국부 평탄도

수학의 한 분야인 위상에서 국소 평탄도는 위상학적 하위매니폴드에 부과될 수 있는 부드러움 조건이다.위상학적 다지관 범주에서 국부적으로 평평한 하위 다지관 범주에서 임베디드 하위 다지관 범주와 유사한 역할을 한다.국부 평탄도의 위반은 재료 처리 및 기계 공학에 응용되는 능선망과 구겨진 구조물을 설명한다.

정의

d 치수 다지관 N이 n 치수 다지관 M(여기서 d < n))에 내장되어 있다고 가정한다.If ${\displaystyle x\in N,}$ we say N is locally flat at x if there is a neighborhood ${\displaystyle U\subset M}$ of x such that the topological pair ${\displaystyle (U,U\cap N)}$ is homeomorphic to the pair ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})}$, with the standard inclusion of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{n}}$. That is, there exists a homeomorphism ${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$ such that the image of ${\displaystyle U\cap N}$ coincides with ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. In diagrammatic 조건, 다음 사각형은 통근해야 한다.

N이 모든 점에서 로컬로 플랫인 경우 우리는 M으로 로컬로 N을 호출한다.마찬가지로 지도 $\chi {\displaystyle }$: ${\displaystyle N}$→ M ${\displaystyle \chi \colon$ N$\to M}$은(는) 임베딩이 아니더라도 N의 모든 x에 $\chi {\displaystyle (U}$) ${\displaystyle \chi(U)$가 M에 로컬로 플랫인$$ 근린 U가 있는 경우 로컬 플랫이라고 불린다$$.

경계가 있는 다지관 내

위의 정의는 M에 경계가 있는 경우 x가 M의 경계점이 아니라고 가정하고, x가 M의 경계에 있는 점이라면 다음과 같이 정의를 수정한다.We say that N is locally flat at a boundary point x of M if there is a neighborhood ${\displaystyle U\subset M}$ of x such that the topological pair ${\displaystyle (U,U\cap N)}$ is homeomorphic to the pair ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{n},\mathbb {R} ^{d})}$, where ${\displaystyle {\mathbb{R}}_{}^{}}$${\displaystyle {+}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) 표준 반공간이며, $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ d ${\$ ${\displaystyle {}^{}}$ $\mathb {R}^{d}}$은(는) 경계의 표준 하위공간으로 포함된다.

결과들

임베딩의 국부적 편평성은 모든 임베딩이 공유하지 않는 강한 속성을 의미한다.브라운(1962)은 만약 d = n - 1이면 N이 대조된다. 즉, N은 N × [0,1]과 N × 1/2(N이 M의 내부에 있는 경우) 또는 N × 0(N이 M의 경계에 있는 경우)에 해당하는 N 그 자체로 동형인 근방을 가지고 있다는 것을 증명했다.

참고 항목

• 유클리드 공간
• 깔끔한 서브매니폴드

참조

• 브라운, 모튼 (1962) 위상학적 다지관의 국소적으로 평평한 임베딩.수학 연보, 제2 시리즈, 제75권(1962), 페이지 331–341.
• 마저, 배리.구들을 박아넣고.미국수학협회의 회보, 제65권(1959), 제2, 페이지 59–65.http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034.