수학 에서 베셀 다항식 은 다항식 의 직교 순서다. 여러 가지 서로 다르지만 밀접하게 관련된 정의들이 있다. 수학자들이 선호하는 정의는 시리즈로 주어진다(Krall & Frink, 1948년)
y n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n + k ) ! ( n − k ) ! k ! ( x 2 ) k {\displaystyle y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)! }}{{(n-k)!k! }}}\\왼쪽 사진\frac {x}{2}}\오른쪽) ^{k}}} 전기 기술자들이 선호하는 또 다른 정의는 때때로 역 베셀 다항식(reverse besel polyomials, 1978, Berg 2000 참조)으로 알려져 있다.
θ n ( x ) = x n y n ( 1 / x ) = ∑ k = 0 n ( n + k ) ! ( n − k ) ! k ! x n − k 2 k {\displaystyle \theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}(1/x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)! }}{{(n-k)!k! }}}\{\frac {x^{n-k}{2^{k}}}}}} 두 번째 정의의 계수는 첫 번째 정의와 동일하지만 역순이다. 예를 들어 3급 베셀 다항식은
y 3 ( x ) = 15 x 3 + 15 x 2 + 6 x + 1 {\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\,} 3도 리버스 베셀 다항식은
θ 3 ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 15 {\displaystyle \theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15\,} 역방향 베셀 다항식은 베셀 전자 필터 설계에 사용된다.
특성. Besel 함수에 대한 정의 베셀 다항식도 다항식이 이름을 그리는 베셀 함수 를 사용하여 정의할 수 있다.
y n ( x ) = x n θ n ( 1 / x ) {\displaystyle y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}(1/x)\,} y n ( x ) = 2 π x e 1 / x K n + 1 2 ( 1 / x ) {\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {2}{\pi x}\,e^{1/x}K_{n+{1}{1}{2}}(x)} θ n ( x ) = 2 π x n + 1 / 2 e x K n + 1 2 ( x ) {\displaystyle \theta _{n}(x)={\sqrt {2}{\pi }}\,x^{n+1/2}}e^{x_{n+{1}{1}{1}{1}}}(x)} 여기서 K n x )는 두 번째 종류의 변형된 베셀 함수 , y n x )는 일반 다항식, θ n x )는 역 다항식이다.[1] : 7, 34 예를 들면 다음과 같다.[2]
y 3 ( x ) = 15 x 3 + 15 x 2 + 6 x + 1 = 2 π x e 1 / x K 3 + 1 2 ( 1 / x ) {\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {2}{\pi x}\,e^{1/x}K_{3+{\frac{1}{1}:{2}}(1/x)} 초기하 함수로 정의 베셀 다항식은 결합초기하 함수 로도 정의될 수 있다(Dita, 2006).
y n ( x ) = 2 F 0 ( − n , n + 1 ; ; − x / 2 ) = ( 2 x ) − n U ( − n , − 2 n , 2 x ) = ( 2 x ) n + 1 U ( n + 1 , 2 n + 2 , 2 x ) . {\displaystyle y_{n}(x)=\,_{2 }F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right). } 일반화된 Besel 다항식([1] : 35
y n ( x ; α , β ) = 2 F 0 ( − n , n + a − 1 ; ; − x / b ) = ( b x ) n + a − 1 U ( n + a − 1 , 2 n + a , b x ) . {\displaystyle y_{n}(x;\reason ,\reason )=\,_{2 }F_{0}(-n,n+a-1;-x/b)=\좌측({\frac {b}{x}}\우측)^{n+a-1} U\왼쪽(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\오른쪽). } 역방향 베셀 다항식은 일반화된 라구에르 다항식 으로 정의할 수 있다.
θ n ( x ) = n ! ( − 2 ) n L n − 2 n − 1 ( 2 x ) {\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {n!}{{n!}^{n}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)} 이 경우 초기하 함수로 정의될 수 있다.
θ n ( x ) = ( − 2 n ) n ( − 2 ) n 1 F 1 ( − n ; − 2 n ; 2 x ) {\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {(-2n)}{n}}}{{n}}\,\,_{1}F_{1}{1}{1}(-n;-2n;2x)}}}} 여기서 (-2n)n 포하머 기호 (상승 요인)이다.
모노미알 의 역행은 다음에 의해 주어진다.
