인디케이터 기능(복잡한 분석)

복소해석학으로 알려진 수학 분야에서, 전체 함수의 지표 함수는 다른 방향으로 함수의 성장 속도를 나타낸다.

정의.

전체 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ : C $→$ $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle f:\mathbb {C}$ \ $to \mathbb$ {C $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 성장순서가 $\rho$ {\ $displaystyle \rho$ 라고 가정하면 f{\ $displaystyle$ f $}$ 의 $f$ 지시함수는 다음과^[1]^[2] 같다.

h_{f}(\theta)=\limsup_{r\to\infty}{\frac {log f(re^{i\theta}}}}}.

표시기 함수는 전체는 $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ D $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ { $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ e $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ : $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ α < $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ β $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ } { $displaystyle$ D=\{ $z=re^{i$ \theta $}} :\alpha$ <\ $theta$ $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$ 에 대해 정의할 수도 있습니다.

기본 속성

표시기 함수의 정의에 따라 두 함수의 곱의 표시기가 표시기의 ^[2]^{: 51–52}합을 초과하지 않아야 한다.

\displaystyle h_{fg}(\theta)\leq h_{f}(\theta)+h_{g}(\theta)}

마찬가지로, 두 함수의 합계의 지표는 다음 두 지표 중 큰 것을 초과하지 않습니다.

\displaystyle h_{f+g}(theta)\leq \max\{h_{f}(theta),h_{g}(theta)\}.}

예

기본 계산 결과 f $f(z)=e^{(A+iB)z^{\rho }}$ ( $f(z)=e^{(A+iB)z^{\rho }}$ ) $=$ ( $f(z)=e^{(A+iB)z^{\rho }}$ + $f(z)=e^{(A+iB)z^{\rho }}$ $f(z)=e^{(A+iB)z^{\rho }}$ ) $f(z)=e^{(A+iB)z^{\rho }}$ ${\$ \ $display$ f $(z$ )= $e^{(A+iB)z$ 인 경우 $^{\rho$ $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ ( $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ e $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ ) $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ A $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ - $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ - $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ sin $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$ （ $ρθ$ ^ { $Ar ^$ { \ $rho$ } \ cos ( \ $rho$ \ $theta }$ - $r$ ^ { r $}$

h_{f}(\theta)=A\cos(\rho \theta)-B\sin(\rho \theta).

특히,

\displaystyle h_{\exp }(\theta)=\cos(\theta).}

쉽게 추론할 수 있는 또 다른 지표 함수는 상호 감마 함수의 지표 함수이다.그러나 이 함수는 무한 유형(및 순서 $\rho =1$ $\rho =1$ $\rho =1$ ${\displaystyle \rho = 1$ ) $\rho =1$ 이므로 표시기 함수를 정의해야 합니다.

h_{1/\Gamma}(\theta)=\limsup_{r\to\infty}{\frac {log 1/\Gamma(re^{i\theta})}}{r\log r}.

스털링의 감마 함수 근사치는 다음과 같다.

\displaystyle h_{1/\Gamma}(\theta)=-\cos(\theta)}

또 다른 예로는 Mittag-Leffler $E_{\alpha }$ α(\ $displaystyle E_$ {\alpha $E_{\alpha }$ 가 $\rho =1/\alpha$ .이 함수는 $\rho =1/\alpha$ 1 / $\rho =1/\alpha$ α $(\displaystyle$ \ $rho$ = $1$ / \alpha $\rho =1/\alpha$ )의^[3]^{: 50} $\rho =1/\alpha$ 로 되어 있습니다.

\displaystyle h_{E_{\alpha }}(\theta)=cos \leftfrac {\alpha },\text{for },\text{frac {1}{2}},\theta \lepha \pi ;\0,\text{}).\end {case}}

인디케이터의 추가 속성

$그$ h( $디스플레이$ 스타일 h $)$ 표시기 $h$ 함수는 다음과 같습니다.

\displaystyle h(\theta)=A\cos(\rho \theta)+B\sin(\rho \theta)}

\rho

{

displaystyle \rho }

- trigonometrically

\rho

colves (

A

{

displaystyle

A

} 및

A

B

{

displaystyle

B

}는

B

실제 상수입니다).

