우카시오비치-모이실 대수

우카시오비치-모이실 알헤브라스(LM_n 알헤브라스)는 n값의 우카시오비츠 논리에 대수적 의미론을 부여하고자 그리고레 모이스일(초기에는 우카시오비츠 알헤브라스라는^[1] 이름으로)에 의해 1940년대에 도입되었다.그러나 1956년 앨런 로즈는 n ≥ 5에 대해 우카시오비츠-를 발견했다.모이실 대수학은 우카시예비치 논리를 모델로 하지 않는다.ℵ값₀(무한 다값) 우카시오비츠–에 대한 충실한 모델타르스키 논리는 1958년에 소개된 C. C. Chang의 MV-algebra에 의해 제공되었다.자명하게 더 복잡하게(완료된) n-값인 우카시예비치 로직의 경우, 적절한 알제브라는 1977년 Revaz Grigolia에 의해 출판되어 MV-algebras라고_n 불렸다.^[2]MV알게브라는_n LM알게브라의_n 하위 등급으로, n≥ 5에 대한 포함이 엄격하다.^[3]1982년에 Roberto Cignoli는 LM-algebras에_n n-값인 Wukasiewicz 논리에 대한 적절한 모델을 생산해내는 몇 가지 추가적인 제약조건을 발표하였다; Cignoli는 그의 발견을 적절한 Wukasiewicz 알제브라라고 불렀다.^[4]

그러나 모이실은 1964년에 그의 대수학(일반적으로 n 5 5의 경우)에 필적하는 논리를 발표했는데, 지금은 모이실 논리라고 한다.^[2]자데의 퍼지 논리와 접촉한 후 1968년 모이실 역시 무한히 많은 가치를 지닌 논리 변종과 그에 상응하는 LM_θ 알제브라를 도입했다.^[5]우카시오비츠 함축은 n ≥ 5의 LM_n 대수학에서 정의할 수 없지만, 헤잉 함축은, 즉 LM_n 알제브라는 헤잉 알제브라일 수 있다. 그 결과, 모이실 로직도 브라우어의 직관 논리의 틀에서 (순전히 논리적 관점에서) 개발할 수 있다.^[6]

정의

n-1 추가 단항,"조동사"작전으로 즉 서명(A, ∨, ∧, ¬,∇ j∈ J, 0,1){\displaystyle(A,\vee_{,\neg ,\nabla j\in J},0,1 ,\wedge)}에 계시는 대수 한 LMn 대수는 드 모건 대수(생각을 또한 Moisil에 의해 소개되):∇ 1,…,∇ n− 1{\displaystyle \nabla_{1},\ldots ,\nabla _{n-1}},. j= { 1, 2, ... n-1 }. (일부 출처는 추가 연산자를 대수 n의 순서에 ${\displaystyle {}_{}^{}}$한다는 것을 강조하기$$ 위해${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$^[7]${\displaystyle j_{}^{}}$ j ${\displaystyle {\in }_{}^{}}$ J n ${\$ J$}^{n}}}}})$추가 단항 연산자 ∇_j은 모든 x, y ∈ A와 j, k ∈ J에 대해 다음 공리를 만족해야 한다.^[3]

1. ${\displaystyle \jla _{j}(x\vee y)=(\jla _{j}\;x)\vee(\jla _{j}\;y)}}$
2. ${\displaystyle \cHB_{j}\;x\vee \neg \jla _{j}\;x=1}$
3. $\displaystyle \chla _{j}(\jla _{k}\;x)=\displa _{k}\;x}$
4. ${\displaystyle \j}\neg x=\neg \j}\;x}$
5. ${\displaystyle \cHB_{1}\;x\leq \cdots \leq \la_{n-1}\;x}$
6. 만약${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$j j ${\displaystyle x{}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle y{}_{}}$ ${\displaystyle \nabla$ \nabla $_{j}\x=\nabla _{j}\y}$ 모든 j ∈ J에 대해, x = y.

(형용사 "모달"은 타르크시와 우카시오에비치의 [궁극적으로 실패한] 프로그램과 연관되어 많은 가치를 지닌 논리를 이용하여 모달 논리를 공리화한다.)

