하이퍼그래프 규칙성 방법

수학에서, 하이퍼그래프 규칙성 방법은 하이퍼그래프 규칙성 부제와 관련 계수 부제의 결합된 적용을 참조하는 극단 그래프 이론의 강력한 도구입니다.이것은 그래프 규칙성 방법의 일반화로, 세메레디의 규칙성과 나그네슘을 사용하는 것을 말합니다.

매우 비공식적으로, 하이퍼그래프 규칙성 부제는 $주어진$ k ${displaystyle$ k}-균일 $k$ 하이퍼그래프를 일반적으로 작업하기 더 쉬운 경계 부분(적절한 경계 및 무작위 개념)을 가진 무작위와 같은 객체로 분해합니다.반면에, 하이퍼그래프 계수 부제는 무작위 유사 부분의 일부 컬렉션에서 주어진 동형성 클래스의 하이퍼그래프 수를 추정합니다.이것은 주어진 그래프를 경계가 있는 숫자 부분으로 분할하여 부분 사이의 가장자리가 거의 무작위로 동작하도록 하는 세메레디의 규칙성 부제의 확장입니다.마찬가지로, 하이퍼그래프 계수 부제는 고정 그래프의 복사본 수를 더 큰 그래프의 하위 그래프로 추정하는 그래프 계수 부제의 일반화입니다.

이 방법에는 여러 가지 별개의 공식이 있으며, 이 모든 것은 하이퍼그래프 제거 부제와 세메레디의 정리와 같은 다른 강력한 결과 및 다차원 확장의 일부를 의미합니다.다음 공식은 V. Rödl, B. Nagle, J. 스코칸, M. Schacht 및 Y에 기인합니다. Kohayakawa,^[1] 대체 버전은 Tao(2006)^[2] 및 Gowers(2007)^[3]를 참조하십시오.

정의들

하이퍼그래프 규칙성과 계수 레마를 공식적으로 진술하기 위해서는 의사 무작위성(랜덤 유사성)과 경계성의 적절한 개념을 공식화하고 랜덤 유사 블록과 파티션을 설명하기 위해 몇 가지 다소 기술적인 용어를 정의해야 합니다.

표기법

$K_{j}^{(k)}$ j ( $K_{j}^{(k)}$ ) {\ $displaystyle K_{j}^{(k))}$ 는 $K_{j}^{(k)}$ $j$ j ${\displaystyle$ j} 꼭짓점에서 $k$ \ $displaystyle$ k $}$ - 균일한 $k$ 클릭을 $나타냅니다$ .
${\mathcal {G}}^{(j)}$ ( $)$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {G}^{(j)}}$ 는 ${\mathcal {G}}^{(j)}$ 꼭짓점 ${\mathcal {G}}^{(1)}=V_{1}\sqcup \ldots \sqcup V_{l}$ G ${\mathcal {G}}^{(1)}=V_{1}\sqcup \ldots \sqcup V_{l}$ ( ${\mathcal {G}}^{(1)}=V_{1}\sqcup \ldots \sqcup V_{l}$ ) $=$ ${\mathcal {G}}^{(1)}=V_{1}\sqcup \ldots \sqcup V_{l}$ ${\mathcal {G}}^{(1)}=V_{1}\sqcup \ldots \sqcup V_{l}$ ${\mathcal {G}}^{(1)}=V_{1}\sqcup \ldots \sqcup V_{l}$ … ${\mathcal {G}}^{(1)}=V_{1}\sqcup \ldots \sqcup V_{l}$ {\ $displaystyle {G}^{(1$ $V_{1}\sqcup \sqcup V_{l$ 에 있는 ${displaystyle$ l $}$ $j$ j $}$ 입니다 $j$ .
K J ( G ( i ) \ displaystyle {\mathcal {K}_{j}({\mathcal {G}^{(i))}는 G (i)에서 K j (i) (i) ({j}^{(i)})}에 걸쳐 있는 모든 j (displaystyle j) 정점 집합의 군이다. 특히, K (G) (L) 1, K (K) (L) = L) { $G}^{(1)}=K_{l}^{(j)}(V_{1},\ldots,V_{l}}$ 은 ${\mathcal {K}}_{j}({\mathcal {G}}^{(1)})=K_{l}^{(j)}(V_{1},\ldots ,V_{l})$ (는) $l$ 한 ${\displaystyle$ l $}$ $j$ j ${displaystyle$ j} - 그래프입니다 $j$ $.$

