음악(알고리즘)

MUSIC(MULTiple SIgnal Classification, MULTiple SIgnal Classification)은 주파수 추계와^[1] 무선 방향 파악에 사용되는 알고리즘이다.^[2]

역사

많은 실제 신호 처리 문제에서 목적은 수신된 신호가 의존하는 상수 매개변수 집합을 측정하여 추정하는 것이다.이러한 문제에는 카폰(1969년)의 이른바 최대우도(ML) 방식과 버그의 최대 엔트로피(ME) 방식 등 여러 가지 접근법이 있었다.이러한 방법은 종종 성공적이고 널리 사용되지만, 주로 측정의 잘못된 모델(예: 특수 ARMA보다는 AR)을 사용하기 때문에 어떤 근본적인 한계(특히 모수 추정치의 치우침과 민감도)가 있다.

피사렌코(1973)는 공분산 접근법을 사용하여 가법 노이즈에서 복잡한 정현악의 매개변수 추정의 맥락에서 그렇게 함으로써 데이터 모델의 구조를 가장 먼저 착취한 사람 중 한 명이었다.슈미트(1977년)는 노스럽 그루먼과 독립적으로 비엔벤누와 코프(1979년)에서 근무하면서 임의 형태의 센서 어레이의 경우 가장 먼저 측정 모델을 올바르게 이용했다.특히 슈미트는 소음이 없는 상태에서 먼저 완전한 기하학적 해답을 도출한 다음, 노이즈가 있는 곳에서 합리적인 근사 해답을 얻기 위해 교묘하게 기하학적 개념을 확장함으로써 이를 달성했다.결과 알고리즘은 MUSIC(MULTiple SIgnal Classification)이라고 불리며 널리 연구되어 왔다.

수천 개의 시뮬레이션을 바탕으로 한 세부적인 평가에서, 메사추세츠 공과대학의 링컨 연구소는 1998년에, 현재 받아들여지고 있는 고해상도 알고리즘 중에서 MUSIC이 가장 유망하고 향후의 연구와 실제 하드웨어 구현을 위한 선도적인 후보라고 결론지었다.^[3]단, MUSIC의 성능 이점은 상당하지만, 연산(파라미터 공간 검색)과 저장(배열 보정 데이터의 저장)에 있어 비용이 많이 든다.^[4]

이론

MUSIC 메서드는 선형 모델에서 주어진 $바$와 같이 신호 $벡터$인 x ${\$ $\}$이(가) $주파수{\displaystyle }$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$omega$ $\}$을(를) 알 수 없는 p ${\$ $\$$mathbf {n}$ 복합$$ 지수들로 구성된다고 가정한다.

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {s} +\mathbf {n} .}$

Here ${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\omega _{1}),\cdots ,\mathbf {a} (\omega _{p})]}$ is an ${\displaystyle M\times p}$ Vandermonde matrix of steering vectors ${\displaystyle \mathbf {a} (\om$$ega )=[1,e^{j\omega },e^{j2\omega },\ldots,e^{j(M-1)\omega }]^$${T}$ 및$$ $s{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\$${T}$은(는) 진폭 벡터다.결정적인 가정은 $소스{\displaystyle }$ 수$$p {\$displaystyle p}$이$($가) 측정 벡터의 요소 $수인{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M$ 즉 < M ${\displaystyle$p$<M})$보다 작다는 것이다

$그런{\displaystyle \mathbf{}}$ 다음 x ${\$$displaystyle M\times M}$ 자기 상관$$ 행렬의 M ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ ${\$$displaystyle \mathbf {x}이($가) 제공됨$$

${\displaystyle \mathbf {R} _{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{H}+\sigma ^{2}\mathbf {I},}$

where ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ is the noise variance, ${\displaystyle \mathbf {I} }$ is ${\displaystyle M\times M}$ identity matrix, and ${\displaystyle \mathbf {R} _{s}}$ is the ${\displaystyle p\times p}$ autocorrelation matrix of ${\displaystyle \mathbf {s} }$.

자기 상관 행렬 $R{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 전통적으로 표본 상관 행렬을 사용하여 추정한다$$.

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {R}}}}}}}}{{x}={\frac {1}{N}\mathbf {X} \mathbf {X} \mathbf {X} ^{H}}}}}}}$

어디 N>M{\displaystyle N&gt을 말한다.벡터 관찰과 X의 M}은 수)[x1x2,…,)N]{\displaystyle \mathbf{X}=[\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}{x},\mathbf ,\ldots_{N}]}. R){\displaystyle \mathbf{R}_{)}의 견적}을 감안할 때 MUSIC은 sig의 주파수 성분으로 추산하고 있다.eigenspace 방법을 사용한 nal 또는 자기 상관 행렬.

Since ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$ is a Hermitian matrix, all of its ${\displaystyle M}$ eigenvectors ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{M}\}}$ are orthogonal to each other.If the eigenvalues of ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$ are sorted in decreasing order, the eigenvectors ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{p}\}}$ corresponding to the ${\displaystyle p}$ largest eigenvalues (i.e. directions of largest variability) span the signal subspace ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$. The remaining ${\displaystyle M-p}$ eigenvectors correspond to eigenvalue equal to ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ and span the noise subspace ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$, which is orthogonal to the signal subspace, ${\displaystyle {\mathcal{U}}_S\perp {}_{}}$${\displaystyle {\mathcal{U}}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$

$M{\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M=p+1}$의 경우$$MUSIC은 피사렌코 고조파 분해와 동일하다는 점에 유의하십시오.MUSIC 메소드의 일반적인 아이디어는 피사렌코 추정기의 성능을 향상시키기 위해 소음 하위 공간에 걸쳐 있는 모든 고유 벡터를 사용하는 것이다.

