하이퍼그래프에서 일치

그래프 이론에서, 하이퍼그래프에서의 일치는 각각의 두 개의 혼합물이 분리되는 혼합물의 집합이다.그래프로 일치한다는 개념의 연장선이다.^[1]^{: 466–470}^[2]

정의

하이퍼그래프 H는 쌍(V, E)이며, 여기서 V는 정점의 집합이고 E는 축약이라고 하는 V의 하위 집합임을 상기하라.각 혼합물은 하나 이상의 정점을 포함할 수 있다.

H에서의 일치는 E의 부분 집합 M으로, M에서 두 개의 축성 e와₁ e마다₂ 빈 교차점이 있다(공통적으로 꼭지점이 없다).

하이퍼그래프 H의 일치번호는 H의 일치번호의 가장 큰 사이즈다. $\nu (H)$ ( $\nu (H)$ ) $\nu (H)$ 로 표기되는 경우가 많다 $\nu (H)$ ^[1]^{: 466}

예를 들어 V를 {1,2,3,4,5,6,7} 집합으로 두십시오. V에 대한 3-통일 하이퍼그래프(각 hyperdography가 정확히 3개의 꼭지점을 포함하는 하이퍼그래프)를 고려하십시오.H는 4개의 성질을 가진 3-제복형 하이퍼그래프가 되게 하라.

{ {1,2,3}, {1,4,5}, {4,5,6}, {2,3,6} }

그 후 H는 다음과 같은 크기 2의 몇 가지 일치를 인정한다.

{ {1,2,3}, {4,5,6} }

{ {1,4,5}, {2,3,6} }

단, 3개 성형의 어떤 부분집합에서는 적어도 두 개가 교차하므로 3의 크기와 일치하는 것은 없다.따라서 H의 매칭번호는 2이다.

교차 하이퍼그래프

하이퍼그래프 H = (V, E)는 E의 두 개 성화마다 정점이 공통적으로 있으면 교차라고 한다.하이퍼그래프 H가 두 개 이상의 ges $\nu (H)=1$ ) = 1 {\displaystyle $\nu(H)=1$ }, if-and-only, if-and-only, if-and-only, if $\nu (H)=1$ ^[4] = $\nu (H)=1$ ${\displaysty$ \nu(H)=1 $}.$

그래프에서 특수 케이스로 일치

자가 루프가 없는 그래프는 단지 2개의 균일한 하이퍼그래프일 뿐이다. 각 가장자리는 그것이 연결하는 두 개의 꼭지점 집합으로 간주될 수 있다.예를 들어, 이 2-통일 하이퍼그래프는 4개의 꼭지점 {1,2,3,4}과 3개의 가장자리가 있는 그래프를 나타낸다.

{ {1,3}, {1,4}, {2,4} }

위의 정의에 따르면, 그래프에서의 일치는 M의 각 두 가장자리가 빈 교차점을 가질 수 있도록 에지의 M 설정이다.이것은 M의 어떤 두 가장자리도 동일한 꼭지점에 인접해 있지 않다고 말하는 것과 같다; 이것은 정확히 그래프에서 일치하는 것의 정의다.

분수 일치

하이퍼그래프의 분수 일치란 각 성화에 [0,1]의 분수를 할당하는 함수로서, V의 모든 정점 V에 대해 v를 포함하는 성화성의 분율 합계가 최대 1이 되도록 한다.일치는 모든 분수가 0 또는 1인 분수 일치의 특별한 경우다.분수 일치의 크기는 모든 혼합물의 분수의 합이다.