다음은 상대 밀도의 중요한 개념을 정의합니다. 이는 하이퍼그래프에 있는 ( $j$ - $(j-1)$ ) \ \ displaystyle $(j-1)$ - 에지에 $(j-1)$ 걸쳐 $있는$ $(j-1)$ j \ $displaystyle j$ 의 분수를 $j$ 대략적으로 설명합니다.예를 들어, j $=$ {\ $displaystyle$ j= $3$ 일 때 $d({\mathcal {G}}^{(3)}\vert \mathbf {Q} ^{(2)})$ d ( $d({\mathcal {G}}^{(3)}\vert \mathbf {Q} ^{(2)})$ ( $d({\mathcal {G}}^{(3)}\vert \mathbf {Q} ^{(2)})$ ( $d({\mathcal {G}}^{(3)}\vert \mathbf {Q} ^{(2)})$ {\ $displaystyle$ d({\ $mathcal {G}}^{(3)}\vert \mathbf {Q}^{(2)}}$ 는 $d({\mathcal {G}}^{(3)}\vert \mathbf {Q} ^{(2)})$ 하위 하이퍼그래프에서 2-제곱으로 형성된 삼각형의 분율과 같습니다.

정의 [상대 밀도].j≥ 3의 경우, G(1)의 Vi1, …, Vij({i_{1},\ldots,V_{i_{j}}, 1≤i<i≤i≤i≤l\leqi_{1}<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<.Q (j - 1 ) = { Q 1 (j - 1 ) , … , Q r (j - 1 ) } {\displaystyle \mathbf {Q}^{(j-1)} = \{Q_{1}^{(j-1)}, \ldots, Q_{r}^{(j-1)}}를 유도된 j{displaystyle j - partite graph G (j - 1 )의 하위 그래프라고 하자.상대 밀도 d (G (j) Q (j - 1 ) = G (j) ∩ s ∈ [ r ] K j ( Q s j - 1 ) ∪ [ r ] K j ( Q s j - 1 ) \ displaystyle d\left\mathcal {G}^{(j)}^{(j-1)}\vert \mathbf} = frac {j_cal} \cap} \cal{jcap} \cal} \cap} \cap \cal\caft $)\right$

다음은 정규성 방법이 사용할 의사 랜덤성의 적절한 개념입니다.비공식적으로 $(j-1)$ 이 규칙성의 개념에 의해 $(j-1)$ ( $(j-1)$ - $(j-1)$ 1 $(j-1)$ ) {\ $displaystyle (j-1)}$ -edge $(j-1)$ ( ${\mathcal {G}}^{(j-1)}$ ${\mathcal {G}}^{(j-1)}$ - ${\mathcal {G}}^{(j-1)}$ ) {\ $mathcal$ ${G$ $}^{(j-1$ 는j ({ $mathcal$ {G $}}$ -edge $j$ ${\mathcal {G}}^{(j)}$ ( ${\mathcal {G}}^{(j)}$ ( $j))$ 를 어느 $정도$ 제어합니다.보다 정확하게는, 이것은 큰 하위 하이퍼그래프에서 j ${displaystyle$ j $}$ $j$ 의 $j$ 밀도가 상대 밀도만을 기준으로 예상되는 것과 거의 같은 설정을 정의합니다.정식으로.

정의 [( $\delta _{j},d_{j},r$ j $\delta _{j},d_{j},r$ $\delta _{j},d_{j},r$ $\delta _{j},d_{j},r$ \ $displaystyle \delta$ _ ${j,d_{j,r})-$ 규칙성].δ $r\geq 1$ $\delta _{j},d_{j}$ ${$ 가 $\delta _{j},d_{j}$ $r\geq 1$ 의 실수이고 ≥ ${{displaystyle r\geq1}$ 이 $r\geq 1$ 정수라고 가정합니다.G (j) {\displaystyle {\mathcal {G}^{(j)}}는 G (j - 1) (j - 1) ({mathcal {G}^{(j-1)}, VI \displaystyle V_{i_{1}}, VI {i}, J_{})의 임의의 클래스에 대해 (j, dj, r {displaysty}) Q_{displaystypaystyle \displaystystystystystystystystystystystyle - 1) }{\displaystyle \mathbf {Q} ^{(j-1)}=\{Q_{1}^{(j-1)}}, G(j-1)의 G(J-1)의 \ldots,Q_{r}^{(j-1)}\}, Vij}{displaystyle{G}^{(J-1)},{(J-1)}},J_{{J_{J}}}}}(J_{J_{J}}}}}}}}}(J_{J_{J}}} $-1)}\right \geq \continues _{j}\$ left \ $mathcal {K}_{j}({\mathcal$ {G $}}^{(j-1)}[V_{i_{1}},\ldots,V_{i_$ $d({\mathcal {G}}^{(j)}\vert \mathbf {Q} ^{(j-1)})=d_{j}\pm \delta _{j}$ j})\right $}$ $d({\mathcal {G}}^{(j)}\vert \mathbf {Q} ^{(j-1)})=d_{j}\pm \delta _{j}$ 는 $d({\mathcal {G}}^{(j)}\vert \mathbf {Q} ^{(j-1)})=d_{j}\pm \delta _{j}$ ( $d({\mathcal {G}}^{(j)}\vert \mathbf {Q} ^{(j-1)})=d_{j}\pm \delta _{j}$ Q $d({\mathcal {G}}^{(j)}\vert \mathbf {Q} ^{(j-1)})=d_{j}\pm \delta _{j}$ - 1 ) $= d$ { $g}{j}{d}{$ j_bf} \ $mathcal}$ \mathcal}\bf}\bf $}\$ mathcal}\ $b$