( 2 x ) n n ! = ( − 1 ) n ∑ j = 0 n n + 1 j + 1 ( j + 1 n − j ) L j − 2 j − 1 ( 2 x ) = 2 n n ! ∑ i = 0 n i ! ( 2 i + 1 ) ( 2 n + 1 n − i ) x i L i ( − 2 i − 1 ) ( 1 x ) . {\displaystyle {\frac {(2x)^{n}}{n! }}}=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {n+1}{j+1}{j+1}:{j+1}{j+1 \선택 n-j}L_{-2j-1}(2x)={\frac {2^{n}}{n! }}}\sum _{i=0}^{ni!(2i+1){2n+1 \선택 n-i}x^{i} L_{i}^{(-2i-1)}\왼쪽({\frac {1}{x}}\오른쪽). } 생성함수 인덱스가 이동된 Besel 다항식에는 생성 함수가 있음
∑ n = 0 ∞ 2 π x n + 1 2 e x K n − 1 2 ( x ) t n n ! = 1 + x ∑ n = 1 ∞ θ n − 1 ( x ) t n n ! = e x ( 1 − 1 − 2 t ) . {\displaystyle \sum_{n=0}^{\inflt}{\sqrt{2}{{\pi }}x^{n+{1}{1}{1}:{n-{1}e^{1}K_{n-{n1}{1}:{n}}}(x){\frac {t^{n}{n! }}}=1+x\sum _{n=1}^{\inflt ^{n1}\theta _{n1}(x){\frac{t^{n}}{n! }}}=e^{x(1-{\sqrt{1-2t})}. } t {\displaystyle t }, 취소 {\displaystyle } θn n 0 displaystyle \{n n}_{n\geq 0}}}
∑ n = 0 ∞ θ n ( x ) t n n ! = 1 1 − 2 t e x ( 1 − 1 − 2 t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflit }\theta _{n}(x){\frac{t^{n}}{n! }}}={\frac{1}{\sqrt{1-2t}}e^{x(1-{\sqrt{1-2t})}. } y n {\ displaystyle y_{n} [3] : 106
∑ n = 0 ∞ y n − 1 ( x ) t n n ! = 생략하다 ( 1 − 1 − 2 x t x ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\n-1}y_{n-1}(x){\frac{t^{n}}{n! }}}=\exp \flpx\frac {1-{\sqrt{1-2xt}}}{x}\오른쪽). } t z x z 2 2 {\displaystyle t=z-xz^{2 2} 지수함수 에 대한 표현은 다음과 같다.
e z = ∑ n = 0 ∞ y n − 1 ( x ) ( z − x z 2 / 2 ) n n ! . {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}{n}}{n! }}.} 재귀 베셀 다항식도 재귀 공식으로 정의할 수 있다.
y 0 ( x ) = 1 {\displaystyle y_{0}(x)=1\,} y 1 ( x ) = x + 1 {\displaystyle y_{1}(x)=x+1\,} y n ( x ) = ( 2 n − 1 ) x y n − 1 ( x ) + y n − 2 ( x ) {\displaystyle y_{n}(x)=(2n\!-\)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,} 그리고
θ 0 ( x ) = 1 {\displaystyle \theta _{0}(x)=1\,} θ 1 ( x ) = x + 1 {\displaystyle \theta _{1}(x)=x+1\,} θ n ( x ) = ( 2 n − 1 ) θ n − 1 ( x ) + x 2 θ n − 2 ( x ) {\displaystyle \theta _{n}(x)=(2n\!-\1)\theta _{n-1(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,} 미분방정식 베셀 다항식은 다음과 같은 미분 방정식에 따른다.
x 2 d 2 y n ( x ) d x 2 + 2 ( x + 1 ) d y n ( x ) d x − n ( n + 1 ) y n ( x ) = 0 {\displaystyle x^{2}{d^{2}y_{n}(x)}{dx^{2}}+2(x\! +\!1){\frac {dy_{n}(x)}{dx}-n(n+1)y_{n}(x)=0} 그리고
x d 2 θ n ( x ) d x 2 − 2 ( x + n ) d θ n ( x ) d x + 2 n θ n ( x ) = 0 {\displaystyle x{\frac {d^{2}\theta _{n}(x)}{dx^{2}}:2}}(x\! +\!n){\frac {d\theta _{n}(x)}{dx}+2n\,\theta _{n}(x)=0} 직교성 베셀 다항식은 복합 평면의 단위 원 위에 통합된중량 2 x {\ displaystyle e^{-2/x} [3] 즉, n ≠ m {\displaystyle n\neq } ,
∫ 0 2 π y n ( e i θ ) y m ( e i θ ) i e i θ d θ = 0 {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(e^{i\theta }\right)y_{m}\left(e^{i\theta }\right)^{i\da}\mathrmatrmeta =0}
일반화 명시적 양식 베셀 다항식의 일반화는 문헌(Krall, Fink)에서 다음과 같이 제안되었다.
