단조로움(기계 설계)

메커니즘 설계에서 단조성은 사회적 선택 함수의 속성이다.전략적인 방지 메커니즘을 이용하여 기능을 구현할 수 있도록 하기 위해 필요한 조건이다.그것의 구두 설명은 다음과 같다.^[1]

한 에이전트 유형을 변경(다른 에이전트 유형을 고정시키는 동안)하면 사회적 선택 기능 하에서 결과가 변경되는 경우, 이 에이전트의 새로운 유형에서 평가된 새로운 유형과 원래 결과의 효용 차이는 적어도 이 에이전트의 원래 유형에서 평가된 효용 차이만큼 되어야 한다.

즉,^[2]^{: 227} 다음과 같다.

한 명의 선수가 평가를 바꿀 때 사회적 선택이 바뀐다면, 그것은 그 선수가 구 선택의 가치에 비해 새로운 선택의 가치를 높였기 때문일 것이다.

표기법

가능한 $X$ 의 $X$ X $X$ 이(가) 있다.

각 결과에 대해 서로 다른 가치를 갖는 $n$ 의 $n$ 개의 에이전트가 $n$ 있다.에이전트 $i$ $i$ 의 평가는 함수로 표현된다 $i$ .

v_{i}:X\longrightarrow R_{+}

각 대안에 부여된 가치를 나타내는 거지

모든 가치 기능의 벡터는 $v$ $v$ 로 표시된다 $v$

모든 에이전트 $i$ $i$ 에 $i$ 대해 다른 에이전트의 모든 값 기능의 벡터는 $v_{-i}$ - $v_{-i}$ ${\$ $v_$ ${-$ $v\equiv (v_{i},v_{-i})$ $}}$ 로 표시된다 $v_{-i}$ 따라서 v $v\equiv (v_{i},v_{-i})$ (v $v\equiv (v_{i},v_{-i})$ , $v\equiv (v_{i},v_{-i})$ - i ) ${\displaystyle$ v $\equiv (v_{i}v_{-i$

A social choice function is a function that takes as input the value-vector $v$ and returns an outcome $x\in X$ . It is denoted by $Outcome(v)$ or $Outcome(v_{i},v_{-i})$ .

돈이 없는 메커니즘에서

소셜 선택 함수는 모든 $에이전트$ i ${\displaystyle$ i $}$ 및 모든 $i$ $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ , $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ , $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ - i ${\$ }, v_{- $i}$ 에 $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ 대해 다음과 같은 경우 강력한 단일성 속성(SMON)을 충족한다.

x=Outcome(v_{i},v_{-i})

x'=Outcome(v'_{i},v_{-i}}}

x\baseck _{i}x'

(초기 선호도에 따라 대리인은 초기의 결과를 선호한다.)

x\preceq _{i'}x'

(최종 선호도에 따라 대리인은 최종 결과를 선호한다.)동등하게:

v_{i}(x)-v_{i}(x')\geq 0

v_{i}'(x)-v_{i}'(x')\leq 0

필요성

결과 함수 $O$ $u$ $o$ o $o$ o $o$ e{\ $displaystyle$ propress}과 $($ 와) 함께 돈 없이 전략적으로 사용할 수 있는 메커니즘이 있는 경우, 이 기능은 SMON이어야 한다 $Outcome$

교정: 일부 에이전트 $i$ $i$ 및 $i$ 일부 평가 $v_{-i}$ $v_{-i}$ - i ${\$ 을(를) 수정하십시오 $v_{-i}$ 전략 방지는 실제 $v_{i}$ v $v_{i}$ ${\$ $v_{i}}$ 을(를) 가진 에이전트가 $v_{i}'$ 을 하고 선언하는 것보다 $v_{i}$ v $v_{i}'$ ${\$ 을 더 선호한다는 것을 $v_{i}$ 의미하며 다음과 같다 $v_{i}'$

v_{i}(x)\geq v_{i}(x')

마찬가지로 실질 평가 v

v_{i}'

′

{\

을(를) 가진 에이전트는 거짓말을 하고 v

v_{i}

{\

displaystyle v_{i

}을

(

를) 선언하는 것보다

v_{i}'

v_{i}'

i

v_{i}'

v_{i}

{\

displaystyle v_{i

을(를) 선언하는 것을 약하게

v_{i}'

선호하므로 다음과 같다.

v_{i}'(x')\geq v_{i}'(x)

돈이 있는 기계에서.

메커니즘이 돈을 사용하도록 허용될 때, SMON 속성은 더 이상 구현을 위해 필요하지 않다. 왜냐하면 메커니즘은 에이전트에 대해 덜 선호되는 대안으로 전환되고 그 대리인에게 돈으로 보상할 수 있기 때문이다.

소셜 선택 함수는 모든 $에이전트$ i ${\displaystyle$ i $}$ 및 모든 $i$ $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ i $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ , $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ , v $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ - $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ i {\ $displaystyle$ v_ ${i}, v_{i$ }, v_{- $i}$ 에 $v_{i},v_{i}',v_{-i}$ 대해 다음과 같은 경우 취약한 단일성 속성(WMON)을 충족한다.

x=Outcome(v_{i},v_{-i})

x'=Outcome(v'_{i},v_{-i}}}

v_{i}(x)-v_{i}(x')\geq v_{i}'(x)-v_{i}'(x')

필요성

결과 함수 $O$ $u$ $u$ o $o$ o $o$ e {\ $displaystyle propress}$ 을(를 $Outcome$ 포함하는 전략 방지 메커니즘이 있는 경우, 이 기능은 WMON이어야 한다.

