고차단수값분해

다중선형 대수학에서 텐서의 고차 특이치 분해(HOSVD)는 특정 직교 터커 분해입니다.이것은 행렬 특이치 분해의 일반화의 한 가지 유형으로 간주될 수 있습니다.그것은 컴퓨터 비전, 컴퓨터 그래픽, 기계 학습, 과학 컴퓨팅, 그리고 신호 처리에 응용 프로그램을 가지고 있습니다.1928년 ^[1]F. L. 히치콕까지 거슬러 올라갈 수 있는 측면도 있지만 L. R. 1960년대에 ^[2]^[3]^[4]3차 텐서용으로 일반적인 Tucker 분해를 개발한 Tucker는 L. De Lathauwer et al.^[5]에 의해 파워 방법을 사용하는 Multilinear SVD 작업에서 추가로 지지되거나, 행렬 SVD를 사용하는 병렬 알고리즘인 M-mode SVD를 개발한 Vasilescu와 Terzopoulos에 의해 지지되었습니다.

더 높은 차수의 특이값 분해(HOSVD)라는 용어가 DeLathauwer라는 이름으로 만들어졌지만, 문헌에서 HOSVD로 흔히 언급되고 Tucker 또는 DeLathauwer 중 하나에 귀속되는 알고리즘은 Vasilescu와 ^[6]^[7]^[8]Terzopoulos에 의해 개발되었습니다.HOSVD의 강건하고 L1-norm 기반 변형도 ^[9]^[10]^[11]^[12]제안되었습니다.

정의.

이 글의 목적을 위해, 추상 ${\mathcal {A}}$ A ${\mathcal {A}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {A}}$ 는 M-웨이 배열로서 일부 기저에 대해 좌표로 ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ 가정하며, 또한 A ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ ∈ ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ 1 ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ × ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ ⋯ × ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ ⋯ I ⋯ × ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\cdots \times \cdots I_{m}\cdots \times I_{M}}$ ${\mathcal {A}\in \mathbb {C}$ ^{ $I_{1}\times$ I_{ $2}\cdots \times I_{M$ 여기서 M은 모드의 수와 텐서의 차수입니다. $\mathbb {C}$ ${\$ 은 $\mathbb {C}$ 복소수이며 $\mathbb {R}$ R ${\$ 과 $\mathbb {R}$ (와) 순수 허수를 모두 포함합니다.

${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ ${\bf {U}}_{m}$ ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ ∈ ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ m × R ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ {\ $displaystyle {\bf {U$ }} $_{m}\in \mathbb {C}^{I_{m}\times$ R_ ${m}}$ 를 표준 모드-m ${\mathcal {A}}_{[m]}$ A [ m $]$ ${\displaystyle$ {\ $mathcal {A}_{m}}$ 의 {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {A}$ _{j}의 j번째 $\mathbf {u} _{j}$ $\mathbf {u} _{j}$ {\ $displaystyle {u}_{j}$ 가 $되도록$ 함 ${\bf {U}}_{m} 유형$ 은 A ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ${\$ {\ $mathcal {A}}_{[m$ 의 j번째 큰 단수 값에 해당합니다 ${\bf {U}}_{m}$ . 모드/인자 ${\bf {U}}_{m}$ ${\bf {U}}_{m}$ {\ $displaystyle$ {\ $bf {U}_{m}$ 은 ${\bf {U}}_{m}$ (는) 모드 평탄화의 특정 정의에 따라 달라지지 않습니다.다중선형 곱셈의 성질에 의해, 우리는

{\display{array}{rcl}{\mathcal {A}}&=&{\mathcal {A}}\times({\bf {I}},\ldots,{\bf {I}})\&=&{\mathcal {A}}\times({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots,{\bf {U}}_{M}^{\bf {U}}_{M}^{H}\&=\left({\mathcal {A}},{\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots,{\bf {U}_{M}^{H}\times({\bf {U}})\bf {U}_{1},{\bf {U}_{2},\ldots,{\bf {U}_{M}),\end{array}}