y n ( x ; α , β ) := ( − 1 ) n n ! ( x β ) n L n ( − 1 − 2 n − α ) ( β x ) , {\displaystyle y_{n}(x;\filename ,\filename ):=(-1)^{n}n! \left({\frac {x}{\beta }}}}^{n_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\왼쪽({\frac {}{x}\beta }\right),} 해당 역 다항식:
θ n ( x ; α , β ) := n ! ( − β ) n L n ( − 1 − 2 n − α ) ( β x ) = x n y n ( 1 x ; α , β ) . {\displaystyle \theta _{n}(x;\filename ,\filename ): ={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}{n}^{{n}{{n}}(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n_{n}\좌({\frac {1}{x};\alpha \right) } y n (x α β {\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )} [3] : 108
y n ( x ; α , β ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( n + k + α − 2 ) k _ ( x β ) k . {\displaystyle y_{n}(x;\reason ,\properties )=\sum _{k=0}^{n}{n}{n}}{n}}}{k}(n+k+\fla -2)^{\underline {k}\frac}{x}}}}}}}}}} 따라서 θ n α β {\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}
θ n ( x ; α , β ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( 2 n − k + α − 2 ) n − k _ x k β n − k . {\displaystyle \theta _{n}(x;\cHB ,\cHB )=\sum _{k=0}^{n}{n}}{n-k}(2n-k+\fline -2)^{n-k}{n-k}}{n-k}}}}. } 가중치 함수의 경우
ρ ( x ; α , β ) := 1 F 1 ( 1 , α − 1 , − β x ) {\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):=\,_{1}F_{1}{1}\왼쪽(1,\alpha -1,-{\frac {}{x}\beta}\오른쪽)} 관계를 위해 직교한다.
0 = ∮ c ρ ( x ; α , β ) y n ( x ; α , β ) y m ( x ; α , β ) d x {\displaystyle 0=\point _{c}\rho(x;\reason ,\reason )y_{n}(x;\reason ,\reason )y_{m}(x;\reason ,\reason )\mathrm {d}x}x} 0점 을 둘러싸고 있는 m c n과 c 곡선을 유지한다.
그것들은 α = β = 2의 베셀 다항식들에 전문화되어 있는데, 이 상황에서 ((x ) = exp(-2 / x )은 다음과 같다.
베셀 다항식용 로드리게스 공식 위의 미분 방정식의 특정 해법으로 베셀 다항식들에 대한 Rodrigues 공식은 다음과 같다.
B n ( α , β ) ( x ) = a n ( α , β ) x α e − β x ( d d x ) n ( x α + 2 n e − β x ) {\displaystyle B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})} 여기서 a 는(α, β) n
관련 베셀 다항식 이러한 일반화에 따라 관련 베셀 다항식에는 다음과 같은 일반화된 미분 방정식이 있다.
x 2 d 2 B n , m ( α , β ) ( x ) d x 2 + [ ( α + 2 ) x + β ] d B n , m ( α , β ) ( x ) d x − [ n ( α + n + 1 ) + m β x ] B n , m ( α , β ) ( x ) = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {dB_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right] B_{n,m}^{(\알파 ,\베타 )}(x)=0} 여기서 0 ≤ m ≤ n {\displaystyle 0\leq m\leq n 해결책은,
B n , m ( α , β ) ( x ) = a n , m ( α , β ) x α + m e − β x ( d d x ) n − m ( x α + 2 n e − β x ) {\displaystyle B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-m}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})} 제로스 If one denotes the zeros of y n ( x ; α , β ) {\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )} α k ( n ) ( α , β ) {\displaystyle \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )} θ n ( x ; α , β ) {\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )} β k ( n ) ( α , β ) {\displaystyle \beta _{k}^{(n)}(\alph a ,\reason )}, [1] : 82
2 n ( n + α − 1 ) ≤ α k ( n ) ( α , 2 ) ≤ 2 n + α − 1 , {\displaystyle {\frac {2}{n(n+\filename -1)}\leq \req \{k}^{k}{n(n)}(\frac,2)\leq {2}{n+\frac -1},},} 그리고
n + α − 1 2 ≤ β k ( n ) ( α , 2 ) ≤ n ( n + α − 1 ) 2 , {\displaystyle {\frac {n+\reason -1}{2}}\leq \i1}{k}^{k}{{k}^(n)}(\frac {n+\i1}}{2}},} 모든 α ≥ 2 {\displaystyle \alpha \geq 2} .