Since any signal vector ${\displaystyle \mathbf {e} }$ that resides in the signal subspace ${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$ must be orthogonal to the noise subspace, ${\displaystyle \mathbf {e} \perp {\mathcal {U}}_{N}}$, it must be that ${\displaysty$\$mathbf$ {$e} \perp \mathbf {v} _{i}}$ 모든 고유$$ 벡터${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_i^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$i}}}}}}}}^{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}노이즈 하위 공간에 걸쳐 $있는$ M$}.$모든 $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ U ${\displaystyle N_{}}$ ${\$ $\mathbf {e}}$에 대해 e {\displaystyle $\mathbf {v} _{i}\in {\mathcal {U}_{N}}}}$의 직교 정도를 측정하기 위해 MUSICE 알고리즘은 제곱 규범을 정의한다$.$

${\displaystyle d^{2}=\ \mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} \ ^{2}=\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} =\sum _{i=p+1}^{M} \mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i} ^{2}}$

where the matrix ${\displaystyle \mathbf {U} _{N}=[\mathbf {v} _{p+1},\ldots ,\mathbf {v} _{M}]}$ is the matrix of eigenvectors that span the noise subspace ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$. If ${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$, then${\displaystyle d^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ d$^{2}=0}($정형성 조건의 암시)제곱된 정규식의 역수를 취하면 신호 주파수에서 날카로운 피크가 생성된다.MUSIC(또는 의사-스펙트럼)의 주파수 추정 함수는

${\displaystyle {\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega })={\frac {1}{\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} }}={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M} \mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i} ^{2}}},}$

${\displaystyle {}_{}}$서 v i ${\$은(는) 노이즈 고유 벡터 및

${\displaystyle \mathbf {e} ={\begin{bmatrix}1&e^{j\omega }&e^{j2\omega }&\cdots &e-j(M-1)\nd{bmatrix}^{bmatrix}}^{{ndmatrix}}}}}}}}^{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^T}$

후보 조향 벡터.추정 함수의 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 가장$$ 큰 피크의 $위치$는 p$${\$displaystyle p$} 신호$$ 성분에 대한 주파수 추정치를 제공한다.

${\displaystyle {\hat {\omega }=\arg \max _{\omega }\;{\hat {P}_{MU}(e^{j\omega }).}$

MUSIC은 피사렌코의 방법을 일반화한 것으로$,$ $M{\displaystyle }$= p${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M=p+1}$일 때 피사렌코의 방법으로 줄어든다.피사렌코의 방법에서는 하나의 고유 벡터만 주파수 추정 함수의 분모를 형성하는데 사용되며, 고유벡터는 0을 분석적으로 찾을 수 있거나 다항식 루트 찾기 알고리즘으로 찾을 수 있는 자기 회귀 계수의 집합으로 해석된다.이와는 대조적으로 MUSIC은 그러한 기능 몇 개가 함께 추가되었다고 가정하므로 0이 존재하지 않을 수도 있다.대신 정점에 대한 추정 함수를 계산적으로 검색하여 찾을 수 있는 국소 미니마가 있다.

다른 방법과의 비교

MUSIC은 최종 보고서의 노이즈를 무시하기 위해 이 숫자의 지식을 활용하기 때문에 소음이 있는 상태에서 DFT 스펙트럼의 피크를 선택하는 것과 같은 간단한 방법을 능가한다.

DFT와 달리 DFT 빈뿐만 아니라 어떤 빈도에서도 추정 기능을 평가할 수 있기 때문에 한 표본보다 높은 정확도로 주파수를 추정할 수 있다.이것은 초해상도의 한 형태다.

부품 개수를 미리 알려야 하기 때문에 더 일반적인 경우 원법을 사용할 수 없다는 게 주된 단점이다.자기 상관 행렬의 통계적 속성에서 순수하게 소스 성분의 수를 추정하는 방법이 존재한다.봐, 예를 들어.^[5] 또한, MUSIC은 공존하는 원천이 상관관계가 없다고 가정하고 있어 실용성을 제한한다.

최근의 반복적 반모수 방법은 높은 상관관계가 있는 출처에도 불구하고 강력한 슈퍼 해상도를 제공한다(예^[6][7]: SAMV

기타 응용 프로그램

Time-Reversal MUSIC(TR-MUSIC)으로 표기된 MUSIC의 수정된 버전이 최근 컴퓨터 타임-역행 영상에 적용되고 있다.^[8][9]MUSIC 알고리즘은 또한 C 라이브러리 - libmusic의 형태로 DTMF 주파수(듀얼 톤 다중 주파수 신호)의 빠른 감지를 위해 구현되었다.^[10]

참고 항목

• 스펙트럼 밀도 추정
• 치주문자
• 일치 필터
• 웰치의 방법
• 바틀렛의 방법
• SAMV(알고리즘)
• 무선 방향 찾기
• 피치 검출 알고리즘
• 고해상도 현미경

참조

추가 읽기

• 케임브리지 대학 출판부 2001의 퀸과 한난의 빈도 추정과 추적.