대략적으로, 다음은 하이퍼그래프 규칙성 부제가 충분히 큰 하이퍼그래프를 분해하는 의사 무작위 블록을 설명합니다.세메레디 규칙성에서 2-에지 대 1-에지(수직)가 정규화됩니다.이 일반화된 개념에서, j{displaystyle j} - edge는 모든 2 ≤ j≤ h(displaystyle 2\leq j\leq h)에 대해 정규화된 (j-1) - edge 대 (j-1) - edge이다. 더 정확히 말하면, (l, h) - complex라고 불리는 정규 하이퍼그래프의 개념을 정의하는데, 이는 j{displaystyle}의 모든 존재를 의미한다 $($ $(j-1)$ ) { $displaystyle$ ( $j-1)}$ - 기본적인 $(j-1)$ (j - 1)예를 들어 { $\{x,y,z\}$ , $}{displaystyle \{x,$ $y,$ $z\}$ 이 $\{x,y,z\}$ $\{x,y,z\}$ 가) 3-edge이면 $\{x,y\}$ { $y},$ $\{x,z\}$ $\{x,y\}$ $\{x,z\}$ {x $,z$ $및$ $\{y,z\}$ { $z}{$ displaystyle $\{y,z\}$ $\{$ $y,z\}$ 는 $\{y,z\}$ 복합체의 2-edge입니다.게다가, 2-에지에 의해 만들어진 가능한 모든 삼각형에 대한 3-에지의 밀도는 모든 하위 하이퍼그래프 모음에서 거의 같습니다.

정의 [ $(\delta ,\mathbf {d} ,r)$ ( $(\delta ,\mathbf {d} ,r)$ $(\delta ,\mathbf {d} ,r)$ r $(\delta ,\mathbf {d} ,r)$ ) \ $displaystyle$ (\delta,\ $mathbf {d}, r$ )} - $(l,h)$ 정규 $(\delta ,\mathbf {d} ,r)$ ( $(l,h)$ ) \ $displaystyle (l, h)$ - complex $(l,h)$ ].(l, h) - 콤플렉스 G({displaystyle (l, h) - 콤플렉스 G({displaystyle \mathbf {G} = 1시간 ({\mathcal {G)}^{(j)}\}_{j=1}} l{displaystyle L} - partite J({displaystyle {G}) 그래프 G(J)의 J({displaystyle {mathcal})})를 만족하는 시스템이다산술 {K}_{j}({\mathcal {G}}^{(j-1)}}. 양의 실수 벡터가 주어진 경우, \displaystyle \mathbf {d} =(\dots_2}, \dots_{h}, d=(d, 2, ..., h) displaystyle \mathbf{d}, l, }, ≥style {h}, }, δstyledtyledisplaystyle {\style {\}, }, }, } $)$ \" $displaystyle (\displaystyle,\mathbf {d},r)}$ - 정규인 $(\delta ,\mathbf {d} ,r)$ 경우
$1\leq i_{1}<i_{2}\leq l$ 1 $1\leq i_{1}<i_{2}\leq l$ ≤ $1\leq i_{1}<i_{2}\leq l$ 1 < $1\leq i_{1}<i_{2}\leq l$ $1\leq i_{1}<i_{2}\leq l$ ≤ $1\leq i_{1}<i_{2}\leq l$ { \ $displaystyle$ 1 \ $leq$ _ ${1}$ < i_ ${2}$ \ $leq$ l $1\leq i_{1}<i_{2}\leq l$ < ${\mathcal {G}}^{(2)}[V_{i_{1}},V_{i_{2}}]$ {2} \ leq $1\leq i_{1}<i_{2}\leq l$ l [ ${\mathcal {G}}^{(2)}[V_{i_{1}},V_{i_{2}}]$ 1 ${\mathcal {G}}^{(2)}[V_{i_{1}},V_{i_{2}}]$ , ${\mathcal {G}}^{(2)}[V_{i_{1}},V_{i_{2}}]$ 2 ${\mathcal {G}}^{(2)}[V_{i_{1}},V_{i_{2}}]$ ] {\ $displaystyle {G}^{(2)}[ Vi_{i_{1}}, V_$ ${$ i_ $d_{2}\pm \delta _{2}$ $2$ $}}}$ 는 ${\mathcal {G}}^{(2)}[V_{i_{1}},V_{i_{2}}]$ $\delta _{2}$ $d_{2}\pm \delta _{2}$ $\delta _{2}$ ± 2 $d_{2}\pm \delta _{2}$ 2 \ $pm$ 의 정규 $d_{2}\pm \delta _{2}$ 를 $\delta _{2}$ .

