텐서 제품 모델 변환

수학에서는 함수의 고차 단수 값 분해를 위한 핵심 개념으로 바라니와 Yam에^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] 의해 텐서 제품(TP) 모델 변환이 제안되었다.그러한 변환이 가능하다면 기능(폐쇄식이나 신경망, 퍼지 논리 등을 통해 제공될 수 있다)을 TP 함수 형태로 변환한다.정확한 변환이 불가능한 경우, 이 방법은 주어진 함수의 근사치인 TP 함수를 결정한다.따라서, TP 모델 변환은 근사 정확도와 복잡성 사이의 절충을 제공할 수 있다.^[6]

TP 모델 변환의 무료 MATLAB 구현은 [1]에서 다운로드할 수 있으며, 이전 버전의 툴박스는 [2] MATLAB Central에서 사용할 수 있다.변환의 핵심 기초는 고차 단수 값 분해다.^[7]

기능의 변환일 뿐만 아니라, TP 모델 변환은 식별과 다국어 시스템 이론 사이의 브리징을 위한 귀중한 수단을 제공하는 데 중심적인 역할을 하는 QLPV 기반 제어의 새로운 개념이기도 하다.TP 모델 변환은 다상체 형태의 볼록한 선체를 조작하는 데 독특하게 효과적이며, 그 결과 볼록한 선체 조작이 현대 LMI 기반 제어 이론에서 최적의 솔루션을 달성하고 보수성을^[8]^[9]^[2] 감소시키는 데 필요하고 중요한 단계라는 사실을 밝혀내고 증명했다.따라서 수학적 의미에서의 변환이지만, 제어 이론에서 개념적으로 새로운 방향을 확립하고 최적성을 향한 더 새로운 접근방식의 토대를 마련했다.TP 모델 변환의 제어 이론 측면에 대한 자세한 내용은 여기에서 확인할 수 있다: 제어 이론의 TP 모델 변환.

TP 모델 변환은 여기서 추가 정보를 찾을 수 있는 "HOSVD 형식 TP 기능"^[10]의 정의에 동기를 부여했다.TP 모델 변환은 이 HOSVD를 기반으로 한 표준 형태를 수치적으로 재구성할 수 있다는 것이 증명되었다.^[11]따라서 TP 모델 변환은 함수의 HOSVD를 계산하는 수치적 방법으로 볼 수 있으며, 이는 주어진 함수에 TP 함수 구조가 있으면 정확한 결과를 제공하고, 그렇지 않으면 근사치 결과를 제공한다.

다양한 형태의 볼록 TP 기능을 도출하고 이를 조작하기 위해 TP 모델 변환이 최근 확장되고 있다.^[3]이 특성은 제어 이론의 TP 모델 변환에서 설명한 대로 QLPV 시스템 분석 및 설계에서 새로운 최적화 접근방식으로 이어졌다.

정의들

유한요소 TP함수: 주어진 함수 $f({\mathbf {x} })$ ( $f({\mathbf {x} })$ ) ${\displaystyle$ f $({\mathbf {x$ 여기서 x $\mathbf {x} \in R^{N}$ R $\mathbf {x} \in R^{N}$ ${\$ 은 다음과 같은 구조를 가진 경우 TP 함수다.

f(\mathbf {x} )=\sum _{i_{1}=1}^{{}I_{1}:{1}\sum _{i_{2}=1}^{I_{2}}\ldots \sum _{i_{N}=1}^{I_{{N}}\prod _{n=1}^{{N}w_{n,i_{n}}s_{n}s_{n1},i_{2},\ldots,i_{N},

즉, 콤팩트 텐서 표기법 사용(의 $\otimes$ 텐서 제품 작업 $\otimes$ $\otimes$ 사용):

f(\mathbf {x} )={\mathcal {S}\mathop {\otimes } _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n}),}

