F(x)를 연구하고 있었는데, (리만 가설을 가정하면) x < 1의 경우 x와 같다는 것을 보여주었다.그의 방법은 x ≥ 1에 대해서는 그것을 결정할 수 없었지만, 이 x에 대해서는 1과 같다고 추측했는데, 이는 쌍의 상관 함수가 위와 같다는 것을 암시한다.그는 리만 가설이 벽돌담이 아니며, 더 강한 추측을 할 수 있도록 거리낌없이 느껴야 한다는 생각에도 동기부여가 되었다.

오드리즈코에 의한 수치 계산

1980년대에 몽고메리의 추측에 자극받아 오드리즈코는 ζ(s)의 0의 통계에 대한 강도 높은 수치 연구를 시작했다.그는 세부적인 숫자 계산을 사용하여 비교 0 사이의 스페이스의 분포를 확인하고 몽고메리의 추측이 사실일 것이며 그 분포가 크레이 X-MP를 이용한 GUE 무작위 매트릭스 고유값의 스페이스 분포와 일치함을 증명하였다. 1987년에 그는 안드레에 그 계산을 보고했다.W Odlyzko (1987년).

비경쟁 0의 경우 1/2 + iγ의_n 경우 정규화된 스페이싱이

${\displaystyle \cHB_{n}={\frac {\pi_{n+1}-\pi_{n}\,{\log {\frac {\pi _{n}}}}.}$

그러면 $우리$는 다음 공식을${\displaystyle }$M ,${\displaystyle N}$ → ${\displaystyle \mathrm{\infty }}${\$displaystyle M,N$\to $\inflt }$의 한계로 예상할 수 있을 것이다$.$

${\displaystyle {\frac {1}{M}}\{(n,k)\mid N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,\delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}\sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du}$

오드리즈코는 and(1/2 + it)의 값을 t 스텝의^ε 평균 시간으로 계산할 수 있도록 오드리즈코와 sch나지가 개발한 새로운 알고리즘을 바탕으로 10세²⁰ 전후의 높이에서 수백만 개의 0을 계산하여 GUE 추측에 대한 몇 가지 증거를 제시하였다.^[1][2]

이 그림에는 리만 제타 함수의 첫 번째 10개의⁵ 비교 영이 포함되어 있다.0이 더 많이 샘플링될수록 이들의 분포는 GUE 랜덤 행렬의 모양에 가깝다.

참고 항목

• 레머 쌍

참조

• Ozluk, A.E. (1982), Pair Correlation of Zeros of Dirichlet's L-functions, Ph. D. Dissertation, Ann Arbor: Univ. of Michigan, MR 2632180
• Katz, Nicholas M.; Sarnak, Peter (1999), "Zeroes of zeta functions and symmetry", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 36 (1): 1–26, doi:10.1090/S0273-0979-99-00766-1, ISSN 0002-9904, MR 1640151
• Montgomery, Hugh L. (1973), "The pair correlation of zeros of the zeta function", Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 181–193, MR 0337821
• Odlyzko, A. M. (1987), "On the distribution of spacings between zeros of the zeta function", Mathematics of Computation, 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890, ISSN 0025-5718, JSTOR 2007890, MR 0866115
• Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1996), "Zeros of principal L-functions and random matrix theory", Duke Mathematical Journal, 81 (2): 269–322, doi:10.1215/S0012-7094-96-08115-6, ISSN 0012-7094, MR 1395406