하이퍼그래프 H의 분수 일치 번호는 H에서 분수 일치의 가장 큰 크기 입니다. $){\displaystyle \nu ^{*}(H)}$ 에 의해 자주 표시된다 $\nu ^{*}(H)$ ^[3]

매칭은 소수 일치의 특별한 경우이므로, 모든 하이퍼그래프 H:

일치 번호(H) ≤ 분수-매칭 번호(H);

기호:

$\displaystyle \nu (H)\leq \nu ^{*}(H).}$

일반적으로 분수 일치 번호는 일치 번호보다 클 수 있다.Zoltan Füredi의^[4] 정리는 비율의 fractal-matching-number(H) / matching-number(H):

If each hyperedge in H contains at most r vertices, then $\nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq r-1+1/r$ . In particular, in a simple graph, $\nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq 3/2$ .^[5]
- 불평등은 날카롭다: H를_r r-통일 유한 투영 평면이 되게 하라.Then $\nu (H_{r})=1$ since every two hyperedges intersect, and $\nu ^{*}(H_{r})=r-1+1/r$ by the fractional matching that assigns a weight of 1/r to each hyperedge (it is a matching since each vertex is contained in r hyperedges, and its size is r-r-r+1의 증류제가 있으므로² 1+1/r).따라서 그 비율은 정확히 r-1+1/r이다.
r이 r 통일된 유한 투영 평면이 존재하지 않는 경우(예: r=7) 더 강한 불평등은 다음과 같이 유지된다: $\nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq r-1$ ( $\nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq r-1$ ) $\nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq r-1$ / $\nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq r-1$ ( $\nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq r-1$ ) / $\nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq r-1$ $\nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq r-1$ - $\nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq r-1$ 1 ${\displaystyle \nu ^{*}(H)/\nu (H)\leq r-1$
만약 H는r-partite(-vertices r부분으로 나눠졌고 각 hyperedge 각 부분에서 꼭지점이 분할된다.),(H)/ν(H)≤ r1.{\displaystyle\nu ^{*}(H)/\nu(H)\leq r-1 −.}특히 2부로 구성된 그래프에서, ν ∗(H))ν(H){\displaystyle\nu ^{*}(H)=\nu(H)}. 이 András Gyárfás에 의해 증명되었다 ∗ ν.[4]
- 불평등은 날카롭다: H를_r- 순서 r-1의 잘린 투영면이 되게 하라.Then $\nu (H_{r-})=1$ since every two hyperedges intersect, and $\nu ^{*}(H_{r-})=r-1$ by the fractional matching that assigns a weight of 1/r to each hyperedge (there are r²-r hyperedges).

퍼펙트 매칭

일치하는 M은 V의 모든 꼭지점 V가 정확히 하나의 M의 축약에 포함되어 있으면 완벽이라고 불린다.이것은 그래프에서 완벽하게 일치한다는 개념의 자연스러운 연장이다.

V의 모든 꼭지점 V에 대해 V를 포함하는 M의 혼합물 분율 합계가 정확히 1이면 분율 일치 M을 완전하다고 한다.

각 혼합물이 최대 정점을 포함하는 하이퍼그래프 H를 고려하십시오.H가 완벽한 부분 일치를 허용한다면, 부분 일치는 최소한 V/n이다.H의 각 축성지가 정확히 n 정점을 포함하는 경우, 그것의 분수 일치 번호는 정확히 V /n이다.^[6]^{: sec.2} 이것은 그래프에서 완벽한 매칭의 크기가 V /2라는 사실을 일반화한 것이다.

정점 V가 설정되면, 하이퍼그래프(V,E)가 완벽한 부분 일치를 허용하면 V 하위 집합의 집합 E를 균형이라고 부른다.

예를 들어 V = {1,2,3,a,b,c}, E = {1,a}, {2,a}, {1,b}, {2,b}, {2,b}, {3,c}}}, E는 균형이 잡혔으며, { 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1}의 완벽한 부분 일치가 된다.

하이퍼그래프에는 완벽한 일치가 존재하기 위한 다양한 조건이 있다.

하이퍼그래프를 위한 홀형 정리 - 이웃들의 집합에 기초하여 홀의 결혼 정리와 유사한 충분한 조건을 제시한다.
고도의 하이퍼그래프에서의 완벽한 매칭 - 정점 정도에 근거하여 해밀턴 사이클에 대한 디락의 정리와 유사한 충분한 조건을 제시한다.
키바시와 마이크로프트는 하이퍼그래프 매칭을 위한 기하학적 이론을 개발했다.^[7]

균형 세트 패밀리

하이퍼그래프 H = (V, E)가 완벽한 부분 일치를 허용하는 경우, 지면 세트 V 위에 있는 세트 패밀리 E를 균형(V에 대하여)이라고 한다.^[6]^{: sec.2}

예를 들어 정점 집합 V = {1,2,3,a,b,c} 및 에지 집합 E = {1-a, 2-a, 1-b, 2-b, 3-c}을(를) 고려하십시오.무게 {1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1}과(와) 완벽한 부분 일치가 있기 때문에 E는 균형을 이룬다.

