차세대 매트릭스

역학에서 차세대 매트릭스는 감염병 확산의 구획 모델을 위해 기본 재생산 번호를 도출하는 데 사용된다.인구 역학에서는 구조화된 모집단 모델의 기본 재생산 번호를 계산하는 데 사용된다.^[1]유사 연산을 위한 멀티형 분기 모델에도 사용된다.^[2]

차세대 매트릭스를 이용한 기본 재생산 비율을 계산하는 방법은 다이크만 외 연구진(1990년)^[3]과 판 덴 드리에슈와 왓모우(2002년)가 제시한다.^[4]차세대 매트릭스를 사용하여 기본 재생산 번호를 계산하기 위해 전체 모집단을 < < ${\displaystyle n}$개의$$ 컴파트먼트가 있는 $n{\displaystyle }$ [\displaystyle n$}$개의 컴파트먼트로 나눈다.x ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$= 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle m}${\$displaystyle x_{i},i=1,2$,3$,\ldots,m}$을(를) i $t{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ ${\$ 감염$$ 구획의 시간 t에 있는 감염자 수이다$$.이제 전염병 모델은

${\displaystyle {\frac {\d}x_{i}{\$$F_{i}(x)-V_{i}(x$ 여기서 ${\displaystyle V_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ V ${\displaystyle i_{}^{}}$-${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$+${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle V_{i}(x)=$$[V_{i}^{-}(x)-V_{i}^{+}(x)]}$

위의 방정식에서 ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle F_{i}(x)}$은(는) $구획{\displaystyle }$i {\$displaystyle i}$에서 새로운 감염의 출현 속도를 나타내며$$$,$ ${\displaystyle V_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\$은(는$$) 구획 $i{\displaystyle }$ ${\displaystything styone$ i$}$로 개인을 이동하는 속도를 ${\displaystyle \mathrm{나타낸다<img\; alt="V^+\_i"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/682a134a58d35aed79b52dae39cbe5f9ea80c6ef"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:3.428ex;\; height:3.176ex;"\; papago-attr-id="46">}{}_{}^{}}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle V_{i}^{-}(x)}$은(는) i ${\displaystyle i}$ 구획 $밖$으로 개인이 이동하는 속도를 나타낸다$$$.$위의 모델도 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}x}{\mathrm {d}t}=F(x)-V(x)}$

어디에

${\displaystyle F(x)={\begin{pmatrix}F_{1}(x),&F_{2}(x),&\ldots ,&F_{m}(x)\end{pmatrix}^{pmatrix}}{{pmatrix}}}^{{pmot}}}}}{pmatrix}}}}}^{T}$

그리고

${\displaystyle V(x)={\begin{pmatrix}V_{1}(x),&V_{2}(x),&\ldots ,&V_{m}(x)\end{pmatrix}^{T}.}$

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 질병이 없는 평형이 되게$$ 한다.Jacobian 행렬 $F{\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle F(x)}$ 및$$ $V{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle V(x)}$의 값은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle DF(x_{0})={\begin{pmatrix}F&0\\0&0\end{pmatrix}}$

그리고

${\displaystyle DV(x_{0}={\begin{pmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{pmatrix}}}$

각각

Here, ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle V}$ are m × m matrices, defined as ${\displaystyle F={\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$ and ${\displaystyle V={\frac {\partial V_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$.

이제 매트릭스 ${\displaystyle {}^{}}$ V${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$는 차세대 매트릭스로 알려져$$ 있다.$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 고유값 또는 스펙트럼 반지름 중 가장 큰 계수는 모델의 기본 재생산 번호다$$.

참고 항목

• 감염병의 수학적 모델링

참조

원천

• Ma, Zhien; Li, Jia (2009). Dynamical Modeling and analysis of Epidemics. World Scientific. ISBN 978-981-279-749-0. OCLC 225820441.
• Diekmann, O.; Heesterbeek, J. A. P. (2000). Mathematical Epidemiology of Infectious Disease. John Wiley & Son.
• Heffernan, J. M.; Smith, R. J.; Wahl, L. M. (2005). "Perspectives on the basic reproductive ratio". J. R. Soc. Interface. 2 (4): 281–93. doi:10.1098/rsif.2005.0042. PMC 1578275. PMID 16849186.