이넬리프스

삼각형 기하학에서 이넬립스는 삼각형의 세 변에 닿는 타원이다. 가장 간단한 예는 근친상간이다. 더 중요한 이넬립은 옆면 중간점에 있는 삼각형을 건드리는 슈타이너 이넬립스, 만다르트 이넬립스 및 브로카드 이넬립스(예: 섹션 참조)이다. 어떤 삼각형에도 무한한 수의 송곳니가 존재한다.

Steiner inelipse는 특별한 역할을 한다. 그 지역은 모든 영지 중에서 가장 크다.

비생성 원뿔 부분은 정점과 접선의 집합 중 5개 항목으로 고유하게 결정되기 때문에, 3면이 접선으로 주어진 삼각형에서 두 면의 접촉점만 지정할 수 있다. 그리고 나서 세 번째 접촉 지점은 독특하게 결정된다.

모수 표현, 중심, 결합 지름

정점이 있는 삼각형의 inellipse

${\displaystyle O=(0,0),\;A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2})}$

및 연락 지점

${\displaystyle U=(u_{1},u_{2}),\;V=(v_{1},v_{2})}$

$O{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle OA}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{OB<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; OA\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/db864cf94e2655d6a7b56c7479f63933e97afb06"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:3.516ex;\; height:2.176ex;">}}$ ${\displaystyle OB}$에서 각각 합리적인 파라메트릭 표현으로 설명할 수 있음

• ${\displaystyle \left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ ,}$

$여기$서 a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b}$은(는) 연락 지점의 선택에 의해 고유하게 결정된다$$.

${\displaystyle a={\frac {1}{s-11},\ u_{i}=sa_{i}={i},\cHB={\frac {1}{t-1},\{i}=tb_{i}\;,\ 0<s<1\;}$

세 번째 접점은

${\displaystyle W=\왼쪽({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}:\,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\오른쪽)\;;}$

이넬립스의 중심은

${\displaystyle M={\frac {ab}{ab-1}\왼쪽({\frac {u_{1}+v_{1})2}}:{2}},{\frac {u_{2}+v_{2}2}}:{2}}\오른쪽)\;;}$

벡터즈

${\displaystyle {\vec{f}_{1}={\frac {1}{1}:{2}}: {\frac {\sqrt{ab}:{ab-1}\;(u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}}}}})$

${\displaystyle {\vec{f}_{2}={\frac {1}{1}:{2}}: {\sqrt {\\frac {ab}{ab-1}}\;(u_{1}-v_{1}, u_{2}-v_{2}}\;}$

두 개의 공극 반 직경이 있으며, inellipse는 더 일반적인 삼각 파라메트릭을 나타낸다.

• ${\displaystyle {\vec{x}={\vec {OM}+{\vec {f}_{1}\coses \varphi +{\vec{f}_{2}}\sin \varphi \;}$

inellipse($A$ ${\displaystyle \stackrel{}{V}}$s${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{U}}$'s${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{OW}}}$s ${\displaystyle {AV},{\overline {BU},{\overline {OW})$의 브리안콘 포인트는 다음과 같다$.$

${\displaystyle K:\왼쪽({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}:{1}b};;,\\\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+1}{a+b+1}\오른쪽)\ .}$

$s{\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s,t}$은(는) ${\displaystyle U,}$ V ${\displaystyle U,V}$의 두 접점을 규정하는 쉬운 옵션이다$.$ ${\displaystyle s}$, t ${\displaystyle s,t}$에 대한 주어진 경계는 접점이 삼각형의 측면에 위치한다는 것을$$ 보장한다. 그들은 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b}$ 경계$$ -< <- ${\displaystyle -\fty <a,b>-1을$제공한다

비고: $매개변수{\displaystyle }$ a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b}$는 inellipse의 세미아x도 아니고 양쪽의 길이도 아니다$$.