$3\leq j\leq h$ 3 $3\leq j\leq h$ ≤ $3\leq j\leq h$ $3\leq j\leq h$ $({\displaystyle$ ${\mathcal {G}}^{(j)}$ 3 $\leq$ j $\leq$ 에 대해 ${\mathcal {G}}^{(j-1)}$ ${\mathcal {G}}^{(j)}$ G( $\delta _{j},d_{j},r$ $)$ {\displaystyle ${\$ $mathcal$ {G $}^{($ $j$ )}}는 ${\mathcal {G}}^{(j-1)}$ G( $j$ - 1 ${\mathcal {G}}^{(j-1)}$ 에 ${\mathcal {G}}^{(j-1)}$ ( $\delta _{j},d_{j},r$ $\delta _{j},d_{j},r$ $,$ r \ $delta_$ ${j$ $,d_{j,r})-$ $정규$ 입니다.

다음은 하이퍼그래프 규칙성 부제가 유도하는 공평한 분할을 설명합니다.A $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ ( $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ , $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ , $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ ) $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ {\ $displaystyle$ (\ $mu,\delta,\mathbf {d},r)}$ - 균등 $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ 분할 계열은 1-에지(수직), 2-에지(쌍), 3-에지(삼중) 등의 분할 순서입니다.이것은 꼭짓점만 분할되고 있는 세메레디의 규칙성 부제에 의해 얻은 분할과 중요한 구별입니다.사실, Gowers는^[3] 정점 분할만으로는 하이퍼그래프 계수 부제를 암시하기에 충분히 강력한 규칙성 개념을 제공할 수 없다는 것을 보여주었습니다.

정의 $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ [ ( $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ , $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ ) $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ \ $displaystyle (\mu,\delta,\mathbf {d},r)}$ - 적합한 $(\mu ,\delta ,\mathbf {d} ,r)$ 파티션.μ > 0 {\displaystyle \mu > 0}을 실수, ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1}을 정수로 하고, δ = (\displaystyle = (\display_{2}, …, δ k-1), d = (d2, …, d - 1) \d-dots의 \style \math{dbfd_1}, \d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d.a $=$ ( $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k-1})$ 1 $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k-1})$ …, $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k-1})$ - $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k-1})$ ) ${\displaystyle \mathbf$ {a} $=(a_{1},\ldots,$ a_{ $k-1}}$ 을 $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k-1})$ 양의 정수 벡터로 $V$ {\ $displaystyle$ V $V$ }를\ $displaystyle$ n개의 $n$ 꼭짓점 집합으로 $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k-1})$ .우리는 파티션 P = P (k - 1 , a ) = { P (1 ) … , P (k - 1 ) } = {\mathcal {P}(k-1,\mathbf {a}) = \{{\mathcal {P}}^{P}},\ldots,{\mathcal {P},\mathcal {p}}의 Vmathstyled,\styled,\mathbf,\styled:
${\mathcal {P}}^{(1)}=\{V_{i}\colon i\in [a_{1}]\}$ ( ${\mathcal {P}}^{(1)}=\{V_{i}\colon i\in [a_{1}]\}$ $=$ { ${\mathcal {P}}^{(1)}=\{V_{i}\colon i\in [a_{1}]\}$ : ${\mathcal {P}}^{(1)}=\{V_{i}\colon i\in [a_{1}]\}$ ${\mathcal {P}}^{(1)}=\{V_{i}\colon i\in [a_{1}]\}$ [ ${\mathcal {P}}^{(1)}=\{V_{i}\colon i\in [a_{1}]\}$ 1 ] $}$ {\ $displaystyle {\mathcal$ {P $}^{(1$ )} = \{ $V_{i}\colon$ i $\$ $in [a_{1$ }]\}는 ${\mathcal {P}}^{(1)}=\{V_{i}\colon i\in [a_{1}]\}$ V {\ $displaystyle$ V $|V_{1}|\leq \ldots \leq |V_{a_{1}}|\leq |V_{1}|+1$ 의 동등한 정점 분할입니다. 즉, $|V_{1}|\leq \ldots \leq |V_{a_{1}}|\leq |V_{1}|+1$ $|V_{1}|\leq \ldots \leq |V_{a_{1}}|\leq |V_{1}|+1$ ≤ $|V_{1}|\leq \ldots \leq |V_{a_{1}}|\leq |V_{1}|+1$ $|V_{1}|\leq \ldots \leq |V_{a_{1}}|\leq |V_{1}|+1$ $|V_{1}|\leq \ldots \leq |V_{a_{1}}|\leq |V_{1}|+1$ $|V_{1}|\leq \ldots \leq |V_{a_{1}}|\leq |V_{1}|+1$ $≤$ \ $leq1$ \ $le Qots$ \le_1 $}$ \ $le_1$ 입니다.

