반전 변환

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수학 물리학에서 반전 변환은 좌표 공간 시간에 대한 모든 일치된 일대일 변환을 포함하도록 푸앵카레 변환의 자연스러운 확장이다.^[1][2]그것들은 Poincaré 대칭의 회전과 번역과는 달리 물체는 반전 대칭에 의해 물리적으로 변형될 수 없기 때문에 물리학에서 덜 연구된다.어떤 물리적 이론은 이 대칭하에서는 불변하며, 이 경우 '숨겨진 대칭'이라고 알려져 있다.물리학의 다른 숨겨진 대칭으로는 게이지 대칭과 일반 공분산이 있다.

조기사용

1831년 수학자 루드비히 임마누엘 마그누스는 반지름 R의 원을 그리며 역전에 의해 생성된 비행기의 변형에 대해 출판하기 시작했다.그의 연구는 많은 출판물들을 시작했는데, 지금은 반역 기하학이라고 불린다.가장 유명한 수학자로 명명된 이 수학자는 평면 변환을 복잡한 수 산술로 줄이자 아우구스트 페르디난드 뫼비우스가 되었다.초기에 역변환 변환을 채택한 물리학자들의 모임에는 켈빈 경이 있었고, 그와 연관되어 켈빈 변환이라 불리게 되었다.

좌표 변환

다음에서 우리는 공간 시간이 유클리드이고 방정식이 더 단순하도록 가상의 시간(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= i ${\displaystyle t}$ ${\displaystyt$t'=$it$을 사용한다.Poincaré 변환은 4-벡터 V에 의해 매개변수화된 공간 시간의 좌표 변환에 의해 주어진다.

${\displaystyle V_{\mu }^{\premy }=O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\mu }\,},}$

여기서 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$은 직교 행렬이고 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은 4 벡터다.이 변환을 4벡터에 두 번 적용하면 동일한 형태의 세 번째 변환이 나타난다.이 변환에 따른 기본 불변제는 4-벡터 x와 y가 제공한 두 시간 지점 사이의 거리에 의해 주어진 시간 길이입니다:

${\displaystyle r=x-y .\,}$

이러한 변환은 시공간에서 일반 1-1정규 변환의 하위그룹이다.이러한 변환을 공간 시간에 1-1의 모든 일치 변환을 포함하도록 확장할 수 있다.

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(A_{\tau }^{\nu }V_{\nu }+B_{\tau }\right)\left(C_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }+D_{\tau \mu }\right)^{-1}.}$

우리는 또한 푸앵카레 변환의 직교 조건과 동등한 조건을 가져야 한다.

${\displaystyle AA^{T}+BC=DD^{T}+CB\,}$

변환의 위아래를 $D{\displaystyle }$ ,${\displaystyle$D}로 나눌 수 있기 때문에 D ${\displaystyle$ D$}$을(를) 단위 매트릭스로 설정해도$$ 일반성을 잃지 않는다$$.우리는 결국 하게 된다.

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\tau }\right)\left(\delta _{\tau \mu }+Q_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }\right)^{-1}.\,}$

이 변환을 4벡터에 두 번 적용하면 동일한 형태의 변환이 가능하다.'반전'의 새로운 대칭은 3-텐서 $Q{\displaystyle .}$ ${\displaystyle Q.}$에 의해 주어진다. 이$$ 대칭은 Q${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$ Q$=0.}$을 설정하면 Poincaré 대칭이 된다. $Q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ $Q$$=0}$일 때 두$$ 번째 $조건$에서는$O${\\$displaystystystytheal$ 행렬이$$ 필요하다.이 변환은 우리가 이론적으로 무한대의 점을 포함해야만 각각의 포인트가 고유한 포인트에 매핑된다는 것을 의미한다.

불변제

이 대칭에 대한 4차원의 불변성은 알 수 없지만 불변성이 최소 4개의 공간시점을 필요로 한다는 것은 알려져 있다.한 차원에서는 불변성이 뫼비우스 변환에서 잘 알려진 교차율이다.

${\displaystyle {\frac {(x-X)(y-Y)}{(x-Y)(y-X)}}.}$

이 대칭 아래에 있는 유일한 불변물은 최소 4개의 점을 포함하기 때문에 이 대칭은 점 입자 이론의 대칭이 될 수 없다.점 입자 이론은 시공간을 통과하는 입자의 경로 길이($예{\displaystyle }$: x ${\displaystyle x}$에서 y ${\displaystyle$ y$})$를 아는 데 의존한다.$$대칭은 문자열의 끝점에 의해 고유하게 결정되는 문자열 이론의 대칭일 수 있다.엔드포인트$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle(x,X)}$에서 시작하여$$ 엔드포인트$({\displaystyle y}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle(y,Y)}$에서 끝나는 문자열에 대한 이 이론의 전파자는 4차원 불변성의 정합 함수다$$.끝점 문자열 이론의 문자열 필드는 끝점을 넘는 함수다.

$\phi(X,X)\,}$

물적 증거

물리학에서 숨겨진 대칭을 찾아내고 따라서 고에너지 물리학의 가능한 이론의 수를 좁히기 위해 푸앵카레 변환을 일반화하는 것은 당연하지만, 이 대칭하에서는 물체를 변환할 수 없기 때문에 이 대칭을 실험적으로 검토하기는 어렵다.이 대칭의 간접적인 증거는 이 대칭 아래 불변하는 물리학의 기초 이론들이 얼마나 정확하게 예측을 하는가에 의해 제시된다.다른 간접적인 증거는 이 대칭하에서 불변하는 이론들이 1보다 큰 확률을 주는 것과 같은 모순을 초래하는지 여부다.지금까지 우주의 근본적인 구성 요소가 끈이라는 직접적인 증거는 없었다.대칭은 비록 물리학의 대칭이지만, 우주가 하나의 특정한 방향으로 '동결'하여 더 이상 이 대칭이 뚜렷하지 않다는 것을 의미하는 깨진 대칭일 수도 있다.

참고 항목

• 회전 그룹 SO(3)
• 좌표 회전 및 반사
• 스페이스타임 대칭
• CPT 대칭
• 분야(물리학)
• 초끈

참조