최대 일치 항목 계산

하이퍼그래프에서 최대 카디널리티 일치를 찾아 $\nu (H)$ ( $\nu (H)$ $){\displaystyle \nu (H$ 를 계산하는 문제는 3-통일 하이퍼그래프에서도 NP-hard이다(3차원 일치 참조).이는 다항식 시간에 최대 카디널리티 일치를 계산할 수 있는 단순(2-통일) 그래프의 경우와 대조적이다.

매칭 및 커버링

하이퍼그래프 H = (V, E)의 꼭지점 커버는 V의 부분집합 T로 E의 모든 성화에는 최소한 하나의 꼭지점이 포함되어 있다(횡단 또는 타격 세트라고도 하며 세트 커버와 동등하다).그것은 그래프에서 꼭지점 표지의 개념을 일반화한 것이다.

하이퍼그래프 H의 정점 커버 번호는 H에서 정점 커버의 가장 작은 크기 입니다. $\tau (H)$ ( $\tau (H)$ ) ${\displaystyle \tau (H$ ^[1]^{: 466}에 의해 횡단적으로 표기되는 경우가 많다.

분수 정점 커버는 V의 각 정점에 중량을 할당하는 함수로서, E의 모든 축성 e에 대해 e의 정점 분수의 합이 적어도 1이 되도록 한다.꼭지점 커버는 모든 중량이 0 또는 1인 분수 꼭지 커버의 특별한 경우다.분수 정점 커버의 크기는 모든 정점의 분수 합이다.

하이퍼그래프 H의 분수 정점 커버 번호는 H 단위의 분수 정점 커버 중에서 가장 작은 크기다. $\tau ^{*}(H)$ $\tau ^{*}(H)$ ( $\tau ^{*}(H)$ $){\displaystyle \tau ^{*}(H)}$ 로 표시된다 $\tau ^{*}(H)$

정점 커버는 분수 정점 커버의 특별한 경우이므로 모든 하이퍼그래프 H:

분수-베르텍스-커버-번호(H) ≤ 꼭지점-커버-번호(H).

선형 프로그래밍 이중성은 모든 하이퍼그래프 H:

분수-매칭-숫자(H) = 분수-베르텍스-커버-숫자(H).

따라서 모든 하이퍼그래프 H:^[4]

$\displaystyle \nu (H)\leq \nu ^{*(H)=\tau ^{*(H)\leq \tau(H)}$

H에서 각 성화의 크기가 최대 r이면 최대 일치에 있는 모든 성화의 조합은 꼭지점 커버(발견되지 않은 성화가 있었다면 성화에 추가할 수 있었을 것이다)이다.따라서 다음과 같다.

$\tau (H)\leq r\cdot \nu (H)$ ( $\tau (H)\leq r\cdot \nu (H)$ ) $\tau (H)\leq r\cdot \nu (H)$ $\tau (H)\leq r\cdot \nu (H)$ ⋅ $\tau (H)\leq r\cdot \nu (H)$ ( H $\tau (H)\leq r\cdot \nu (H)$ ) ${\displaystyle \tau (H)\leq r\cdot \nu (H$

이 불평등은 엄격하다. 예를 들어, V가 r $r\cdot \nu (H)+r-1$ ( H $r\cdot \nu (H)+r-1$ ) $r\cdot \nu (H)+r-1$ + $r\cdot \nu (H)+r-1$ - $r\cdot \nu (H)+r-1$ 을 포함하는 경우 $,$ $V$ 가 r $⋅$ ( $)$ + r - $1$ 을 $r\cdot \nu (H)+r-1$ 포함하며, E는 $r\cdot \nu (H)+r-1$ r 정점의 모든 하위 집합을 포함하는 경우.