\rho =1

= 1

이면

,

단순히

h는 삼각

볼록하다고

말할

수

.

이러한 지표에는 몇 가지 특별한 특성이 있습니다.예를 들어 적어도 간격 $(\alpha ,\beta )$ β $(\alpha ,\beta )$ { $displaystyle(\alpha,\beta$ ^[1]^{: 55–57}^[2]^{: 54–61}에서 삼각 볼록한 인디케이터 함수에 대해서는 다음 문장이 모두 참입니다.

h $h(\theta _{1})=-\infty$ ( $h(\theta _{1})=-\infty$ 1 ) $=$ - $h(\theta _{1})=-\infty$ $\theta _{1}\in (\alpha ,\beta )$ 1 $\theta _{1}\in (\alpha ,\beta )$ ( $\theta _{1}\in (\alpha ,\beta )$ , $\theta _{1}\in (\alpha ,\beta )$ β $)$ { $displaystyle$ \ $theta _ {$ 1} \in ( $\alpha$ , \ $displaystyle$ $\theta _{1}\in (\alpha ,\beta )$ ) $\theta _{1}\in (\alpha ,\beta )$ $(\alpha ,\beta )$ 의 $h=-\infty$ 경우 $h=-\infty$ $h=-\infty$ - $h=-\infty$ displaystyle h ( \ $displaystyle$ h $h(\theta _{1})=-\infty$ $=$ - $in$ ) $(\alpha ,\beta )$ α $h(\theta _{1})=-\infty$ , \ $in$ ( $(\alpha ,\beta )$ ) $(\alpha ,\beta )$ ）。
h $(\displaystyle$ h $)$ 가 $h$ ( $(\alpha ,\beta )$ β $)$ { $displaystyle(\alpha,\beta$ 에 한정되어 있는 $경우$ , 이 간격은 연속적입니다. $또한 h는$ ( $α$ 의 $(\alpha ,\beta )$ 립시츠 조건을 충족합니다 $.$
h $({displaystyle$ h $})$ 가 $h$ $(\alpha ,\beta )$ ( $(\alpha ,\beta )$ , $(\alpha ,\beta )$ β $)$ { $displaystyle(\$ alpha,\ $beta$ 에 한정되어 $있는$ 경우 $(\alpha ,\beta )$ 의 모든 점에 왼쪽 및 오른쪽 도함수가 모두 있습니다 $β$ ) { $displaystyle(\alpha,\$ beta $(\alpha ,\beta )$ 또한 왼쪽 도함수는 오른쪽 도함수보다 크지 않습니다.또한 오른쪽 도함수는 오른쪽에서 연속이고 왼쪽 도함수는 왼쪽에서 연속이라는 것도 사실이다.
h $(\displaystyle$ h $)$ 가 $h$ ( $(\alpha ,\beta )$ β $)$ { $displaystyle(\alpha,\beta$ 에 한정되어 있는 $경우$ , 계산 가능한 집합을 제외한 모든 점에 미분이 있습니다.
{\ ρ alpha bet pi the r + {\ + &) + + + μm) + μm(예: μm) + μmula_^+ \beta $\alpha \leq \theta <\theta +\pi /\rho \leq \beta$

메모들

^ ^a ^b Levin, B. Ya. (1996). Lectures on Entire Functions. Amer. Math. Soc. ISBN 0821802828.
^ ^a ^b ^c ^d Levin, B. Ya. (1964). Distribution of Zeros of Entire Functions. Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-8218-4505-9.
^ Cartwright, M. L. (1962). Integral Functions. Cambridge Univ. Press. ISBN 052104586X.

레퍼런스

Boas, R. P. (1954). Entire Functions. Academic Press. ISBN 0121081508.
Volkovyskii, L. I.; Lunts, G. L.; Aramanovich, I. G. (2011). A collection of problems on complex analysis. Dover Publications. ISBN 978-0486669137.

[Levin-1] Levin, B. Ya. (1996). Lectures on Entire Functions. Amer. Math. Soc. ISBN 0821802828.

[Levin2-2] Levin, B. Ya. (1964). Distribution of Zeros of Entire Functions. Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-8218-4505-9.

[Cartwright-3] Cartwright, M. L. (1962). Integral Functions. Cambridge Univ. Press. ISBN 052104586X.

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