하이퍼그래프 제거 보조정리

그래프 이론에서 하이퍼그래프 제거 보조정리에서는 하이퍼그래프가 주어진 서브하이퍼그래프의 복사본을 거의 포함하지 않을 때, 적은 수의 증류제를 제거하면 모든 복사본이 제거될 수 있다고 기술하고 있다.그래프 제거 보조정리 일반화다.그래프가 사면체인 특별한 경우를 사면체 제거 보조정리라고 한다.그것은 고워스에^[1] 의해 처음 증명되었고 독립적으로 나글, 뢰들, 샤흐트, 스코칸에 의해 증명되었다.^[2]

하이퍼그래프 제거 보조마사는 스제메레디의 정리^[2], 다차원 스제메레디 정리 등의 결과를 입증하는 데 사용할 수 있다.^[2]

성명서

그 하이퍼 그래프 제거 부명제에서는 어떤 ε, r, m>0{\displaystyle \varepsilon ,r,m>0}에는 δ)δ(ε, r, m)을이 존재한다;0{\displaystyle\delta =\delta(\varepsilon ,r,m)>0}가에 대한 r{r\displaystyle}-uniform 하이퍼 그래프 H{H\displaystyle}과 m{m\displaystyle}vertices.그 following is true: if ${\displaystyle G}$ is any ${\displaystyle n}$-vertex ${\displaystyle r}$-uniform hypergraph with at most ${\displaystyle \delta n^{v(H)}}$ subgraphs isomorphic to ${\displaystyle H}$, then it is possible to eliminate all copies of ${\displaystyle H}$ from ${\displa$$최대{\displaystyle }$ $\$${\displaystyle n^{}}$ r {\displaystyle $\varepsilon n^{r}$을(를) G {\$displaystyle G$에서 제거하여$$$$ $ystyle G}.$

An equivalent formulation is that, for any graph ${\displaystyle G}$ with ${\displaystyle o(n^{v(H)})}$ copies of ${\displaystyle H}$, we can eliminate all copies of ${\displaystyle H}$ from ${\displaystyle G}$ by removing ${\displaystyle o(n^{r})}$ hyperedges.

하이퍼그래프 제거 보조정리 증명 아이디어

증거에 대한 높은 수준의 아이디어는 그래프 제거 보조정리 아이디어와 유사하다.우리는 Szemerédi의 규칙성 보조정리(Partition Hypergraphs to philosiveorandom blocks)와 계산 보조정리(적절한 의사표시의 하이퍼그래프 수를 추정)의 하이퍼그래프 버전을 증명한다.그 증거의 핵심 난이도는 하이퍼그래프 규칙성의 올바른 개념을 정의하는 것이다.하이퍼그래프에서 '파티션'과 '의사(정규) 블록'을 정의하려는 시도가^{[3][4][5][6][7][8][9][10][11][12]} 여러 차례 있었지만, 어느 것도 강력한 셈 보조마크를 줄 수 없는 것은 아니다.일반 하이퍼그래프에 대한 스제메레디의 규칙성 보조정리법의 첫 번째 정확한 정의는 뢰들 외 연구진이 제시한다.^[2]

스제메레디의 규칙성 보조정리에서는 정점(1-형성)에 칸막이를 수행하여 에지(2-형성)를 조절한다.그러나 > ${\displaystyle k>$$2$의 경우, 단순히 만을 사용하여 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -hydges의$$ 모든 j${\displaystyle j$ $-hydges$의 정보를 잃어버리고 보조자를 찾지 못하게 된다.^[13]$올바른{\displaystyle }$ 버전은 k ${\displaystyle k}$ -hydoges를$$ 조절하기 위해 $({\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (k-1)}$ -hydoges를$$ 분할해야 한다.$({\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (k-1)}$ -hydges를$$ 더 많이 제어하려면 한 단계 더 깊이 들어가 (${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle (k-2)$-hydges를$$ 분할하여 규제하는 등의 작업을 할 수 있다.결국, 우리는 혼합물을 규제하는 복잡한 구조에 도달할 것이다.