However, in general $\tau ^{*}(H)<r\cdot \nu (H)$ , since $\nu ^{*}(H)<r\cdot \nu (H)$ ; see Fractional matching above.

Ryser의 추측은 모든 r-partite r-uniform hypergraph에서 다음과 같이 말한다.

$\tau (H)\leq (r-1)\nu (H)$ ( $\tau (H)\leq (r-1)\nu (H)$ ) $\tau (H)\leq (r-1)\nu (H)$ ( $\tau (H)\leq (r-1)\nu (H)$ - 1 $\tau (H)\leq (r-1)\nu (H)$ ) $\tau (H)\leq (r-1)\nu (H)$ ( $\tau (H)\leq (r-1)\nu (H)$ ) $\tau (H)\leq (r-1)\nu (H)$ \ $displaystyle \tau (H)\leq (r-1)\nu (H$

몇몇 특별한 추측이 증명되었다; 라이저의 추측을 보라.

키닉의 재산

하이퍼그래프는 최대 일치 번호가 최소 정점 커버 번호와 같으면 K ifnig 속성을 가지며, 즉, $\nu (H)=\tau (H)$ ( $\nu (H)=\tau (H)$ H $\nu (H)=\tau (H)$ ) = $\nu (H)=\tau (H)$ ( $\nu (H)=\tau (H)$ ) $\nu (H)=\tau (H)$ {\ $displaystyle \nu (H)=\tau (H)}$ 인 경우 $\nu (H)=\tau (H)$ Kőnig-Egervarry 정리를 보면 모든 초당적 그래프는 Kőnig 속성을 가지고 있다는 것을 알 수 있다.이 정리를 하이퍼그래프로 확장하기 위해서는 초당적인 개념을 하이퍼그래프로 확장시킬 필요가 있다.^[1]^{: 468}

자연 일반화는 다음과 같다.하이퍼그래프는 정점이 2색일 수 있기 때문에 (최소한 크기 2)의 모든 성화체가 각 색의 정점을 최소한 하나 이상 포함할 수 있다면 2색이라고 불린다.대체 용어는 속성 B이다.간단한 그래프는 2가지 색상이 가능하다면 초당적인 것이다.그러나, Kőnig의 속성이 없는 2색 하이퍼그래프가 있다.예를 들어 V = {1,2,3,4}, E = 모든 트리플릿 = {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {1,3,4}, {2,4}, {2,4}, {2,4}.}. 예를 들어 {1,2}, {3,4}의 색상을 지정할 수 있다.그러나 일치하는 숫자는 1이고 꼭지점 커버 번호는 2이다.

보다 강력한 일반화는 다음과 같다.하이퍼그래프 H = (V, E)와 V의 서브셋 V'가 주어질 때, H to V'의 제한은 정점이 V인 하이퍼그래프이며, V'와 교차하는 E의 e의 모든 hyperdoge e'에 대해 e와 V'의 교차점인 hydogge e'가 있다.하이퍼그래프는 모든 제한이 2색이면 균형이라고 불린다.^[8]단순 그래프는 균형을 이루면 초당적이다.

단순 그래프는 홀수 길이 주기가 없는 경우 초당적인 것이다.마찬가지로, 하이퍼그래프는 홀수 길이의 회로가 없는 경우 균형을 이룬다.하이퍼그래프에서 길이 k의 회로는 교대 순서(v₁, e₁, v₂, v, e₂, ..., v_k, e, v_k_k₊₁=v₁)로, 여기서_i v는 별개의 정점이고 e는_i 구별되는 변종이며, 각 변종에는 그 왼쪽의 정점, 오른쪽의 정점이 있다.각 축성지가 회로에 다른 정점을 포함하지 않을 경우 이 회로를 불균형이라고 한다.Claude Berge는 불균형한 홀수 길이 회로를 포함하지 않으면 하이퍼그래프가 균형을 이룬다는 것을 증명했다.모든 균형이 잡힌 하이퍼그래프는 Kőnig의 재산을 가지고 있다.^[9]^[1]^{: 468–470}

다음은 이에 해당한다.^[1]^{: 470–471}

H의 모든 부분적 하이퍼그래프(즉, 일부 성질을 삭제하여 H에서 파생된 하이퍼그래프)에는 Kőnig 속성이 있다.
H의 모든 부분적 하이퍼그래프는 그것의 최대 정도가 그것의 최소 가장자리 색채 번호와 같다는 특성을 가지고 있다.
H는 헬리 속성을 가지고 있으며, H의 교차 그래프(정점들이 E이고 그들이 교차한다면 E의 두 원소가 연결되는 단순 그래프)는 완벽한 그래프다.