PROOF:[2]:227픽스의 행방 평가 벡터 v− 나는{\displaystyle v_{-i}{\displaystyle 나는}물질}.strategyproof 메커니즘은 가격 기능을 가지고 있다 P이었고 넌 결코 모르네 나는 c ei(x, v 나는 −){\displaystyle Price_{나는}(x,v_{-i})}, 결정하는을 얼마나 지불제 나는{\displaystyle 나는}를 받을 때 결과톤그는 mechanism은 $x$ ${\$ $x$ 이 가격은 결과에 따라 달라지지만 $v_{i}$ i $v_{i}$ {\ $displaystyle v_{i}}$ 에 직접 의존해서는 안 된다 $v_{i}$ 전략 $v_{i}$ 이란 v $v_{i}$ $v_{i}$ ${\$ $v_$ ${i}}$ 를 평가한 $v_{i}'$ 가 $v_{i}'$ i {\ $displaystystyle$ $v_$ ${$ $i}$ 를 $v_{i}$ 선언하는 것을 약하게 $v_{i}$ 선호한다는 것을 의미한다. $v_{i}'$ ; 따라서:

v_{i}(x)+Price_{i}(x,v_{-i})\geq v_{i}(x')+Price_{i}(x',v_{-i})}

마찬가지로 평가

v_{i}'

v_{i}'

v_{i}'

{\

을(를) 가진 플레이어는 v

v_{i}

{\

을(를) 선언하는 것보다

v_{i}'

v_{i}'

v_{i}'

v_{i}'

{\

i

을(를) 선언하는 것을 약하게

v_{i}'

선호하므로 다음과 같다.

v_{i}'(x)+Price_{i}(x,v_{-i})\leq v_{i}'(x')+Price_{i}(x',v_{-i})}

첫 번째 불평등에서 두 번째 불평등을 빼면 WMON 특성이 주어진다.

자급률

단조로움이 항상 실행가능성을 위한 충분한 조건은 아니지만, 그 안에 몇 가지 중요한 사례가 있다(즉, 모든 WMON 사회선택 기능을 구현할 수 있다).

에이전트에 단일 매개변수 효용 함수가 있는 경우.
많은 볼록한 도메인에서, 특히 각 값 함수의 범위가 $\mathbb {R} ^{+}$ + ${\$ 인 경우에 가장 두드러진다 $\mathbb {R} ^{+}$ ^[1]
각 값 함수의 범위가 $\mathbb {R}$ ${\$ } 또는 큐브(Gui, 뮐러, Vohra(2004)인 경우
모든 볼록 영역(Saks and Yu(2005)).
볼록 닫힘이 있는 모든 영역.^[3]
모든 "단조성 도메인"^[3]에서.

예

1. 에이전트가 하나의 첨두 선호도를 가질 때, 사회적 선택 함수의 중위수(대리인에게 가장 적합한 결과 중 중위수를 선택)는 강한 단조롭다.실제로 중위표를 뽑는 메커니즘은 돈이 없는 진실된 메커니즘이다.중위 유권자 정리를 참조하십시오.

2. 에이전트가 기본 효용 함수로 대표되는 일반적인 선호도를 가지는 경우.공리주의적 사회 선택 기능(대리인의 가치의 합을 최대화하는 결과)은 강하게 단조롭지는 않지만 약하게 단조롭다.실제로 돈으로 진실된 메커니즘인 VCG 메커니즘에 의해 구현될 수 있다.

3. 약한 단조성 속성은 에이전트가 단일모수 효용 함수를 가질 때 특별한 형태를 가진다.

4. 잡스케줄링에서 makespan-minimization social-choice 기능은 강하게 단조롭지도 않고 약하게 단조롭지도 않다.사실, 그것은 진실된 메커니즘에 의해 구현될 수 없다; 진실된 직업 일정을 보라.

참고 항목

투표 시스템의 단일성 기준.
마신단조화성
다른 분야에서 단일성의 다른 의미들.

참조

^ ^a ^b Bikhchandani, Sushil; Chatterji, Shurojit; Lavi, Ron; Mu'Alem, Ahuva; Nisan, Noam; Sen, Arunava (2006). "Weak Monotonicity Characterizes Deterministic Dominant-Strategy Implementation" (PDF). Econometrica. 74 (4): 1109. doi:10.1111/j.1468-0262.2006.00695.x.
^ ^a ^b Vazirani, Vijay V.; Nisan, Noam; Roughgarden, Tim; Tardos, Éva (2007). Algorithmic Game Theory (PDF). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-87282-0.
^ ^a ^b "Monotonicity and Implementability". Econometrica. 78 (5): 1749–1772. 2010. doi:10.3982/ECTA8882.

[wmon06-1] Bikhchandani, Sushil; Chatterji, Shurojit; Lavi, Ron; Mu'Alem, Ahuva; Nisan, Noam; Sen, Arunava (2006). "Weak Monotonicity Characterizes Deterministic Dominant-Strategy Implementation" (PDF). Econometrica. 74 (4): 1109. doi:10.1111/j.1468-0262.2006.00695.x.

[agt07-2] Vazirani, Vijay V.; Nisan, Noam; Roughgarden, Tim; Tardos, Éva (2007). Algorithmic Game Theory (PDF). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-87282-0.

[Ashlagi12-3] "Monotonicity and Implementability". Econometrica. 78 (5): 1749–1772. 2010. doi:10.3982/ECTA8882.

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