3-유니폼 하이퍼그래프에 대한 증명 아이디어

예를 들어, 우리는 프랑클과 뢰들가 처음으로 제공한 스제메르디의 규칙성 보조정리 버전을 비공식적으로 3-하이퍼그래프 버전으로 시연한다.^[14]에지 ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle 2_{}^{}}$) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle l_{}^{}}$( ${\displaystyle 2_{}^{}}$) ${\$의 파티션을 고려하십시오.$G_{1}^{(2)}\cup \dots \cup G_{l}^{(2)}}$ such that for most triples ${\displaystyle (i,j,k),}$ there are a lot of triangles on top of ${\displaystyle \left(G_{i}^{(2)},G_{j}^{(2)},G_{k}^{(2)}\right).$$}$ We say that ${\displaystyle \left(G_{i}^{(2)},G_{j}^{(2)},G_{k}^{(2)}\right)}$ is "pseudorandom" in the sense that for all subgraphs ${\displaystyle A_{i}^{(2)}\subset G_{i}^{(2)}}$ with not too few triangles on top of ${\displaystyle (A_i^{(2)}}$${\displaystyle {}_{}^{},}$ ${\displaystyle A_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle 2_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle A_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}^{}}$( 2${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \left(A_{i}^{(2)},A_{j}^{(2)},A_{k}^{$k}^{($2)\right),}$이(가) 있다.

${\displaystyle \left d\left(G_{i}^{(2)},G_{j}^{(2)},G_{k}^{(2)}\right)-d\left(A_{i}^{(2)},A_{j}^{(2)},A_{k}^{(2)}\right)\right \leq \varepsilon ,}$

여기서 $d{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, Y${\displaystyle }$, ${\displaystyle Z}$) ${\displaystyle$ $d($$X,Y$$,Z$$)}$은$($는)${\displaystyle 위}$에${\displaystyle }$있는${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 삼각형 중$$ $G{\displaystyle {}^{}}$( 3${\displaystyle {}^{}}$) ${\$에 있는$$$3$ {\$displaystyle$ 3$}$ - Uniform$$ Hyunderge의 비율을 나타낸다$$$.$

이후 정규 파티션을 정규 파티션이 아닌 부품의 3배가 파티션의 모든 3배 중 최대 $fraction$ ${\displaystyle \varepsilon }$ 부분을 구성하는 파티션으로 정의한다.

이 외에도 정점 세트의 칸막이를 통해$$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}^{}}$ $1{\displaystyle {}_{}^{}}$( 2${\displaystyle {}_{}^{}}$) , ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle {}_l^{}}$ ( ${\displaystyle 2_{}^{}}$) ${\$을 더 정규화할 필요가 있다.그 결과 다음과 같은 하이퍼그래프 정규성의 총 데이터를 확보하게 되었다.

1. $G{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle 3^{}}$) ${\$$displaystyle E(K_{n}})$를 그래프로 분할하여 G ( 3 ){\$displaystyle$G^{($3)}}}}$가 유사하게 위에 위치하도록$$ 한다.
2. (1)의 그래프가 극히 유사하게(Szemerédi의 정규성 보조기법과 유사한 $방식$으로) V${\displaystyle }$($){\displaystyle$ V(G)}의 분할.

하이퍼그래프 규칙성 보조정리 증명 후에, 우리는 보조정리 수를 세는 하이퍼그래프를 증명할 수 있다.나머지 증거는 Graph 제거 보조정리 보조정리처럼 진행된다.

스제메레디의 정리 증명

$r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle r_$${\displaystyle \{}$$k}(N)}$을(를) 길이 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\{1,\ldots$,$N$$\}$의 산술$$ 추이를 포함하지 않는$$${\displaystyle \mathrm{가장}}$ 큰 부분 집합의 크기가 되도록$$ 한다.Szemerédi의 정리에는 모든 $상수{\displaystyle }$ k$${\$displaystyle k$}에$$ $대해{\displaystyle {}_{}}$ r ${\displaystyle k_{}}$(${\displaystyle N}$) =${\displaystyle o}$ (${\displaystyle N}$) ${\displaystyle r_{k}(N)=o(N)}}$라고 명시되어 있다$.$증거의 높은 수준의 아이디어는 길이 $k{\displaystyle }$ ${\displaysty k}$의 산술적 연속이 없는 부분집합에서 하이퍼그래프를 구성한 다음 그래프 제거 보조마사를 사용하여 이 그래프가 너무 많은 혼합물을 가질 수 없다는 것을 보여주며, 이는 다시 원래의 부분집합이 너무 클 수 없다는 것을 보여준다.

$A{\displaystyle }$${\displaystyle \subset \{1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle N\}}$ ${\displaystyle$ A$\subset$ \{1$,\ldots$,N$\}}}$을(를) 길이 k {\$displaystyle k}$ 산술$$ 추이를 포함하지 않는 하위 집합으로$$ 두십시오$.$Let $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M=k^{2}N+1$}은$($는) 충분히 큰 정수여야$$ 한다.We can think of ${\displaystyle A}$ as a subset of ${\displaystyle \mathbb {Z} /M\mathbb {Z} }$. Clearly, if ${\displaystyle A}$ doesn't have length ${\displaystyle k}$ arithmetic progression in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, it also doesn't have length ${\displaystyle k}$ arithmetic p$Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ $\}.$