P (j) (\displaystyle {\mathcal {P}}^{(j)} 파티션 K j (G (1)) = Ka 1 (j) (V1, …, Va 1) ({\mathcal {K})_{j} ({\mathcal {G})^{(1)}=K_{a_{a_{1}^{(1)})}(V_ldots, J (1) -(J) J (1) J (1) -(1) J (1) -(1) -(J (1) ( ∪ i = 1 j Pi (j - 1 ) ≠ {\displaystyle {\mathcal {K}}_{j}(\cup _i = 1^{j-1)}\neq \emptyset } 그 다음 Kj(j = 1 j - 1 ) 디스플레이 스타일 {mathcal {K} {j}(j - 1 )는 대부분의 J-style partment(j-j)에 배치된다.

최대 μn k(\displaystyle \mu n^{k}) k({displaystyle k}) - tupples K ∈(V k) {\in {binom {V}}}개를 제외한 모든 경우에 고유(δ, d) \displaystyle(\d,\mathbf{d}) - 규칙적(k, k, k - 1) - 복합체 P = {P(J(J) \mathyle} \bf) \bf} \mathyle} \bf = {p} \bf} \b j ) {\displaystyle P^{(j)}}은(는) P({mathcal {P}^{(j)}} 및 K∈ K(P(k - 1) } ... K(1)의 {\displaystyle K\} {k(K)} {subset} \LDisplaystyle K\{k} {k} {k} \mathcal} \set} \mathcal} \subset입니다.

마지막으로, 다음은 파티션과 관련하여 $k$ { $displaystyle$ k}-균일 $k$ 하이퍼그래프가 규칙적이라는 것을 의미합니다.특히, 이것은 아래의 하이퍼그래프 규칙성 보조 인자의 출력을 설명하는 주요 정의입니다.

정의 [파티션에 대한 규칙성].우리는 k(displaystyle k) -그래프 H(k)({\mathcal {H}^{(k)})가 파티션 P(displaystyle P) 계열에 대해 (δk, r) -규칙적이라고 말한다. K(style K)의 K(style K)의 K-스타일 에지를 표시하는 것을 제외하고는 모두 K({k({k})만약 P = {P (j) = 1 k = 1 - 1 k = 1 k \ 1 - 1 \ P (j ) = 1 \ P (j ) } 1 \ { P^ (j ) \ \ { j } \ j 1 1 k - 1 k (k) - 1 k (k) - 1 k (k) - 1 k (k) - 1 k (k) - 1) - 1) - 1 k (k (k - 1) - 1) - 1) - k (k (k) - 1) - 1) - 1) - 1) - 1)의 고유한 특성을 갖는다 $k-1$ 그러면 $){\$ 은 ${\mathcal {H}}^{(k)}$ $($ 는) P{\displaystyle ${\mathcal$ {H}}}에 ${\mathcal {P}}$ ( $(\delta _{k},d({\mathcal {H}}^{(k)}\vert P^{(k-1)}),r)$ $(\delta _{k},d({\mathcal {H}}^{(k)}\vert P^{(k-1)}),r)$ ( $(\delta _{k},d({\mathcal {H}}^{(k)}\vert P^{(k-1)}),r)$ $)$ {\ $delta_{k$ }, d({\ $mathcal$ {H $})}\$ vert P $^{(k-1)}}}}},\vert$ P^{\ $mathcal}}}}}}$ 입니다 $(\delta _{k},d({\mathcal {H}}^{(k)}\vert P^{(k-1)}),r)$ ${\mathcal {P}}$

진술들

하이퍼그래프 규칙성 부제

모든 양의 실수 μ(\displaystyle \mu}, k(\displaystyle \displaystyle _{k}), 함수 r : N × (0, 1) k - 2 → N \displaystyle {N} \times (0, 1) ^{k - 2} ~ \mathbbbb{N} }, k - (0, 1, 1, k - 1) → (1, \displaystymathb), $k-1}$ $T_{0}$ 의 $j=2,\ldots ,k-1$ T0 $({$ 과 $T_{0}$ $({$ 0 $n_{0}$ })이 존재하므로 다음이 유지됩니다.n개의 n개의 꼭짓점에 있는 임의의 k(displaystyle k) - 균일 하이퍼그래프 H(k)({\mathcal {H}^{(k))에 대해, P = P(k - 1, a)={{P}={P}(k-1,\mathbf {a})와 벡터 d(2, k){d}({d}, k_styled}{d}{d}\mathcaltyd}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}}-1)}. r = r (a 1, d ) \displaystyle r = r (a_{1,\mathbf {d}) 및 = ( δ 2, …, δ k - 1 ) \displaystyle \mathbf = (\mathbf _{2},\ldots, \d_1) 여기서 = j (j, d-styledots) 모두에 대해 \styledstyle_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d_d.

