로그 의미 부여

수학에서, 열대 분석 분야에서, 로그 의미 부여는 로그 척도의 의미 부여 구조로, 확장된 실수를 로그로 간주하여 얻은 것이다.즉, 덧셈과 곱셈의 연산은 조합에 의해 정의된다: 실수를 지수화하여 양수(또는 0)를 얻고, 실수에 대한 일반적인 대수 연산을 더하거나 곱한 다음, 초기 지수를 역전시키기 위해 로그인을 취한다.이러한 작업은 로그 추가 등으로도 알려져 있다.열대해석에서는 평상시와 같이 ⊕과 ⊗으로 운용을 표시하여 통상적인 덧셈 +와 곱셈 × (또는 ⋅)와 구별한다.만약 자격이 없1.[를]의 기본 기존의 이러한 작전 기지 b의 눈금 계수에 해당하는 지수와 로그(로그 단위의 b은 선택)의 선택에, 어떤 긍정적인 기지 1이외에 명확한 하고 있다고 하는데, 기지 b를 사용하여 1과 역 1/b 대리자를 사용하여 마이너스 기호를 사용하는 것과 같고, 의존한다.lye $또는$ $1$ / $e$ 이며, 이는 $e$ 와 음수가 일치한다.

로그 세미닝은 기반이 $b\to \infty$ b → $b\to \infty$ ${\displaystyle b\to \infit }($ 최대 플러스 세미닝) 또는 $b\to 0$ $b\to 0$ → 0 $[\displaystyle b\to$ 0 $}($ 최소 플러스 세미닝)으로 진행됨에 따라 열대 세미닝의 변형("정량화")으로 볼 수 있다.특히, 추가 작업인 Logadd(복수의 경우 LogSumExp)는 최대 또는 최소의 변형으로 볼 수 있다.로그 세밀링은 부드러운 연산에 의해 부드럽지 않은 최대값과 최소값을 대체하기 때문에 수학적 최적화에 응용할 수 있다.또한 데시벨(Decibel § Addition), 로그 확률 또는 로그 우도와 같은 로그(로그 눈금으로 측정)인 숫자로 작업할 때도 로그 의미 부여가 발생한다.

정의

로그 의미 부여에 대한 연산은 음수가 아닌 실제 숫자에 매핑하고, 거기서 연산을 한 다음, 다시 매핑하여 외삽적으로 정의할 수 있다.덧셈과 곱셈의 통상적인 연산을 가진 비 음수 실수는 확률 연산으로 알려진 반향(부정이 없음)을 형성하므로, 로그 연산은 확률 연산에 대한 연산의 풀백으로 볼 수 있으며, 이것들은 링과 같은 이형이다.

공식적으로, $연장$ 된 실수 R ∪ ${-\infty, +\infty}$ ^[b] 및 $base$ b $1$ 1을 고려할 때, 다음과 같이 정의한다.

{\begin{aligned}x\oplus _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}+b^{y}\right)\\x\otimes _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}\times b^{y}\right)=\log _{b}\left(b^{x+y}\right)=x+y.\end{정렬}}

로그 곱셈은 로그에서 곱셈을 더하기 때문에 b = $x\otimes _{b}y=x+y$ x $x\otimes _{b}y=x+y$ + $x\otimes _{b}y=x+y$ ${\displaystyle x\otimes _{b}y=x+y$ 그러나 로그 추가는 base에 따라 달라진다.평소 덧셈과 곱셈에 대한 단위는 0과 1;거기에 따라 단위에 대한 로그 증축 log b⁡ 0− ∞{\displaystyle \log_{b}0=-\infty}에 b>1{\displaystyle b> 1}및 로그 b⁡ 0− 로그 1/b⁡ 0-+∞{\displaystyle \log_{b}0=-\log _{1/b}0=+\infty}에 b<1{\displaystyle.b< 1},로그 곱셈 단위는 base에 관계없이 $\log 1=0$ $\log 1=0$ $\log 1=0$ = 0 $\log 1=0$ 이다 $\log 1=0$

보다 간결하게, 단위 로그 의미 부여는 base $e$ 에 대해 다음과 같이 정의할 수 있다.

