큰 체

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큰 체는 분석수 이론의 방법(또는 방법 및 관련 사상의 가족)이다. 셀버그 체처럼 체가 작은 체가 몇 개만 제거되는 것과 달리, 모든 체의 잔여 등급이 최대 절반까지 제거되는 체의 일종이다. 이 방법은 체가 더 커져서 임의로 많은 잔류층을 제거하게 된다.^[1]

이름

그것의 이름은 원래 어플리케이션에서 유래되었다$:$ S의 요소들이 A set_p Z${\displaystyle /}$p Z modulo 매 primary p에 놓여있는 것이 금지되도록$$ 세트 S$$⊂{$1,\ldots,N\}}$를 지정하면, S는 얼마나 클 수 있는가? 여기서 A는_p 적어도 일정한 시간 p만큼 큰 것으로 생각되며, 그렇지 않다면 작은 체를 말한다.

역사

큰 체의 초기 역사는 1941년 유. B. 린니크(Yu. B. Linnik)가 가장 이차적이지 않은 문제를 연구하면서 다시 작업한 것으로 거슬러 올라간다. 그 후 알프레드 레니는 확률적인 방법을 사용하여 그것을 연구했다. 다른 사람들의 꽤 많은 기여를 받은 후, 이 큰 체가 보다 결정적인 방식으로 공식화된 것은 불과 20년 후였다. 이것은 1960년대 초 클라우스 로스, 엔리코 봄비에리의 독립 작업에서 일어났다. 이중성 원칙과의 연관성이 더 잘 이해된 것도 그 무렵이다. 1960년대 중반, 봄비에리-비노그라도프 정리는 디리클레 문자의 평균값 추정치를 이용하여 큰 체의 주요 적용으로 증명되었다. 1960년대 후반과 1970년대 초반에는 패트릭 X 갤러거에 의해 많은 핵심 성분과 추정치가 단순화되었다.^[2]

개발

큰 수확 방법은 작은 수확 상황에도 적용할 수 있을 만큼 충분히 개발되었다. 일반적으로 어떤 것은 위에서 설명한 상황의 종류와 관련이 있는지의 측면에서 반드시 큰 체에 관련된 것으로 보여지는 것이 아니라, 전통적으로 큰 성과를 내기 위해 사용되었던 두 가지 입증 방법 중 하나를 포함하는 경우 다음과 같이 큰 체에 관련된 것으로 보여진다.

근사 평면도 불평등

세트 S가 잘못 분포된 모듈로 p(예를 들어 결합 등급 A에서_p 제외되는 덕분으로)인 경우, 세트 S 모드 p의 특성 함수 f의_p 푸리에 계수 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$( )${\displaystyle {\f_{p}}}(a)$가 평균적으로 크다. $이러한{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 계수는 푸리에 변환 f ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ (${\displaystyle a}$/ ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle {\f}(a/p)}$ 값으로$$ 상승할 수 있다(예: 세트 S의 $특성{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 함수 f $^$ {\$displaystyle${\$widehat$ {f$$$}).$

${\displaystyle \stackrel{}{f}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$( ${\displaystyle a}$/ p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \stackrel{}{p_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\widehat {f}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a)}).$

파생상품을 경계로 지정하면 a/${\displaystyle \mathrm{p형식}}$의 모든 x에 가까운 합리적인 숫자에 대해 $평균적$으로 f${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\widehat {f}(x)}$이(가) 커야$$ 함을 알 수 있다. 여기서 Large는 "상대적으로 큰 상수 시간 S"를 의미한다. 이후

${\displaystyle f _{2}={\sqrt{S}},}$

우리는 플랑쉐렐의 정체성과 모순을 가지게 된다.

${\displaystyle {\widehat{f} _{2}=f _{2}$

S가 작지 않은 한. (실제로 한계를 최적화하기 위해, 요즘 사람들은 위와 같이 플랑쉐럴의 정체성을 결합 파생상품이 아닌 평등한 것으로 수정한다.)

이중성 원리

기능 분석으로부터 다음과 같은 기본적인 사실에 주목함으로써 강한 큰 성과를 쉽게 증명할 수 있다: 선형 연산자의 규범(즉,

${\displaystyle \sup _{v}Av _{W}/ v _{V}\,}$

여기서 A는 선형 공간 V에서 선형 공간 W)까지의 연산자로서 그 조정자의 규범과 같다.

${\displaystyle \underset{}{supp}}$ ${\displaystyle w\underset{}{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ w ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$V}^{*}/$w _{W$}^{W}^{*}}}}}).$$

이 원리 자체가 일부 수학 문헌에서 '큰 체'라는 이름을 얻게 되었다.

셀베르크 양식의 메이저에서 큰 체를 끌어내는 것도 가능하다(셀베르크, 수집된 작품, 제2권, 체에 관한 강의 참조).

참고 항목

• 봄비에리-비노그라도프 정리
• 큰 체

참조

• "Large sieve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Cojocaru, Alina Carmen; Murty, M. Ram. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 66. Cambridge University Press. pp. 135–155. ISBN 0-521-61275-6. Zbl 1121.11063.
• Davenport, Harold (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 74. Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95097-4. Zbl 1002.11001.
• Friedlander, John; Iwaniec, Henryk (2010). Opera de Cribro. AMS Colloquium Publications. ISBN 978-0-8218-4970-5. Zbl 1226.11099.
• Hooley, Christopher (1976). Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. pp. 17–20. ISBN 0-521-20915-3.
• Kowalski, Emmanuel (2008). The Large Sieve and its Applications. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88851-6.
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press. pp. 62–73. ISBN 0-521-41261-7.