기본 속성

위의 공리 중 일부의 이중성은 속성으로 다음과 같다.^[3]

• ${\displaystyle \jla _{j}(x\put y)=(\jla _{j}\;x)\properties(\putla _{j}\;y)}$
• ${\displaystyle \cHB\{j}\;x\note \nog \nog \{j}\;x=0}$

추가: $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle j{}_{}\mathrm{}}$ 0${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \nabla$ $_$${j}\;0=0$$}$ 및 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ j ${\displaystyle 1}$= 1 ${\displaystyle \{j}\;1=1$^[3] 즉, 단일 "모달" 작업${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$∇ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은 격자 내형이다.^[6]

예

LM₂ 알헤브라는 부울 알헤브라스다.The canonical Łukasiewicz algebra ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}}$ that Moisil had in mind were over the set L_n = { 0, 1/(n − 1), 2/(n − 1), ..., (n-2)/(n-1), 1 } with negation ${\displaystyle \neg x=1-x}$ conjunction ${\displaystyle x\wedge y=\min\{x,y\}}$ and disjunction ${\displaystyle x}$${\displaystyle \vee y}$= ${\displaystyle max}${${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle x\vee y=\max\{x,y\}}$ 및 단일$$ "modal" 연산자:

${\displaystyle \eftla _{j}\왼쪽 사진\frac {i}{n-1}\오른쪽)=\;{\begin}0&{\mbox{{}i+j<n\\\1&{\mbox{{{}i+j\geq n\\\\case}}\quad i\in \{0\}\cup j,\j\in.}$

If B is a Boolean algebra, then the algebra over the set B^[2] ≝ {(x, y) ∈ B×B x ≤ y} with the lattice operations defined pointwise and with ¬(x, y) ≝ (¬y, ¬x), and with the unary "modal" operators ∇₂(x, y) ≝ (y, y) and ∇₁(x, y) = ¬∇₂¬(x, y) = (x, x) [derived by axiom 4] is a three-valued Łukasiewicz algebra.^[7]

표현

Moisil은 ${\displaystyle {모든}_{}}$_n LM 대수학을 표준 $L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ n ${\$ 대수학의$$ 직접 제품(복사본)에 삽입할 수 있음을 증명했다.산호로서 모든 LM_n 대수학은 L ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 하위골격의 하위골격이다$.$^[3]

Heyting 시사점은 다음과 같이 정의할 수 있다.^[6]

${\displaystyle x\\Rightarrow y\;{\overset {\mathrm {def}{=}\;y\ve \bigwedge _{j\j}(\neg \nabla _{j}\x)\ve(\nabla _{j}\;y)}$

안토니오 몬티로는 모든 모나치 부울 대수에 대해 (특정 등가 수업을 들음으로써) 3가치의 우카시오비츠 대수를 구성할 수 있으며, 3가치의 우카시오비츠 대수는 이형이며, 따라서 모나치 부울 대수에서 파생된다.^[7][8]시놀리는 이 결과의 중요성을 다음과 같이 요약한다: "할모스에 의해 모나치 부울 알헤브라가 고전적인 제1차 순서 모나치 미적분의 대수적 상대라는 것을 보여 주었기 때문에 몬테이로에서는 모나치 부울 알헤브라를 모나치 부울 알헤브라로 3가치로 나타낸 것이 우카시비츠 티레스의 일관성을 증명해 주는 증거라고 보았다.고전적 논리에 상대적인 e-값 논리."^[7]

참조

추가 읽기

• Raymond Balbes; Philip Dwinger (1975). Distributive lattices. University of Missouri Press. Chapter IX. De Morgan Algebras and Lukasiewicz Algebras. ISBN 978-0-8262-0163-8.
• 보이스쿠, 브이, 필리핀, A, 조르주스쿠, G, 루데르나누, S.: 우카시예비치-모이실 알헤브라스.노스홀랜드, 암스테르담(1991) ISBN 0080867898
• 이오르줄스쿠, A:MV-알제브라와_n n-값 우카시오비츠 사이의 연결모이실 알헤브라스—II. 이산수학. 202, 113–134(1999) 도이:10.1016/S0012-365X(98)00289-1
• 이오르줄스쿠, A:MV-알제브라와_n n-값 Uwkasiewicz-Moisil 간의 연결 -III. 미발표 원고
• 이오르줄스쿠, A:MV-알제브라와_n n-값 우카시오비츠 사이의 연결모이실 알헤브라스—IV. J. 우주.계산하다.Sci. 6, 139–154(2000) doi:10.3217/jucs-006-01-0139
• R. 시뇰리, 알제브라스 드 모이실 드 오르덴 박사.논문, Universidad National del Sur, Bahia Blanca, 1969
• http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ndjfl/1093635424