대수 동위원소

수학에서 비 연관 대수 A에서 다른 것으로의 동위원소 복사는 xy = z인 경우 a(x)b(y) = c(z)와 같은 3배의 생체적 선형 지도(a, b, c)이다.이는 대수의 선형 구조도 보존해야 한다는 점을 제외하고는 루프 동위원소의 정의와 유사하다.a = b = c의 경우 이것은 이형성과 동일하다.대수학의 오토토피 그룹은 모든 동위원소 자체(오토토피라고도 함)의 그룹이며, 부분군으로서의 자동화 그룹을 포함하고 있다.

알헤브라의 동위원소 복사는 스텐로드의 작품에서 영감을 받은 알버트(1942)에 의해 소개되었다.일부 저자는 동위원소가 b, b, c의 3배인 약간 다른 정의를 사용하여 xyz = 1이면 a(x)b(y)c(z) = 1. 옥토니언과 같은 대체 중분할 알헤브라의 경우 동위원소 정의의 2개가 동등하지만 일반적으로는 그렇지 않다.

예

• a = b = c가 이형인 경우, 삼중(a, b, c)은 동위원소다.반대로, 알헤브라가 동위원소의 지도 a와 b에 의해 보존되는 정체성 요소 1을 가지고 있다면, a = b = c는 이형성이다.
• A가 정체성을 가진 연관 대수이고 a와 c가 어떤 고정된 반전성 원소에 의해 왼쪽 곱하기이고 b가 정체라면 (a, b, c)는 동위원소다.이와 비슷하게 우리는 b와 c를 어떤 돌이킬 수 없는 요소에 의해 올바른 곱셈이 되고 a를 정체성으로 가져갈 수 있다.이들은 오토토피 그룹의 통근 서브그룹 2개를 형성하며, 완전한 오토토피 그룹은 이 두 서브그룹과 오토모피즘 그룹에 의해 생성된다.
• 만약 정체성 원소와 대수(연관되지 않은 것으로 가정)가 정체성 원소와 연관성 대수에 동위원소인 경우, 두 알헤브라는 이형성이다.특히 신원 요소가 있는 두 개의 연관성 알헤브라는 이형성인 경우에만 동위원소다.그러나 정체성 요소를 가진 연관성 있는 알헤브라는 정체성 요소가 없는 알헤브라와 동위원소일 수 있다.
• 옥토니언의 오토토피 그룹은 스핀 그룹 Spin으로₈, 오토모피즘 그룹₂ G보다 훨씬 크다.
• 만약 B가 굴절 가능한 원소에 의한 연관 대수 A의 돌연변이라면, A에서 B까지의 동위원소가 있다.
• a, b, c가 대수의 변환 불가능한 선형 지도이고, 하나의 새로운 제품이 c⁻¹(a(x)b(y)를 정의한다면, 이 새로운 제품에 의해 정의된 대수는 원래 대수에 동위원소인 것이다.예를 들어, xy 제품이 있는 복잡한 번호는 비록 그것이 역교합적이지 않고 ID 요소가 없더라도, 일반적인 제품이 있는 복잡한 숫자에 동위원소다.

참조

• Albert, A. A. (1942), "Non-associative algebras. I. Fundamental concepts and isotopy.", Ann. of Math., 2, 43: 685–707, doi:10.2307/1968960, MR 0007747
• "Isotopy_(in_algebra)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kurosh, A. G. (1963), Lectures on general algebra, New York: Chelsea Publishing Co., MR 0158000
• McCrimmon, Kevin (2004), A taste of Jordan algebras, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, MR 2014924, Zbl 1044.17001, Errata
• Wilson, R. A. (2008), Octonions (PDF), Pure Mathematics Seminar notes