다항식의 0의 추정에 관한 보다 강력한 이론(더 구체적으로는 사프와 바르가의 파라볼라 정리 또는 미분방정식 기법)에 의존한다면 더 날카로운 결과를 말할 수 있다.[1] : 88 [4] 한 가지 결과는 다음과 같다.[5]
2 2 n + α − 2 3 ≤ α k ( n ) ( α , 2 ) ≤ 2 n + α − 1 . {\displaystyle {\frac {2}{2n+\reason -{\frac {2}}{3}}\leq \i1}{k}^{(n)}(\reason ,2)\leq {2}{n+\reason -1}.} 특정 값 처음 5개의 베셀 폴리노미얼은 다음과 같이 표현된다.
y 0 ( x ) = 1 y 1 ( x ) = x + 1 y 2 ( x ) = 3 x 2 + 3 x + 1 y 3 ( x ) = 15 x 3 + 15 x 2 + 6 x + 1 y 4 ( x ) = 105 x 4 + 105 x 3 + 45 x 2 + 10 x + 1 y 5 ( x ) = 945 x 5 + 945 x 4 + 420 x 3 + 105 x 2 + 15 x + 1 {\displaystyle {\regated}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1 \\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1 \\y_{4}(x)&=x^{4}+x^{3}+45x^{2}+10x+1 \\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+945x^{4}+11x^{3}+11x^{2}+15x+1\ended}}}}}} 어떤 베셀 다항식도 엄격히 합리적인 계수를 가진 하위 순서의 다항식으로 인수할 수 없다.[6] 5개의 역방향 베셀 폴리노미알은 계수를 역방향으로 하여 얻는다. 동등하게, θk x k y k 1 {\textstyle \theta _{k}(x)=x^{k}y_{k}(1/x)} 이로 인해 다음과 같은 결과가 발생한다.
θ 0 ( x ) = 1 θ 1 ( x ) = x + 1 θ 2 ( x ) = x 2 + 3 x + 3 θ 3 ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 15 θ 4 ( x ) = x 4 + 10 x 3 + 45 x 2 + 105 x + 105 θ 5 ( x ) = x 5 + 15 x 4 + 105 x 3 + 420 x 2 + 945 x + 945 {\displaystyle {\regated}\theta _{0}(x)&=1\\\\}{1}(x)&=x+1\\theta _{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\\} \\theta _{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\\theta_{4}(x)=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+45x^+2x+2\\ \\theta _{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+11x^{3}+11x^{2}+945x+945\ \end{정렬}}} 참고 항목 참조 ^ a b c d Grosswald, E. (1978). Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics) . New York: Springer. ISBN 978-0-387-09104-4 ^ 울프람 알파 예 ^ a b c Krall, H. L.; Frink, O. (1948). "A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials". Trans. Amer. Math. Soc . 65 (1): 100–115. doi :10.2307/1990516 . ^ Saff, E. B.; Varga, R. S. (1976). "Zero-free parabolic regions for sequences of polynomials". SIAM J. Math. Anal . 7 (3): 344–357. doi :10.1137/0507028 . ^ de Bruin, M. G.; Saff, E. B.; Varga, R. S. (1981). "On the zeros of generalized Bessel polynomials. I". Indag. Math . 84 (1): 1–13. ^ Filaseta, Michael; Trifinov, Ognian (August 2, 2002). "The Irreducibility of the Bessel Polynomials". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 2002 (550): 125–140. CiteSeerX 10.1.1.6.9538 doi :10.1515/crll.2002.069 . "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)" . Founded in 1964 by Sloane, N. J. A. The OEIS Foundation Inc.{{cite web }}: CS1 maint 기타 (링크 )OEIS A001497 OEIS A001498 OEIS A104548 Berg, Christian; Vignat, C. (2000). "Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions" (PDF) . Retrieved 2006-08-16 . Carlitz, Leonard (1957). "A Note on the Bessel Polynomials". Duke Math. J . 24 (2): 151–162. doi :10.1215/S0012-7094-57-02421-3 . MR 0085360 .Dita, P.; Grama, Grama, N. (May 24, 2006). "On Adomian's Decomposition Method for Solving Differential Equations". arXiv :solv-int/9705008 Fakhri, H.; Chenaghlou, A. (2006). "Ladder operators and recursion relations for the associated Bessel polynomials". Physics Letters A . 358 (5–6): 345–353. Bibcode :2006PhLA..358..345F . doi :10.1016/j.physleta.2006.05.070 . Roman, S. (1984). The Umbral Calculus (The Bessel Polynomials §4.1.7) . New York: Academic Press. ISBN 978-0-486-44139-9 외부 링크 
![x^{2}{\frac {d^{2}B_{{n,m}}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)}{dx^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {dB_{{n,m}}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)}{dx}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{{n,m}}^{{(\alpha ,\beta )}}(x)=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4919329568ec11fc84335d890e2e7e1b1cc8cf46)