여기서 ⋅

\cdot ^{H}

\cdot ^{H

는 켤레 전치를 나타냅니다.두 번째 동일성은

{\bf {U}}_{m}

{\

displaystyle

{\

bf {U}}_{m

가 유니터리 행렬이기 때문입니다.지금 코어 텐서 정의

{\mathcal {S}}:={\mathcal {A}}\times({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots,{\bf {U}_{M}^{H})

그러면, A

{\

{\

mathcal {A}}

의

{\mathcal {A}}

HOSVD는^[5] 분해입니다.

{\mathcal {A}}={\mathcal {S}}\times({\bf {U}_{1},{\bf {U}_{2},\ldots,{\bf {U}_{M})

위의 구성은 모든 텐서가 HOSVD를 가지고 있음을 보여줍니다.

컴팩트 HOSVD

행렬의 콤팩트한 특이치 분해의 경우와 마찬가지로 응용에 매우 유용한 콤팩트한 HOSVD를 고려하는 것도 가능합니다.

${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ ∈ ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ × ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ m ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ {\ $displaystyle$ {\ $bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{$ m}\ $times R_{$ m}}}가 표준 인자 m ${\mathcal {A}}_{[m]}$ [ m $]$ {\ $displaystyle$ ${\$ $mathcal$ ${A$ $}}$ 의 {\displaystyle ${\mathcal$ {A} $_{m$ ${\mathcal {A}}$ 에 해당하는 좌단수 벡터의 기저를 포함하는 유니터리 열을 가진 ${\bf {U}}_{m}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ 이라고 가정합니다. C를 다음과 같이 합니다. ${\bf {U}}_{m}$ ${\$ {\ $bf {U}}_{m}$ ${\bf {U}}_{m}$ ${\bf {u}}_{r_{m}}$ ${\$ $displaystyle$ $r_{m}$ 번째 $r_{m}$ ${\bf {u}}_{r_{m}}$ ${\$ 번째 ${\bf {u}}_{r_{m}}$ 열 {\ $displaystyle$ {\ $bf {U}}_{m}$ $r_{m}$ 열 ${\$ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ 값이 ${\mathcal {A}}_{[m]}$ A [ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ${\$ {\ $mathcal {A}}_{[m$ $r_{m}$ 열에 ${\bf {U}}_{m}$ 해당하도록 정렬합니다 $.$ ${\bf {U}}_{m}$ {\displaystyle} $번째$ 열부터 입니다. ${\bf {U}}_{m}$ 는 ${\bf {U}}_{m}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ A 이미지의 기초가 됩니다 [ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {A}}_{[m$

{\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}{\mathcal {A}}_{[m]}={\bigl(}{\mathcal {A}}\times _{m}({\bf {U}}_{m}{\bf {U}}_{m}^{H}){\bigr )}_{[m]

첫 번째 등식은 (허미트 내부 곱에서) 직교 투영의 속성에 기인하고 마지막 등식은 다중 선형 곱셈의 속성에 기인합니다.평탄화는 사영 지도이고 위의 공식은

m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M

m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M

=

m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M

2

m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M

m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M

m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M

…,

m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M

M {\

displaystyle

m =

1,

2

,\ldots,

m

,\ldots,

M

m=1,2,\ldots ,m,\ldots ,M

에 대해 유효하므로, 우리는 이전과 같이 다음을 발견합니다.