We will construct a ${\displaystyle k}$-partite ${\displaystyle (k-1)}$-uniform hypergraph ${\displaystyle G}$ from ${\displaystyle A}$ with parts ${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots ,V_{k}}$, all of which are ${\displaystyle M}$ element vertex sets indexed by ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathbb {Z} /M\mathbb {Z} }$. For each ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$, we add a hyperedge among vertices ${\displaystyle (v_{j}\in V_{j})_{j\in [k]\setminus \{i\}}}$ if and only if ${\displaystyle \sum _{j\neq$$i}(j-i)v_{j}\in A.}$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$을(를) $완전$한 k ${\displaystyle$k} -partite$$${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$) {\$displaysty (k-1)$-uniform$$ hypergraph가 되게$$ 한다$$.If ${\displaystyle G}$contains an isomorphic copy of ${\displaystyle H}$ with vertices ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$, then ${\displaystyle \alpha _{i}=\sum _{j\neq i}(j-i)v_{j}\in A}$ for any ${\displaystyle 1\leq i\leq j}$. However, note that ${\displaystyle \alpha _{i}}$ is a length ${\displaystyle k}$ arithmetic progression with common difference ${\displaystyle \alpha _{i+1}-\alpha _{i}=-\sum _{j}v_{j}}$. Since ${\displaystyle A}$ has no length ${\displaystyle k}$ arithmetic progression${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$α${\displaystyle }$=${\displaystyle {\alpha }_{}}$ k =$$ k {\$displaystyle \alpha _{1$}=\cdots $=\cdots =\k$ 따라서${\displaystyle \underset{j}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}{v}_{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \sum$ \$sum \j}v_{j}=0$

Thus, for each hyperedge ${\displaystyle (v_{j}\in V_{j})_{j\in [k]\setminus \{i\}}}$, we can find a unique copy of ${\displaystyle H}$ that this edge lies in by finding ${\displaystyle v_{i}=-\sum _{j\neq i}v_{j}}$.The number of copies of ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ equals ${\displaystyle {\frac {1}{k}}e(G)=O(N^{k-1})=o(N^{k})}$. Therefore, by the hypergraph removal lemma, we can remove ${\displaystyle o(N^{k-1})}$ edges to eliminate all copies of${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$. Since every hyperedge of ${\displaystyle G}$ is in a unique copy of ${\displaystyle H}$, to eliminate all copies of ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$, we need to remove at least ${\displaystyle e(G)/k}$ edges.따라서 $e{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle o}$( N ${\displaystyle k^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle e(G)=o(N^{k-1})}$.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 축약 개수는 k$$ ${\displaystyle {\mathrm{M}k}^{}}$ -${\displaystyle 2{}^{}}$ A = ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {\mathrm{N}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle kM^{k-2} A =o($${\displaystyle N}$$^{k-1$})이며$,$ ${\displaystyle 이}$는 A${\displaystyle }$=${\displaystyle o}$ ( N )${\displaystysty$ A $=o(N)}$라고 결론짓는다$.$

하이퍼그래프 제거 보조정리기의 숨겨진 상수는 역 아커만 함수를 포함하기 때문에 이 방법은 일반적으로 좋은 정량적 경계를 제공하지 않는다.For a better quantitive bound, Gowers proved that ${\displaystyle A \leq {\frac {N}{(\log \log N)^{c_{k}}}}}$ for some constant ${\displaystyle c_{k}}$ depending on ${\displaystyle k}$.^[15] It is the best bound for ${\displaystyle k\geq 5}$ so far.

적용들

• 하이퍼그래프 제거 보조정리(hypergraph remema)는 J. Solymosi에 의한 다차원 Szemerédi 정리를 증명하는 데 사용된다.^[16]그 성명 Zr의 어떤 유한 부분 집합 S{S\displaystyle}(^{r}}을 위해 어떤 δ>0{\displaystyle \delta>0}과 n{n\displaystyle}에 충분한,[n]r{\displaystyle[n]^{r}의 어떤 부분 집합}크기의 최소한δ nr{\displaystyle\delta n^{r}}이다.contains a subset of the form ${\displaystyle a\cdot S+d}$, that is, a dilated and translated copy of ${\displaystyle S}$. Corners theorem is a special case when ${\displaystyle S=\{(0,0),(0,1),(1,0)\}}$.
• 다항식 스제메레디 정리, 유한장 스제메레디 정리, 유한 아벨 그룹 스제메레디 정리 등을 증명하는 데도 사용된다.^[17][18]

참고 항목

• 그래프 제거 보조정리
• 스제메레디의 정리
• 산술 진행과 관련된 문제

참조