예

슈타이너 이넬리프스

$s{\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle t\frac{\mathrm{}}{}}$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$}:{2$}}:$ $접점$ U, ${\displaystyle V}$,$$W {\$displaystyle U,$ V, $W}$는 변의 중간점이고$$ inellipse는 Steiner inellipse(그 중심은 삼각형의 중심)이다.

근친상간

For ${\displaystyle s={\tfrac { OA + OB - AB }{2 OA }},\;t={\tfrac { OA + OB - AB }{2 OB }}}$ one gets the incircle of the triangle with center

${\displaystyle {\vec{OM}={\frac {OA}+ OA {\vec{OA}}{ OA + OB + AB}\;}$

만다르트 이넬리프스

For ${\displaystyle s={\tfrac { OA - OB + AB }{2 OA }},\;t={\tfrac {- OA + OB + AB }{2 OB }}}$ the inellipse is the Mandart inellipse of the triangle. 절편 접촉 지점에서 측면에 닿는다(도표 참조).

브로카드이넬리프스

For ${\displaystyle \ s={\tfrac { OB ^{2}}{ OB ^{2}+ AB ^{2}}}\;,\quad t={\tfrac { OA ^{2}}{ OA ^{2}+ AB ^{2}}}\;}$ one gets the Brocard inellipse. Triilinar ${\displaystyle 좌표}$K${\displaystyle }$: (${\displaystyle O}$ B :${\displaystyle O}$ A : A ${\displaystyle B}$) ${\$\$K:(OB$ :$OA$ : AB $)\ }$에 주어진 Brianchon 포인트에 의해 독특하게 결정된다$.$

문장의 파생

새 좌표

그 진술의 증빙을 위해 작업을 계획적으로 고려하고 편리한 새로운 불균형 ${\displaystyle \xi}$- ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$ - 원하는 원뿔 부분이 하이퍼볼라로 나타나고 ${\displaystyle U}$, V ${\displaystyle U,V}$ 지점이 새로운 좌표 축의 무한대의 지점이 되도록$$ 조정한다$$. $A{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{a\mathrm{}}_{}2}$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle }$B = (${\displaystyle {}_{}}$b ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{b\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )$${\$displaystyle A=(a_{1},a_{2}),\;B$=($b_{$${\displaystyle 1}$},$b_{2}}})$ $지점$은 A${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle \mathrm{a}}$ = 0 ,${\displaystyle b}$=${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$, b ${\displaystyle ],}$ ${\stylease A=[a,0]$에 의해 새로운 좌표계에서 설명될 것이다$$.$B=[0,b]}$과(와) 해당 선에는 equation ${\displaystyle \frac{a}{}}$ +${\displaystyle \frac{\eta }{}}$ b${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {\xi{a}}}+{\frac${\$eta$}}{$b}=$1$\}$라는 방정식이 있다(${\displaystyle \mathrm{아래}}$에 a${\displaystyle }$, b$${\$displaystystyle$ a$,b$$}).$ 이제 좌표 축을 점근법으로 사용한 하이퍼볼라가 A${\displaystyle \stackrel{B}{}}$의 ${\$에 닿는다$.$ 이것은 쉬운 작업이다. By a simple calculation one gets the hyperbola with the equation ${\displaystyle \eta ={\frac {ab}{4\xi }}}$. It touches the line ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ at point ${\displaystyle W=[{\tfrac {a}{2}},{\tfrac {b}{2}}]}$.

좌표 변환

x-y-plane으로 용액을 변환하는 작업은 균일한 좌표와 매트릭스를 사용하여 수행된다.