{\display{array}{rcl}{\mathcal {A}}&=&{\mathcal {A}}\회({\bf {U}}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots,{\bf {U}}_{M}^{\bf {U}}_{M}^{H}\&=\left({\mathcal {A}},{\bf {U}_{1}^{H},{\bf {U}}_{2}^{H},\ldots,{\bf {U}_{M}^{H}\right)\회({\bf {U}}_{1},{\bf {U}}_{2},\ldots,{\bf {U}_{M})\&=&{\mathcal {M}S}}\times({\bf {U}_{1},{\bf {U}_{2},\ldots,{\bf {U}_{M}),\end{array}}

여기서 코어

{\mathcal {S}}

S

{\mathcal {S}}

{\

displaystyle

{\

mathcal {S}}

는 이제

R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}

R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}

1

R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}

×

R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}

× ⋯ ×

R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}

M

R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}

{\

displaystyle

R_

{1}\times

R_

{2}\times

\

cdots \times

R_

{M

입니다.

다선순위

A ${\$ {\ $mathcal {A}}$ 의 ${\mathcal {A}}$ 다중 선형^[1] 순위는 랭크- $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ {\ $displaystyle (R_{1}, R_{2},\ldots, R_{M$ 로 표시됩니다.다중 선형 순위는 $\mathbb {N} ^{M}$ {\ $displaystyle \mathbb {N}^{M}$ 의 튜플입니다. $R_{m}:=\mathrm {rank} ({\mathcal {A}}_{[m]})$ 서 $R_{m}:=\mathrm {rank} ({\mathcal {A}}_{[m]})$ := $R_{m}:=\mathrm {rank} ({\mathcal {A}}_{[m]})$ ( $R_{m}:=\mathrm {rank} ({\mathcal {A}}_{[m]})$ $R_{m}:=\mathrm {rank} ({\mathcal {A}}_{[m]})$ ] ) $R_{m}:=\mathrm {rank} ({\mathcal {A}}_{[m]})$ {\ $displaystyle R_{m$ }:=\ $mathrm {rank}({\mathcal {A}_{[m$ $\mathbb {N} ^{M}$ {\ $displaystyle \mathbb {N}^{M}$ 의 모든 튜플이 다중 선형 순위는 아닙니다.다중 선형 순위는 1 $1\leq R_{m}\leq I_{m}$ $1\leq R_{m}\leq I_{m}$ m $1\leq R_{m}\leq I_{m}$ $1\leq R_{m}\leq I_{m}$ ${\displaystyle$ 1 $\leq$ R_ ${m}\leq I_{m}$ 로 제한되며 R m ${\textstyle R_{m}\leq \prod _{i\neq m}R_{i}}$ i ≠ ${\textstyle R_{m}\leq \prod _{i\neq m}R_{i}}$ ${\textstyle R_{m}\leq \prod _{i\neq m}R_{i}}$ {\ $textstyle$ R_ ${m}\leq \prod$ _ ${i\neq$ m} $R_{i}$ 가 있어야 ${\textstyle R_{m}\leq \prod _{i\neq m}R_{i}}$ .

콤팩트 HOSVD는 코어 텐서의 차원이 텐서의 다중 선형 순위의 구성 요소와 일치한다는 점에서 순위 공개 분해입니다.

해석

다음과 같은 기하학적 해석은 전체 HOSVD와 컴팩트 HOSVD 모두에 유효합니다.( $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ 1 $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ 2 $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ {\ $displaystyle (R_{1}, R_{2},\ldots,R_{M}}$ 를 ${\mathcal {A}}$ A ${\mathcal {A}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {A$ 의 다중선 순위라고 하자 $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ ${\mathcal {S}}\in {\mathbb {C} }^{R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}}$ ∈ ${\mathcal {S}}\in {\mathbb {C} }^{R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}}$ R ${\mathcal {S}}\in {\mathbb {C} }^{R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}}$ × ${\mathcal {S}}\in {\mathbb {C} }^{R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}}$ 2 × ⋯ × ${\mathcal {S}}\in {\mathbb {C} }^{R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}}$ ${\mathcal {S}}\in {\mathbb {C} }^{R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{M}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {S}}\in$ {\ $mathbb {C}^{R_{1}\times$ R_ ${2}\times$ \ $cdots \times$ R_ ${M}}$ 를 다차원 배열이라고 하면 다음과 같이 확장할 수 있습니다.