${$ {\ $mathcal {P}}$ 는 ${\mathcal {P}}$ $(\mu ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {d} ,r)$ ( $μ$ , $)$ {\ $mu,\mathbf {d},\mathbf {d}}$ 개의 $(\mu ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {d} ,r)$ 파티션 패밀리이며 i $(\mu ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {d} ,r)$ $a_{i}\leq T_{0}$ $a_{i}\leq T_{0}$ 0(\ $displaystyle$ $a_{i$ $}\leq$ T_ ${$ $0$ 은 $i=1,\ldots ,k-1$ i $= 1$ …, $i=1,\ldots ,k-1$ - $1$ 에 대해 사용됩니다.
${\mathcal {H}}^{(k)}$ ( ${\mathcal {H}}^{(k)}$ ) {\ $displaystyle$ {\ $mathcal$ ${H}^{(k)}}$ 은 ${\mathcal {H}}^{(k)}$ $($ 는) P {\displaystyle ${\$ mathcal { $P$ 에 ${\mathcal {P}}$ (δk, r $)$ $delta_{k}}개$ 의 $(\delta _{k},r)$ 정규입니다.

하이퍼그래프 계수 부제

모든 정수 2 ≤ k ≤ l \ \ \ leq k \ leq k \ leq l }에 대해 다음과 같이 유지된다: ∀ > 0 ∀ d k > 0 ∀ d k - 1 > 0 ∀ 2 > 0 ∃ 2 > 0 δ 2 > 0 ⋯ 2 > 0 \ \ \ \ \ \ \ dtelt }의 모든 \\gt; \ \ \ \ \ d\gt; \tistsol \\tistsyl\interval_{2}>0}이(가) 존재하며 int가 있습니다 $m_{0}$ $\delta =(\delta _{2},\ldots ,\delta _{k})$ ( $\mathbf {d} =(d_{2},\ldots ,d_{k})$ $\mathbf {d} =(d_{2},\ldots ,d_{k})$ $\mathbf {d} =(d_{2},\ldots ,d_{k})$ ) $\mathbf {d} =(d_{2},\ldots ,d_{k})$ \ $mathbf {d},$ \ $ldots, d_{k$ $\delta =(\delta _{2},\ldots ,\delta _{k})$ ( $\delta =(\delta _{2},\ldots ,\delta _{k})$ $2},$ $δ$ k $\delta =(\delta _{2},\ldots ,\delta _{k})$ ) \ $displaystyle$ \mathbf $\mathbf {d} =(d_{2},\ldots ,d_{k})$ $=$ (d_{2 $}), δ$ k ) \ $displaystyle$ = (\ $dots _{$ k $\delta =(\delta _{2},\ldots ,\delta _{k})$ $mdisplaystystyle$ m_ ${k$ }, $≥$ mdisplaystystyle $mge$ { $q$ 를 $m_{0}$ $\mathbf {d} =(d_{2},\ldots ,d_{k})$ 합니다.

만약 G = {G (j) } j = 1 k \ \ \ \ \ \ mathcal {G}^{(j)}^{{\mathcal {G}}^{(j)}\{j=1}^{k}}는 꼭짓점 분할 G (1) = V (1) {\cup} {\mathcal {g}을 갖는 꼭짓점 분할 (l, k) - 정규 (l, d, \ mathbf {k) 콤플렉스이다,그리고나서

$\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ ( $\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ ( $\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ ) ) $\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ ( $\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ ± $γ$ ) $\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ ∏ $\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ = $\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ $\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ h ( $\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ h ) × $\left|{\mathcal {K}}_{l}({\mathcal {G}}^{(k)})\right|=(1\pm \gamma )\prod _{h=2}^{k}d_{h}^{\binom {l}{h}}\times m^{l}$ \ l \ $left$ \ $mathcal {K}_{l}({\mathcal {G}^{(k))\right$ =( $1\pm$ \l $)\$ right _{h $}^{k}d_{h$ }\ $binom {l}}배$ $m^{$ l $배$