1 2 v 2 $displaystyle {\bmatrix}u_{1$}&$v_{1}&v_${0$\\u_{2$}&$v_{2$}&$0\1&1&1\end${bmatrix$}\nd$}\nd

점${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3}]$이(가) 매핑되어 있음$$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}\\u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}}\end{pmatrix}\오른쪽 화살표 \left \frac {u_{1}x_{1}+v_{1}x_{1}:{1}x_{1}:{1}x_{1}}{x_{1}}}{1}+x_{2}+x_{3}}}}\;,\;{\frac {u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2}}:{x_{1}{x_{1}+x_{2}+x_{3}{x_{3}}}}}}\오른쪽),\cHB {\text{}{{}x_{1}+x_{2}+x_{3}}\neq 0.}$

${\displaystyle \xi }$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$ -$$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \exi$ \$eta$ $]$ - 면의$$ 점$$$[\$$displaystyle [\xi ,\eta$] - ${\displaystyle {면}^{}}$은 열 벡터${\displaystyle [\backslash \mathrm{xi}}$ ${\displaystyle ,\backslash }$eta ,$1]^$로 표현된다.${T}($동일한 좌표 참조). 무한대의 점은 [${\displaystyle }$⋯,${\displaystyle \cdots ,}$ ${\displaystyle 0^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ T ${\$로 표현된다.$\{$$T}.$

필수 점의 좌표 변환

$[1,0,0]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1},u_{2})\ ,\quad V:\ [0,1,0]^{{T}\ \rightarrow \ (v_{1},v_{2}}\,}$

${\displaystyle O:\ [0,0]\\ \rightarrow \ (0,0)\\quad A:\[a,0]\rightarrow \(a_{1},a_{2})\\\quad B:\[0,b]\righarrow \{1},b_{2}\}\},},},},},},},},},}$

(One should consider: ${\displaystyle \ a={\tfrac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\tfrac {1}{t-1}},\ v_{i}=tb_{i}\;}$; see above.)

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle \xi }$+ ${\displaystyle \mathrm{\eta }}$+ ${\displaystyle 1}$= 0 ${\$은 x-y-plane의 무한대에 있는 선의 방정식이며$,{\displaystyle }$ 무한대에 있는$$ 점은 [${\displaystyle 1,}$- ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0{}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystystyle [$1,1$,0]^$$\{$$T}.$

${\displaystyle [1,-1,{\color {red}0}]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1}-v_{1}, u_{2}-v_{2},{\color {red}0}^{{\color {red}}}}}{{}}}}}}{{}}}}}}}T}$

따라서 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$ $g_{\infit }}$의 무한대 지점([\$$displaystyle $\xi }$- ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$ - 평면에서$$)은 x-y-plane-plane의 무한대에 있는 지점에 매핑된다. 즉, 다음을 의미한다. g${{\$ $\}\}\}$에 평행한 하이퍼볼라의 두 접선도 x-y-plane에서 평행하다. 그들의 연락 지점은

${\displaystyle D_{i}:\left[{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}},{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}}\right]\ \rightarrow \ {\frac {1}{2}}{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{1\pm {\sqrt {ab}}}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}),\;}$

$D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{D\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$2}}$$지점의 타원 접선이 평행하므로$$, 현 ${\displaystyle {D1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}은 직경이며 그 중간 지점인 타원의 중앙$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystystyle M}$이다.

${\displaystyle M:\{\frac {1}{1}:{ab-1}\{ab-1}\왼쪽(u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}\오른쪽)\;}$

${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$에 m ${\displaystyle \xi$ - {$${\$displaystyle \eta }$ - 좌표가$$ 있는지$$ 쉽게 확인할 수 있음

${\displaystyle \ M:\;\왼쪽[{\frac {-ab}{2}},{\frac {-ab}{2}}\오른쪽]\;.}$

In order to determine the diameter of the ellipse, which is conjugate to ${\displaystyle D_{1}D_{2}}$, in the ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-plane one has to determine the common points ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ of the hyperbola with the line through ${\display$접선에 평행한$$ $스타일 M}($이 방정식은 $\xi {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \eta }$+ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \xi +\eta +ab=0}).$ One gets ${\displaystyle E_{i}:\left[{\tfrac {-ab\pm {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}},{\tfrac {-ab\mp {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}}\right]}$. And in x-y-coordinates:

${\displaystyle \ E_{i}={\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}\right)\pm {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab(ab-1)}}{ab-1}}\left(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2}\right)\;,}$

두 개의 공극 지름 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$ 두 개의 벡터 공극 반 직경에서 검색할 수 있다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}_{1}&={\vec {MD_{1}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})\\[6pt]{\vec {f}}_{2}&={\vec {ME_{1}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ab-1}}}\;(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;\end{aligned}}}$

그리고 적어도 inellipse의 삼각 파라메트릭 표현:

${\displaystyle {\vec{x}={\vec {OM}+{\vec {f}_{1}\coses \varphi +{\vec{f}_{2}}\sin \varphi \;}$

스테이너 타원의 경우와 유사하게 세미렉스, 편심도, 정점, x-y 좌표 방정식 및 inellipse 영역을 결정할 수 있다.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$에서 세 번째 터치 포인트 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$은(는) 다음과$$ 같다.

${\displaystyle W:\left[{\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.}$

The Brianchon point of the inellipse is the common point ${\displaystyle K}$ of the three lines ${\displaystyle {\overline {AV}},{\overline {BU}},{\overline {OW}}}$. In the ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-plane these lines have the equations: ${\displaystyle \xi =a,\eta =b,}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \eta }$- ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathrm{\xi }}$= 0 ${\displaystyle \xi =a\;\;\eta =b\;\;a\eta -b\xi =0$ 따라서 지점 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에는 다음과 같은 좌표가 있다$$.

${\displaystyle K:\[a,b]\ \오른쪽 화살표 \ \왼쪽({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}\;;;;;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}\}\}\}}}}$

하이퍼볼라 ${\displaystyle \eta }$= b ${\displaystyle \frac{4}{}}$ {$${\$displaystyle \eta ={\frac {ab}{4\xi }}}$을(를) 변환하면 inellipse:

${\displaystyle \left[\xi ,{\frac {ab}{4\xi }}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ .}$

근친상간

근방의 경우 ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle U}$= ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle V}$ $displaystyle OU$= $OV }$이$($가) 있으며, 이는 다음과 같다.

(1) ${\displaystyle O}$ A${\displaystyle }$= t ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle B.}$ ${\$t$OB \;.\}$ 추가$$

(2) (${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle \mathrm{t}}$) O ${\displaystyle B}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $displaystyle \;(1-s) OA +(1-t) OB$= $AB }$. (도표 참조)

${\displaystyle 이}$ 두 방정식을 s${\displaystyle }$,$$t {\$displaystyle s,t}$에 대해 풀면 gets.

(3)${\displaystyle \s={\frac {OA + OB - AB }{2 OA }},\;t={\frac {OA + OB - AB }}{2 OB }\;}$

중앙의 좌표를 구하려면 먼저 (1) 또는 (3)을 사용하여 계산한다.

${\displaystyle 1-{\frac {1}{ab}=1-(s-1)(t-1)=-st+s+t=\cdots ={\frac {s}{2(OA + OB + AB )\;.}$

그러므로

${\displaystyle {\vec {OM}}={\frac { OB }{s( OA + OB + AB )}}\;(s{\vec {OA}}+t{\vec {OB}})=\cdots ={\frac { OB {\vec {OA}}+ OA {\vec {OB}}}{ OA + OB + AB }}\;.}$

만다르트 이넬리프스

Mandart inellipse에 대한$$ 매개변수 $s{\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s,t}$는 접촉 지점의 속성에서 검색할 수 있다(de: Ankreis 참조).