{\mathcal {S}}=\sum _{r_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{r_{2}=1}^{R_{2}}\cdots \sum _{r_{M}=1}^{R_{1}},r_{2},\ldots,r_{M}}\mathbf {e} _{r_{1}}\otimes \mathbf {e} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{r_{M}}

\mathbf {e} _{r_{m}}

서

\mathbf {e} _{r_{m}}

{\

_

{r_{m}}

는

\mathbf {e} _{r_{m}}

{\mathbb {C} }^{I_{m}}

{\mathbb {C} }^{I_{m}}

{\

displaystyle

{\

mathbb {C}}^{I_{m

의

r_{m}

{\

displaystyle r_{m}

번째

r_{m}

표준 기저 벡터입니다. 다중 선형 곱셈의 정의에 의해, 다음이 성립합니다.

{\mathcal {A}}=\sum _{r_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{r_{2}=1}^{R_{2}}\cdots \sum _{r_{M}=1}^{R_{1}},r_{2},\ldots,r_{M}\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}

여기서

\mathbf {u} _{r_{m}}

\mathbf {u} _{r_{m}

는

{\bf {U}}_{m}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times R_{m}}

∈

{\bf {U}}_{m}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times R_{m}}

{\bf {U}}_{m}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times R_{m}}

{\bf {U}}_{m}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times R_{m}}

×

{\bf {U}}_{m}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times R_{m}}

{\bf {U}}_{m}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times R_{m}}

{\

displaystyle {U}}_{m}\in

{\

mathbb {C}^{I_{m}\times

R_

{m

의 열입니다. B = {

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

⊗

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

2 ⋯ ⊗ ⊗ r

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

M

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

}

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

,

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

r

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

…,

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

{\

displaystyle

B =

\{\mathbf {

u} _

{r_{1}}\otimes \mathbf {

u

}

_{

r_{2}}\otimes \mathbf

{u} _{r_{M}}\otimes

\mathbf

{

u

} _

{r_{M}}

\}_{r_{1},r_{2},\ldots,r_{M}}

은

B=\{\mathbf {u} _{r_{1}}\otimes \mathbf {u} _{r_{2}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{r_{M}}\}_{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{M}}

(는) 정규 텐서 집합입니다.이는 HOSVD가 다차원

{\mathcal {S}}

S

{\mathcal {S}}

{\

displaystyle

{\

mathcal {S

로 주어진 계수를 사용하여 특별히 선택된 정규

기저

B

{\

displaystyle

B

}

에

B

대한

{\mathcal {A}}

A

{\mathcal {A}}

{\

displaystyle {A}

를

{\mathcal {A}}

표현하는 방법으로 해석될 수 있음을 의미합니다.

계산

A ∈ ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}$ ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}$ × ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}$ 2 ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}$ × ⋯ × I ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}$ ${\displaystyle$ {\ $mathcal$ ${A}}\in$ {\ $mathbb {C}^{I_{1}\times$ I_ ${2}\times \cdots \times$ I_ ${$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $}}$ 를 랭크- $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $\mathbb {R}$ 1 $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ 2 $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ R $(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{M})$ {\ $displaystyle$ $(R_{1},$ $R_{$ $2},\ldots, R_{$ $M}}$ 를 하위 집합으로 $\mathbb {C}$ 하는 텐서라고 ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}$ .

고전적 계산

Multilinear SVD와 M-mode SVD를 계산하는 전략은 1960년대 L. R.에 의해 소개되었습니다. Tucker, L.^[3] De Lathauwer et al.,^[5] 그리고 Vasilescu와 ^[8]^[6]Terzopulous에 의해 더욱 옹호되었습니다.HOSVD라는 용어는 Lieven De Lathauwer에 의해 만들어졌지만, 일반적으로 문헌에서 HOSVD로 언급된 알고리즘은 M-mode SVD라는 이름을 가진 Vasilescu와 Terzopoulos에^[6]^[8] 의해 소개되었습니다.정규 모드 행렬을 계산하기 위해 행렬 SVD를 사용하는 병렬 계산입니다.