적용들

대부분의 다른 사람들이 따르는 주요 응용 프로그램은 하이퍼그래프 제거 부제인데, H(k)가 F(k)의 복사본을 몇 개 포함하고 있다면 고정 F(k)({\mathcal {F}^{(k)})}와 큰 H(k)({\displaystyle {H}}^{(k)})} k(k) - 균일한 하이퍼그래프가 주어진다고 대략적으로 말한다 $splaystyle$ {\ $mathcal$ { $F}^{(k$ ${\mathcal {H}}^{(k)}$ 그러면 H(k $)$ 에서 ${\mathcal {H}}^{(k)}$ 소수의 하이퍼 에지를 삭제하여 F $(k)$ 의 복사본을 모두 제거할 수 있습니다 ${\mathcal {F}}^{(k)}$ 좀 더 공식적으로 말하자면,

하이퍼그래프 제거 부제

$l\geq k\geq 2$ l $l\geq k\geq 2$ $l\geq k\geq 2$ ≥ $l\geq k\geq 2$ {{ $displaystyle$ l $\geq$ k $\geq$ 2 $}$ 및 $l\geq k\geq 2$ $\mu >0$ μ > $\mu >0$ {\ $displaystyle \mu > 0$ 에 $\zeta >0$ 대해 $\zeta >0$ > $\zeta >0$ \ $displaystyle \zeta > 0$ 및 $n_{0}>0$ 0 > $n_{0}>0$ {\ $displaystyle n_{0}$ > $0$ 이 $n_{0}>0$ 존재하므로 다음이 유지됩니다.F $)$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {F}^{(k)}}$ 가 ${\mathcal {F}}^{(k)}$ $l$ ${\displaystyle$ l $}$ 꼭짓점에 $k$ ({\ $displaystyle$ k}-균일 $k$ ${\mathcal {H}}^{(k)}$ 이고 ${\mathcal {H}}^{(k)}$ H $)$ {\ $displaystyle {H}^{(k$ )}}는 ${\mathcal {H}}^{(k)}$ $n\geq n_{0}$ $n\geq n_{0}$ 의 $n\geq n_{0}$ 의 꼭짓점에 $n\geq n_{0}$ ${\mathcal {F}}^{(k)}$ 합니다.만약 H(k)({\mathcal {H}}^{(k)}가 F(k)({{\mathcal {F}}^{(k)}의 복사본을 최대 ζ개 포함한다면, H(k)({\mathcal {F})의 μnk({\mathcal {F})를 삭제하여 F({F})({)})를 자유롭게 표시할 수 있다.

그래프 규칙성 방법의 원래 동기 중 하나는 $\mathbb {Z}$ 의 $\mathbb {Z}$ 조밀한 부분 집합 \ $mathbb {Z}$ 이 $\mathbb {Z}$ (가) 임의의 길이의 산술 급수를 포함한다는 세메레디의 정리를 증명하는 것이었습니다.사실, 삼각형 제거 부제를 비교적 간단하게 적용하면 $,$ Z{ $displaystyle \mathbb {Z}$ 의 $\mathbb {Z}$ 모든 조밀한 부분 집합이 길이 3의 산술 급수를 포함한다는 것을 증명할 수 있습니다.

하이퍼그래프 규칙성 방법과 하이퍼그래프 제거 부제는 원래 퍼스텐버그와 카츠넬슨에 ^[4]의해 증명된 세메레디 정리의 밀도 버전의 고차원 및 고리 유사체를 증명할 수 있습니다.사실, 이 접근법은 정리에 대한 첫 번째 양적 한계를 산출합니다.

이 정리는 대략 $\mathbb {Z} ^{d}$ 의 $\mathbb {Z} ^{d}$ 한 부분 집합({ $d})$ 이 Zd의 유한 패턴({d} {\displaystyle $\mathbb {Z} ^{d}$ $\mathbb {Z}$ $^{$ $d$ d $=$ { $displaystyle$ d = $1$ } 이며 $d=1$ 패턴이 길이가 어느 정도인 산술 급수인 $d=1$ 는 세메레디의 정리와 같습니다.

