제이콥슨 반지

대수학에서 힐버트 반지 또는 제이콥슨 반지는 모든 주요한 이상이 원시적인 이상들의 교차점일 정도로 고리다.교감반지들에게 원시적 이상은 최대적 이상과 같기 때문에 이 경우 제이콥슨반지는 모든 주요 이상들이 최대적 이상들의 교차점인 것이다.

제이콥슨 반지는 제이콥슨 급진주의자들과의 관계 때문에 네이단 제이콥슨의 이름을 딴 볼프강 크롤(1951년, 1952년)과 힐버트의 널스텔렌사츠와의 관계 때문에 데이비드 힐버트의 이름을 따서 힐버트 반지라고 이름지은 오스카 골드만(1951)에 의해 독자적으로 소개되었다.

제이콥슨 반지와 널스텔렌사츠

힐베르트의 대수 기하학의 Nullstellensatz는 필드 위에 있는 미세하게 많은 변수의 다항 링이 힐베르트의 반지라는 진술의 특별한 경우다.Nullstellensatz의 일반적인 형태는 R이 Jacobson 반지라면, 미세하게 생성된 R-algebra S도 마찬가지라고 말한다.더욱이 S의 어떤 최대 이상 J의 풀백은 R의 최대 이상 I이며, S/J는 필드 R/I의 유한한 확장이다.

특히 유한한 형태의 제이콥슨 고리의 형태론은 고리의 최대 스펙트럼의 형태론을 유도한다.이것은 왜 분야별 대수적 다양성의 경우, 계략의 도입 전에 행해진 것과 같이 모든 주요한 이상을 가지고 일하기 보다는 최대 이상을 가지고 일하기에 충분한지 설명한다.국부 링과 같은 더 일반적인 링의 경우, 링의 형태론이 최대 스펙트럼의 형태론을 유도한다는 것은 더 이상 사실이 아니며, 최대 이상보다는 원시 이상을 사용하는 것이 더 깨끗한 이론을 제시한다.

예

• 어느 들판이든 제이콥슨 반지다.
• 제이콥슨 급진 0을 가진 디데킨드 도메인은 제이콥슨 반지다.주요 이상 영역과 데데킨드 도메인에서, 0이 아닌 프라임 이상은 이미 최대적이므로, 0이상이 최대 이상과의 교차점인지 확인하는 것밖에 없다.제이콥슨 급진주의자들에게 0이 되라고 요구하는 것은 이것을 보장한다.주요 이상 영역과 디데킨드 도메인에서 제이콥슨 급진주의자들은 만약 무한히 많은 주요 이상들이 존재한다면 그리고 그 이상만이 사라진다.
• 제이콥슨 반지를 넘어 잘 생성되는 대수학은 제이콥슨 반지다.특히 어떤 아핀 대수 집합의 좌표 링과 같은 필드나 정수에 걸쳐서 미세하게 생성되는 대수학은 제이콥슨 링이다.
• 국부 반지는 정확히 하나의 최대 이상을 가지고 있기 때문에, 그 최대 이상이 유일한 최고의 이상일 때 바로 제이콥슨 반지다.따라서 Krull 치수 0을 가진 모든 역방향 국부 링은 제이콥슨이지만, Krull 치수가 1 이상이면 그 링은 제이콥슨이 될 수 없다.
• (Amitsur 1956)은 셀 수 없는 분야에 걸쳐서 계산적으로 생성되는 모든 대수학이 제이콥슨 반지라는 것을 보여주었다.
• 비아르바이트의 들판 위에 있는 타테 알헤브라는 제이콥슨 반지들이다.
• 정류 링 R은 만약 R보다 다항식의 링인 R[x]^[1]이 제이콥슨 링이라면 제이콥슨 링이다.

특성화

정류 링 R의 다음 조건은 동일하다.

• R은 제이콥슨 반지 입니다.
• R의 모든 주요 이상은 최대 이상의 교차점이다.
• 모든 급진적 이상은 최대 이상의 교차점이다.
• 모든 골드만 이상은 최고다.
• 가장 이상적인 R의 모든 지수에는 0 Jacobson 과격파가 있다.
• 모든 인용구에서는, nilradical은 Jacobson 과격파와 동일하다.
• 한 분야인 R에 대해 미세하게 생성된 모든 대수학은 R-모듈로서 정밀하게 생성된다.(자리스키의 보조정리)
• R/P가 (R/P)[x⁻¹] 필드가 있는 요소 x를 갖는 R의 모든 주요 이상 P는 최대 원시 이상이다.
• R의 스펙트럼은 제이콥슨 공간이며, 모든 닫힌 부분집합은 그 안에서 닫힌 점 집합의 닫힘임을 의미한다.
• (노메테리아 링 R): R은 R/P가 1차원 반 국부 링일 정도로 프라임 이상 P가 없다.

메모들

참조

• Amitsur, Shimshon A. (1956), "Algebras over infinite fields", Proceedings of the American Mathematical Society, 7: 35–48, doi:10.2307/2033240, ISSN 0002-9939, JSTOR 2033240, MR 0075933
• Eisenbud, David. Commutative algebra. ISBN 0-387-94269-6.
• Goldman, Oscar (1951), "Hilbert rings and the Hilbert Nullstellensatz", Mathematische Zeitschrift, 54: 136–140, doi:10.1007/BF01179855, ISSN 0025-5874, MR 0044510
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28: section 10. doi:10.1007/bf02684343. MR 0217086.
• "Jacobson_ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised ed.), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42454-5, MR 0345945
• Krull, Wolfgang (1951), "Jacobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie", Mathematische Zeitschrift, 54: 354–387, doi:10.1007/BF01238035, ISSN 0025-5874, MR 0047622
• Krull, Wolfgang (1952), "Jacobsonsches Radikal und Hilbertscher Nullstellensatz", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge, Mass., 1950, vol. 2, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 56–64, MR 0045097, archived from the original on 2014-11-29, retrieved 2013-01-03