M-모드 SVD:^[6]^[8]

형식 = $m=0,1,\ldots ,M$ $m=0,1,\ldots ,M$ $m=0,1,\ldots ,M$ $m=0,1,\ldots ,M$ ${\displaystyle$ m= $0, 1,\ldots, M$ 에서 다음을 수행합니다.

mode-m ${\mathcal {A}}_{[m]}$ A [ ${\mathcal {A}}_{[m]}$ ] ${\mathcal {A}}_{[m]}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {A}}_{[m$
(단수) 특이값 ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {\Sigma }}_{m}{\bf {V}}_{m}^{T}$ A [ ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {\Sigma }}_{m}{\bf {V}}_{m}^{T}$ ] = ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {\Sigma }}_{m}{\bf {V}}_{m}^{T}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {\Sigma }}_{m}{\bf {V}}_{m}^{T}$ m ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {\Sigma }}_{m}{\bf {V}}_{m}^{T}$ m ${\mathcal {A}}_{[m]}={\bf {U}}_{m}{\bf {\Sigma }}_{m}{\bf {V}}_{m}^{T}$ {\ $mathcal$ {A}_ ${[m]}$ = ${\bf$ {U $}}$ _{ $m}{\bf {\Sigma}}}_{\bf {V}^{$ $T$ 그리고 왼쪽 단수 ${\bf {U}}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ U $∈$ ${\bf {U}}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ m × ${\bf {U}}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ ${\bf {U}}\in \mathbb {C} ^{I_{m}\times R_{m}}$ {\ $displaystyle$ {\ $bf {U}}\in \mathbb {C}^{I_{m}\times$ R_ ${m$

다중선형 ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ S를 통해 코어 ${\mathcal {S}}$ S ${\mathcal {S}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {S}}$ 를 계산합니다 = ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ × ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ × ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ U ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ H × ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ U ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ … × ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ U ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ ${\mathcal {S}}={\mathcal {A}}\times _{0}{\bf {U}}_{0}^{H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}_{2}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {S$ }} = {\ $mathcal {A}}\times$ _ ${0}{\bf {U}}_{0}^{$ $H}\times _{1}{\bf {U}}_{1}^{H}\times _{2}{\bf {U}}^{H}\ldots \times _{m}{\bf {U}}_{m}^{H}\ldots \times _{M}{\bf {U}}_{M}^{H}}$

인터레이스 연산

일부 또는 $r_{k}\ll n_{k}$ r $r_{k}\ll n_{k}$ ≪ k {\ $displaystyle r_{k}\$ ll n_ ${k}}$ 이(가) 코어 텐서와 인자 행렬의 계산을 다음과 같이 인터레이스하는 것으로 구성될 때 훨씬 더 빠른 전략입니다.