매칭 및 패킹

세트 패킹 문제는 하이퍼그래프 매칭과 맞먹는다.

(단순) 그래프의 정점 포장은 P의 정점 두 개가 인접하지 않도록 정점의 부분 집합 P이다.

그래프에서 최대 정점 패킹을 찾는 문제는 하이퍼그래프에서 최대 일치 항목을 찾는 문제와 동일하다.^[1]^{: 467}

하이퍼그래프 H = (V , E)가 주어진 경우, 교차로 그래프 Int(H)를 정점이 E이고 가장자리가 쌍(e₁,e₂)인 단순 그래프로 정의하여₁ e, e,e가₂ 공통 정점을 갖도록 한다.그러면 H의 모든 일치는 Int(H)의 정점 포장이며 그 반대의 경우도 마찬가지다.
그래프 G = (V', E')를 주어진 경우, 항성 하이퍼그래프 St(G)를 정점이 E'인 하이퍼그래프로 정의하고, 그 정점이 G'의 정점 별(즉, V'의 각 정점 v'에 대해, 'E'의 모든 가장자리를 포함하는 성질이 성(G)'에 있다.그러면 G의 모든 꼭지점 포장은 성(G)과 그 반대로 일치한다.
또는 그래프 G = (V', E')를 주어, 그것의 clique hypergraph Cl(G)을 G의 cliques인 하이퍼그래프로 정의하고, V'의 각 꼭지점 v'에 대해, Cl(G)에는 v'를 포함하는 모든 clique가 있다.한편 G의 모든 꼭지점 포장은 Cl(G)에서 일치하며 그 반대의 경우도 마찬가지다.다항식 시간에 G로부터 Cl(G)을 구성할 수 없으므로 NP 경도 증명에 대한 축소로 사용할 수 없다는 점에 유의한다.그러나 그것은 약간의 이론적 용도를 가지고 있다.

참고 항목

3차원 매칭 – 3차원 하이퍼그래프에 매칭되는 특별한 경우.
하이퍼그래프의 꼭지점 커버
초당적 하이퍼그래프
하이퍼그래프에서 무지개 매칭
D-간격 하이퍼그래프 - 일치와 피복 번호 사이에 어느 정도 관계가 있는 무한 하이퍼그래프.

참조

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[2] Berge, Claude (1973). Graphs and Hypergraphs. Amsterdam: North-Holland.

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[:0-6] Nyman, Kathryn; Su, Francis Edward; Zerbib, Shira (2020-01-02). "Fair division with multiple pieces". Discrete Applied Mathematics. 283: 115–122. arXiv:1710.09477. doi:10.1016/j.dam.2019.12.018. ISSN 0166-218X. S2CID 119602376.

[7] Keevash, Peter; Mycroft, Richard (2015-01-01). A geometric theory for hypergraph matching. Memoirs of the American Mathematical Society. Vol. 233. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-0965-4.

[8] Berge, CLAUDE (1973-01-01), Srivastava, JAGDISH N. (ed.), "CHAPTER 2 – Balanced Hypergraphs and Some Applications to Graph Theory", A Survey of Combinatorial Theory, North-Holland, pp. 15–23, ISBN 978-0-7204-2262-7, retrieved 2020-06-19

[9] Berge, Claude; Vergnas, Michel LAS (1970). "Sur Un Theorems Du Type König Pour Hypergraphes". Annals of the New York Academy of Sciences. 175 (1): 32–40. doi:10.1111/j.1749-6632.1970.tb56451.x. ISSN 1749-6632.

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