\displaystyle {\displaysty}x\oplus y&=\log \left(e^{x}+e^{y}\right)\x\otimes y&=x+y.\end{정렬}}}

가법 단위-제곱 및 승법 단위 0. 이것은 최대 규약에 해당한다.

반대되는 규약도 일반적이며, $기준$ 1/ $e$ 인 최소 규약에 해당한다.^[1]

\displaystyle {\justice}x\oplus y&=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)\\x\otimes _{b}y&=x+y.\end{정렬}}}

첨가제 단위 $+$ 제곱 및 승법 단위 0.

특성.

A log semiring is in fact a semifield, since all numbers other than the additive unit $-\infty$ (or $+\infty$ ) has a multiplicative inverse, given by $-x,$ since $x\otimes -x=\log _{b}(b^{x}\cdot b^{-x})=\log _{b}(1)=0.$ Thus log division ⊘ is잘 정의되어 있지만, 로그 빼기 ⊖이 항상 정의되어 있는 것은 아니다.

평균은 로그 추가 및 로그 분할(지수에 해당하는 준산술 평균으로)에 의해 정의될 수 있다.

M_{\mathrm {lm} }(x,y):=(x\oplus y)\oslash 2=\log _{b}{\bigl (}(b^{x}+b^{y})/2{\bigr )}=\log _{b}(b^{x}+b^{y})-\log _{b}2=(x\oplus y)-\log _{b}2.

로그 분할은 선형 감산에 해당하므로 $-\log _{b}2,$ 로그 b $-\log _{b}2,$ 2 $-\log _{b}2,$ , ${\displaystyle$ -\ $log _{b}2,}$ 에 의해 추가 이동됨을 참고하십시오 $-\log _{b}2,$

로그 세밀링에는 양의 실수에서 로그 척도에 해당하는 일반적인 유클리드 메트릭이 있다.

마찬가지로, 로그 연기는 통상적인 Lebesgue 측정을 가지고 있는데, 이는 확률 연기에 대한 로그 측정에 해당하는 로그 곱셈(상기적 추가, 기하학적 변환)에 관한 불변 측정이다.

참고 항목

메모들

^ $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ - $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ = $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ ( b $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ - $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ ) x $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ = $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ ( $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ / $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ ) $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ x ${\$ b $^{-x}=\왼쪽(b^{-1}\오른쪽)$ $^{x}=(1/b)^{x}}}$
^ $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ - $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ = = $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ + ( - $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ ) ${\displaystyle \infit \otimes$ -\infit =\ $infit +(--\infit )}$ 은(는) 모호하며 $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ , 실제 숫자로 0/0과 같이 정의되지 않은 채로 두는 것이 가장 좋다.

참조

^ 로트하이어 2005, 페이지 211.

Lothaire, M. (2005). Applied combinatorics on words. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 105. A collective work by Jean Berstel, Dominique Perrin, Maxime Crochemore, Eric Laporte, Mehryar Mohri, Nadia Pisanti, Marie-France Sagot, Gesine Reinert, Sophie Schbath, Michael Waterman, Philippe Jacquet, Wojciech Szpankowski, Dominique Poulalhon, Gilles Schaeffer, Roman Kolpakov, Gregory Koucherov, Jean-Paul Allouche and Valérie Berthé. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-84802-4. Zbl 1133.68067.

[1] $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ - $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ = $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ ( b $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ - $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ ) x $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ = $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ ( $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ / $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ ) $b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}$ x ${\$ b $^{-x}=\왼쪽(b^{-1}\오른쪽)$ $^{x}=(1/b)^{x}}}$

[2] $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ - $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ = = $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ + ( - $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ ) ${\displaystyle \infit \otimes$ -\infit =\ $infit +(--\infit )}$ 은(는) 모호하며 $\infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )$ , 실제 숫자로 0/0과 같이 정의되지 않은 채로 두는 것이 가장 좋다.

[FOOTNOTELothaire2005211-3] 로트하이어 2005, 페이지 211.

[b]

[1]

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