${\mathcal {A}}^{0}={\mathcal {A}}$ A 0 = ${\displaystyle$ {\ $mathcal {A}}^{0$ }={\ $mathcal {A$
$m=0,1,2\ldots ,M$ = $m=0,1,2\ldots ,M$ $m=0,1,2\ldots ,M$ $m=0,1,2\ldots ,M$ $m=0,1,2\ldots ,M$ {\ $displaystyle$ m= $0, 1, 2\ldots, M}$ 은(는) 다음을 수행합니다.
1. 표준 모드-m ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}$ A ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}$ [ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}$ ] ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}$ - ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}$ {\ $displaystyle {\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1$
2. (단수) 특이값 ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ A [ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ] ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ - ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ = ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}=U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ T ${\mathcal {A}_{[m]}^{m-1$ }= $U_{m}\Sigma$ _ ${m}V_{m}^{$ $T$ 그리고 $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$ $∈$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$ × $U_{m}\in F^{I_{m}\times R_{m}}$ m {\ $displaystyle U_{m}\in$ F $^{$ $I_{m}\times$ R_ ${m$
3. ${\mathcal {A}}^{m}=U_{m}^{H}\times _{m}{\mathcal {A}}^{m-1}$ ${\mathcal {A}}^{m}=U_{m}^{H}\times _{m}{\mathcal {A}}^{m-1}$ = ${\mathcal {A}}^{m}=U_{m}^{H}\times _{m}{\mathcal {A}}^{m-1}$ H × ${\mathcal {A}}^{m}=U_{m}^{H}\times _{m}{\mathcal {A}}^{m-1}$ ${\mathcal {A}}^{m}=U_{m}^{H}\times _{m}{\mathcal {A}}^{m-1}$ - ${\mathcal {A}}^{m}=U_{m}^{H}\times _{m}{\mathcal {A}}^{m-1}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {A}}^{m$ }= $U_{m}^{$ $H}\times$ _ ${m}{\mathcal {A}}^{m-1$ 또는 이와 동등하게 ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ [ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ] ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ $=$ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m}=\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {A}_{[m]}^{m$ } $=$ \ $Sigma$ _ ${m}V_{m}^{T$

인플레이스 계산

HOSVD는 HOSVD 코어 텐서에 의해 원래 텐서를 덮어써 Fused In-place Sequently Truncated Higher Order Singular Value Decomposition(FIST-HOSVD) 알고리즘을 통해 제자리에서 계산할 수 있으며, 이는 HOSVD 계산의 메모리 소비를 크게 줄입니다.

근사

아래에 언급된 것과 같은 응용 프로그램에서 일반적인 문제는 주어진 ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ A ∈ ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ 1 ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ × ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ × ⋯ × ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ ⋯ × ${\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{m}\cdots \times I_{M}}$ M ${\displaystyle$ {\ $mathcal {A}}\in \mathbb {C}^{I_{1}\times$ I_ ${2}\times$ \ $cdots \times$ I_ ${m}\cdots \times$ I_ ${M}$ 를 감소된 다중 선형 순위로 1개 근사화하는 것으로 구성됩니다.형식적으로, A ${\displaystyle$ {\ $mathcal {A}}$ 의 다중선형 랭크를 $\mathrm {rank-} (R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m},\ldots ,R_{M})$ - $\mathrm {rank-} (R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m},\ldots ,R_{M})$ ( $\mathrm {rank-} (R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m},\ldots ,R_{M})$ $\mathrm {rank-} (R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m},\ldots ,R_{M})$ …, $\mathrm {rank-} (R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m},\ldots ,R_{M})$ …, $\mathrm {rank-} (R_{1},R_{2},\ldots ,R_{m},\ldots ,R_{M})$ {\ $displaystyle \mathrm {rank-}$ ( $R_{1}, R_{2},\ldots, R_{m},\ldots, R_{M$ 로 표시하면, 주어진 $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ 된 $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ 에 대해 A ${\displaystyle$ ${\$ $mathcal$ ${\bar$ { $A$ $}}}$ 에 ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {\bar {A}}}$ 의 A ${\mathcal {\bar {A}}}$ ¯ {\displaystyle {\mathcal {A $}}$ 를 계산합니다. $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ k - $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ ( $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ …, $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ …, $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ ) $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ {\ $displaystyle \mathrm {rank-} {\bar {R}_{1},$ {\ $bar {R}_{2},\ldots,$ {\ $bar {R}_{m},\ldots,$ {\ $bar {R}_{M}}}$ 는 $\mathrm {rank-} ({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{m},\ldots ,{\bar {R}}_{M})$ 비선형 비볼록 ≥ $\ell _{2}$ {\ $displaystyle \ell$ _ ${2}}$ -최적화 $\ell _{2}$ 문제입니다.