퍼스텐버그와 캐츠넬슨^[4] 정리

T ${displaystyle$ $\mathbb {R} ^{d}$ T $}$ 를 $T$ $\mathbb {R} ^{d}$ 의 $\mathbb {R} ^{d}$ 부분 집합({ $d})$ 으로 $\mathbb {R} ^{d}$ $하고$ $\delta >0$ > $\delta >0$ 이 $\delta > 0$ 주어지도록 합니다.그런 다음 유한 부분 $C\subset \mathbb {R} ^{d}$ C $C\subset \mathbb {R} ^{d}$ $Z\subset C$ $Rd$ ({\ $displaystyle$ C $\$ $subset \mathbb {R}$ ^{ $d})$ 가 $C\subset \mathbb {R} ^{d}$ $Z\subset C$ 존재하므로 $|Z|>\delta |C|$ Z > $z+\lambda T$ $|Z|>\delta |C|$ C({\ $displaystyle$ Z >\ $delta$ C $|Z|>\delta |C|$ )가 $Z\subset C$ 모든 $Z$ ⊂ $C($ $z+\lambda T$ , Z + $z+\lambda T$ T $디스플레이스타일$ Z $+\lamda$ 는 T $즉$ $z+\lambda T$ 형식의 집합)의 동형 사본을 포함합니다. $z\in \mathbb {R} ^{d}$ z $z\in \mathbb {R} ^{d}$ $t\in \mathbb {R}$ $z\in \mathbb {R} ^{d}$ z $\in \mathbb {R}$ ^{d $}$ 및 $t\in \mathbb {R}$ $t\in \mathbb {R}$ {d $\in \mathbb {R$ 에 대해
또한, 만약 T ⊂ [ - t ] d {\displaystyle T\in \mathbb {N}에 대해 T ∈ [ - t; t ] d {\displaystyle T\subset [-t;t]^{d}]가 존재한다면, C = [ - N, N]와 같은 N 0 ≥ N_0의 모든 N_displaystyle C[-N] 특성을 갖는다.

제거 부제를 통해 증명될 수 있는 또 다른 일반화는 치수가 증가하도록 허용되는 경우입니다.

텐간, 도쿠시게, 뢰들, 샤흐트 정리

$A가$ 유한한 고리가 되도록 $.$ 모든 δ > 0(디스플레이 스타일 \delta > 0)에 대해, M 0({\displaystyle M\geq M_{0})에 대해, Z > δ A M(디스플레이 스타일 Z\subset A^{M})을 갖는 부분 집합 Z ⊂ A(디스플레이 스타일 Z>\delt A{M})는 A(디스플레이 스타일의 왼쪽)의 Cosystyle) 복사본을 포함한다.
즉 $r+\varphi (A)\subset Z$ r + $r+\varphi (A)\subset Z$ $\varphi \colon A\to A^{M}$ ( $r+\varphi (A)\subset Z$ Z ${{\$ $displaystyle r+\varphi$ (A)\ $subset$ Z $r+\varphi (A)\subset Z$ 와 같은 r $,$ ,u, $u$ ,\ $mathbf {u},\in$ A $^{$ $M}$ 가 $\mathbf {r} ,\mathbf {u} \in A^{M}$ 존재하며, 여기서 $\varphi \colon A\to A^{M}$ $\varphi (a)=a\mathbf {u}$ : A $\varphi \colon A\to A^{M}$ $\varphi (a)=a\mathbf {u}$ $\varphi \colon A\to A^{M}$ \ $displaystyle$ \ $varphi$ \ $toA$ M $A$ ) $= {\varphi}$ 은 $\varphi (a)=a\mathbf {u}$ (\bfi $)$ 이다.

레퍼런스

^ Rödl, V.; Nagle, B.; Skokan, J.; Schacht, M.; Kohayakawa, Y. (2005-06-07). "The hypergraph regularity method and its applications". Proceedings of the National Academy of Sciences. 102 (23): 8109–8113. doi:10.1073/pnas.0502771102. ISSN 0027-8424. PMC 1149431. PMID 15919821.
^ Tao, Terence (2006-10-01). "A variant of the hypergraph removal lemma". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 113 (7): 1257–1280. doi:10.1016/j.jcta.2005.11.006. ISSN 0097-3165.
^ ^a ^b Gowers, William (2007-11-01). "Hypergraph regularity and the multidimensional Szemerédi theorem". Annals of Mathematics. 166 (3): 897–946. doi:10.4007/annals.2007.166.897. ISSN 0003-486X.
^ ^a ^b Furstenberg, Hillel; Katznelson, Yitzhak (1978). "An ergodic Szemeredi theorem for commuting transformations". Journal d'Analyse Mathématique. 34: 275–291. doi:10.1007/BF02790016.

[1] Rödl, V.; Nagle, B.; Skokan, J.; Schacht, M.; Kohayakawa, Y. (2005-06-07). "The hypergraph regularity method and its applications". Proceedings of the National Academy of Sciences. 102 (23): 8109–8113. doi:10.1073/pnas.0502771102. ISSN 0027-8424. PMC 1149431. PMID 15919821.

[2] Tao, Terence (2006-10-01). "A variant of the hypergraph removal lemma". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 113 (7): 1257–1280. doi:10.1016/j.jcta.2005.11.006. ISSN 0097-3165.

[:1-3] Gowers, William (2007-11-01). "Hypergraph regularity and the multidimensional Szemerédi theorem". Annals of Mathematics. 166 (3): 897–946. doi:10.4007/annals.2007.166.897. ISSN 0003-486X.

[:0-4] Furstenberg, Hillel; Katznelson, Yitzhak (1978). "An ergodic Szemeredi theorem for commuting transformations". Journal d'Analyse Mathématique. 34: 275–291. doi:10.1007/BF02790016.

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