브로카드이넬리프스

삼각형의 Brocard inellipse 독특하게 그 Brianchon 포인트도 삼각형의 좌표로:(OB:OA:B){\displaystyle)K:(OB:OA:AB형입니다)\}.[1]이 더 편리한 표현 케이에 삼선 좌표 변화:k1OA→+k2OB→ K제공 결정된다. {)$displaystyle \ K:k_{1}{\vec {OA}}+k_{2}{\vec {OB}}\ }$ (see trilinear coordinates) yields ${\displaystyle \ k_{1}={\tfrac { OB ^{2}}{ OB ^{2}+ OA$$^{2}+ AB ^{2}}},\;k_{2}={\tfrac { OA ^{2}}{ OB ^{2}+ OA ^{2}+ AB ^{2}}}\ }$. On the other hand, if the parameters ${\displaystyle s,t}$ of an inellipse are given, one calculates from the formula above for ${\displaystyle K}$: ${\display$$스타일 \k_{1}={\tfrac {s(t-1)}{st-11},\;k_{2}={\tfrac {t(s-1)}{st-1$${\displaystyle {}_{}{k\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ 2$${$displaystyle k_{1},k_{2$}}:$$두 식을 모두 동일화하고$$ $s{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t}${\$displaystystylease s,$ t, t-sylease$$ s$,$ t-tylease stylease $stylease$ stylease stylease style, t.

${\displaystyle s={\frac { OB ^{2}}{OB ^{2}+ AB ^{2}}\;,\quad t={\frac {OA ^{2}}}{OA ^{2}+ AB ^{2}}}\}$

면적이 가장 큰 이넬리프스

• Steiner inellipse는 삼각형의 모든 inellipes 중에서 가장 큰 영역을 가지고 있다.

증명

$결합{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 반 지름 f → 1 ,${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{}}_{}}$→${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}{2}_{\mathrm{}}}$ ${\${1$},{\vec{f}_${1},{\vec{f}_${$2}}의 특성에$$ 대한 아폴로니오스 정리:

${\displaystyle F}$= ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle det}$ ${\displaystyle (f_{\mathrm{}}}$→ 1,${\displaystyle {}_{}{f}_{\mathrm{}}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$) $displaystyle F=\pi \left \det({\vec {f}_{1},{\vec{f}_{2}}\right \quad }}}}($Steiner 타원 기사 참조).$$

매개 변수 $s{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t}${\$displaystyle$ s$,t}$이(가) 있는 inellipse의 경우

${\displaystyle \detc\vec{f}_{1},{\vec {f}_{2}={\frac {1}{4}{\frac {ab}{3/2}}:\det(s{\vec{a}+t{b},s{a-t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle ={\frac{1}:{2}}: {s{\sqrt{s-1}\;t{\sqrt{t-1}}{{3-(s-1)(t-1)^{3/2}}:\depec\b},{\vec{a},},};,},},},};,}$

where ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),\;{\vec {b}}=(b_{1},b_{2}),\;{\vec {u}}=(u_{1},u_{2}),{\vec {v}}=(v_{1},v_{2}),\;{\vec {u}}=s{\vec {$$a},\;{\vec{v}=t{\vec{b$
In order to omit the roots, it is enough to investigate the extrema of function ${\displaystyle G(s,t)={\tfrac {s^{2}(s-1)\;t^{2}(t-1)}{(1-(s-1)(t-1))^{3}}}}$:

${\displaystyle G_{s}=0\ \오른쪽 화살표 \ 3s-2+2(s-1)(t-1)=0\;.}$

$G{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$( ${\displaystyle t}$, s${\displaystyle }$) ${\displaystyle G(s,t)=G(t,s)}$은(는) s와 t:

${\displaystyle G_{t}=0\ \오른쪽 화살표 \ 3t-2+2(s-1)(t-1)=0\;.}$

s 및 t 수율에 대한 두 방정식 모두 해결

${\displaystyle s}$= ${\displaystyle t\frac{\mathrm{}}{}}$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 2${\displaystyle }$, ${\$}:{2$}}\;,\quad }$은(는) Steiner inellipse의 매개 변수다.

참고 항목

• 할레코닉과 결실금

참조

외부 링크

• Darij Grighberg: Uber einige Settze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie.
• 마트월드의 할레코닉
• 마트월드의 결석