\min _{\mathcal {\bar {A}}\in \mathbb {C}^{I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{M}}{\frac {1}{2}}\{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}\{F}^{2}\quad {\text{s.t.}}\quad \mathrm {rank-}({\bar {R}_{1}, {\bar {R}_{2},\ldots, {\bar {R}_{M}),

여기서

({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}

(

({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}

≥

({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}

({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}

≥

({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}

({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}

R ≥

({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}

) ∈

1\leq {\bar {R}}_{m}<R_{m}\leq I_{m}

M

{\displaystyle({\bar {R}_{1},

{\

bar {R}_{2},\ldots,

{\

bar {R}_{M})\in \mathbb {N}^{M

}

({\bar {R}}_{1},{\bar {R}}_{2},\ldots ,{\bar {R}}_{M})\in \mathbb {N} ^{M}

1\leq {\bar {R}}_{m}<R_{m}\leq I_{m}

1\leq {\bar {R}}_{m}<R_{m}\leq I_{m}

1\leq {\bar {R}}_{m}<R_{m}\leq I_{m}

1\leq {\bar {R}}_{m}<R_{m}\leq I_{m}

m

{\displaystyle 1\leq

{

R}_

{

m}<R_{m}\leq

I_

{m

이며, ‖

\|.\|_{F}

{\

displaystyle

\

.\_{

F}}는 프로베니우스 표준입니다.

이 최적화 문제를 해결하기 위한 간단한 아이디어는 고전적인 계산이나 인터레이스 계산의 2단계에서 (콤팩트한) SVD를 잘라내는 것입니다.고전적 계산에서 2단계를 대체함으로써 고전적으로 절단된 HOSVD가 얻어집니다.

순위 계산 - ${\bar {R}}_{m}$ ¯ ${\bar {R}}_{m}$ {\ $displaystyle$ {\ $bar {R}}_{m}$ 절단 ${\mathcal {A}}_{[m]}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ A [ ${\mathcal {A}}_{[m]}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ] ≈ ${\mathcal {A}}_{[m]}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ σ m ${\mathcal {A}}_{[m]}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ${\mathcal {A}}_{[m]}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ T ${\mathcal {A}}_{[m]}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {A}_{[m]}\근 U_{m}\Sigma$ _ ${m}V_{m}^{$ $T$ ${\bar {R}}_{m}$ R $¯$ ${\bar {R}}_{m}$ ${\displaystyle$ {\ $bar {R}}_{$ m $}$ 좌단수 $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ U $∈$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ $¯$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ $r$ F $i$ F $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ $m$ F $the$ F $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ ${$ F $t$ F $¯$ F $style$ F $f$ F $m$ F $×$ F $m$ F $∈$ F ${$ F $in$ F $,$ F $u$ F ${$ F $store$ F $¯$ F $and$ F $\$ F $}}$ F $style$ F $\$ F ${$ F $r$ F $I_{m}\회$ {\ $bar {R}}_{m$

순차적으로 절단된 HOSVD(또는 연속적으로 절단된 HOSVD)는 인터레이스 계산에서 단계 2를 대체함으로써 얻어집니다.

순위 ${\bar {R}}_{m}$ - R ¯ ${\bar {R}}_{m}$ {\ $displaystyle$ {\ $bar {R}}_{m}$ 절단 ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ [ m ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ] ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ - ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ ≈ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ σ ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ v ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ V ${\mathcal {A}}_{[m]}^{m-1}\approx U_{m}\Sigma _{m}V_{m}^{T}$ m]}^{ $m-1}\근접$ U_{m}\ $Sigma_{m}V_{$ m $}^{$ $T$ ${\bar {R}}_{m}$ R $¯$ ${\bar {R}}_{m}$ ${\displaystyle$ {\ $bar {R}}_{$ m $}$ 좌단수 $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ U $∈$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ $¯$ $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ $r$ F $i$ F $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ $m$ F $the$ F $U_{m}\in F^{I_{m}\times {\bar {R}}_{m}}$ ${$ F $t$ F $¯$ F $style$ F $f$ F $m$ F $×$ F $m$ F $∈$ F ${$ F $in$ F $,$ F $u$ F ${$ F $store$ F $¯$ F $and$ F $\$ F $}}$ F $style$ F $\$ F ${$ F $r$ F $I_{m}\times$ {\ $bar {R}}_{m$ 유감스럽게도 잘림으로 인해 최적의 낮은 다중 선형 순위 최적화 문제가 해결되지 않습니다.^[5]^[6]^[14]^[16]그러나 고전적 및 인터리빙된 절단된 HOSVD 모두 준최적 솔루션이 됩니다. ${\mathcal {\bar {A}}}_{t}$ ¯ ${\mathcal {\bar {A}}}_{t}$ {\ $displaystyle {\bar {A}}_{t}$ 가 고전적 또는 순차적으로 절단된 HOSVD를 ${\mathcal {\bar {A}}}^{*}$ A ¯ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {\bar {A}}^{*}$ 가 최적의 낮은 다중 선형 랭크 근사 문제 해결책을 나타냅니다. $\{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}_{t}\{F}\leq {\sqrt {M}}\{\mathcal {A}}-{\mathcal {\bar {A}}^{*}\_{F};$ 실제로 이는 오차가 작은 최적의 솔루션이 존재하는 경우 여러 목적을 위해 절단된 HOSVD도 충분히 우수한 솔루션을 산출할 수 있음을 의미합니다.

적용들

HOSVD는 멀티웨이 어레이에서 관련 정보를 추출하는 데 가장 일반적으로 적용됩니다.

2000년대 초반부터 바실레스쿠는 데이터 분석, 인식 및 합성 문제를 다중 선형 텐서 문제로 재구성하여 인과적 질문을 해결했습니다.텐서 프레임워크의 힘은 보행 인식,^[18] 얼굴 인식을 위한 인간 모션 시그니처의 맥락에서 데이터 형성의 인과 요소 측면에서 이미지를 분해하고 표현함으로써 보여졌습니다.TensorFaces^[19]^[20] 및 컴퓨터 그래픽스—텐서 텍스쳐.^[21]

HOSVD는 게놈 신호 ^[22]^[23]^[24]처리와 같은 신호 처리 및 빅데이터에 성공적으로 적용되었습니다.또한 이러한 애플리케이션은 고차 GSVD(HO GSVD)^[25]와 텐서 GSVD에 ^[26]영감을 주었습니다.

HOSVD와 SVD의 조합은 또한 ^[27]질병 감시에서 복잡한 데이터 스트림(공간 및 시간 차원이 있는 다변량 데이터)으로부터 실시간 이벤트 감지를 위해 적용되었습니다.

텐서 제품 모델 변환 기반 컨트롤러 ^[28]^[29]설계에도 사용됩니다.

HOSVD의 개념은 TP 모델 변환을 통해 Baranyi와 ^[28]^[29]Yam에 의해 기능으로 옮겨졌습니다.이 확장은 텐서 곱 함수의 HOSVD 기반 표준 형태와 선형 매개변수 가변 시스템^[30] 모델의 정의 및 볼록 선체 조작 기반 제어 최적화 이론으로 이어졌습니다(제어 이론의 TP 모델 변환 참조).

HOSVD는 다시점 데이터^[31] 분석에 적용하기 위해 제안되었으며 유전자 ^[32]발현으로부터 in silico 약물 발견에 성공적으로 적용되었습니다.

강건한 L1-norm 변이체

L1-터커는 L1 노름 기반의 강력한 터커 ^[10]^[11]분해 변형입니다.L1-HOSVD는 L1-터커의 ^[10]^[12]용액에 대한 HOSVD와 유사합니다.

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