여기서 코어 텐서 S ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}}$ R ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}}$ ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}}$ ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}}$ I ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}}$ … × ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}}$ N ${\$ {\ $mathcal {S}\in$ {\ $mathcal$ {R $}^{{}}$ $I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}}}$ is constructed from $s_{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$ , and row vector $\mathbf {w} _{n}(x_{n}),(n=1\ldots N)$ contains continuous univariate weighting functions $w_{n,i_{n}}(x_{n}),(i_{n}=1\ldots I_{n})$ $w_{n,i_{n}}(x_{n}),(i_{n}=1\ldots I_{n})$ , $w_{n,i_{n}}(x_{n}),(i_{n}=1\ldots I_{n})$ ( $w_{n,i_{n}}(x_{n}),(i_{n}=1\ldots I_{n})$ $w_{n,i_{n}}(x_{n}),(i_{n}=1\ldots I_{n})$ = $w_{n,i_{n}}(x_{n}),(i_{n}=1\ldots I_{n})$ … I $w_{n,i_{n}}(x_{n}),(i_{n}=1\ldots I_{n})$ ) ${\displaystyle w_{n,i_{n}}(x_{n$ }), $(i_{n}=1\ldots I_{n$ The function $w_{n,i_{n}}(x_{n})$ is the $i_{n}$ -th weighting function defined on the $n$ -th dimension, and $x_{n}$ is the $n$ -the element of vector $\mathbf {x}$ . 유한요소란 $I_{n}$ ${\$ 가 $모든$ n ${\displaystyle$ n}에 대해 경계됨을 $I_{n}$ 의미한다 $n$ qLPV 모델링 및 제어 어플리케이션의 경우 TP 기능의 상위 구조를 TP 모델이라고 한다.

유한요소 TP 모델(단축 TP 모델): TP 기능의 상위 구조:

{\mathbf {x}}={\mathcal {S}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})}

Here ${\mathcal {Y}}={\mathcal {F}}({\mathbf {x} })$ is a tensor as ${\mathcal {Y}}\in {\mathcal {R}}^{L_{1}\times L_{2}\times \ldots L_{O}}$ , thus the size of the core tensor is ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}\times L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}}$ ${\$ $I_{1}\time I_{2}\time \dots \time I_{N}\time L_{1}\time L_{2}\$ $\time L_{$ $O$ ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {R}}^{I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{N}\times L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}}$ 제품 운영자 ${{\displaystyle \boxtimes }}$ 은(는) $\otimes$ ${\displaystyle \otimes$ }과(와 $\otimes$ 같은 역할을 하지만 $\boxtimes$ tensor 제품이 $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ . $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ . . $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ × $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ $L_{1}\times L_{2}\times ...\times L_{O}$ ${\$ $\times L_{O}}$ sized tensor elements of the core tensor ${\mathcal {S}}$ . Vector $\mathbf {x}$ is an element of the closed hypercube ${\displaystyle \Omega =[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times$ $...\time [a_{N},b_{N}]\subset$ R $^{N$

유한요소 볼록 TP 함수 또는 모델: 가중치 기능이 다음을 유지하는 경우 TP 기능 또는 모델은 볼록하다.

{\displaystyle \forall

I_{n}w_{n,i_{n}}=1}

및

\forall n:\sum _{i_{n}=1}^{I_{n}}w_{n,i_{n}}(x_{n})=1

w_{n,i_{n}}(x_{n})\in [0,1].

w_{n,i_{n}}(x_{n})\in [0,1].

(

w_{n,i_{n}}(x_{n})\in [0,1].

n})

w_{n,i_{n}}(x_{n})\in [0,1].

[

w_{n,i_{n}}(x_{n})\in [0,1].

1 ] . {\

displaystyle w_{n,i_

}}}{

n}}.[0,1].

}

$f(\mathbf {x} )$ $,$ $f(\mathbf {x} )$ ( x $f(\mathbf {x} )$ ) ${\displaystyle$ f $(\$ $mathbf$ ${x} )}$ 이( $가)$ 모든 $\mathbf {x} \in \Omega$ $∈$ $\mathbf {x} \in \Omega$ 에 대해 코어 텐서( $tensor$ )에 의해 정의된 볼록 선체 내부에 있다는 것을 $f(\mathbf {x} )$ 의미한다 $\mathbf {x} \in \Omega$

TP 모델 변환: Assume a given TP model ${\mathcal {Y}}={\mathcal {F}}(\mathbf {x} )$ , where $\mathbf {x} \in \Omega \subset R^{N}$ , whose TP structure maybe unknown (e.g. it is given by neural networks).TP 모델 변환은 TP 구조를 다음과 같이 결정한다.

{\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})

(

{\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})

)

{\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})

=

{\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})

{\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})

= 1

{\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})

{\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})

n

{\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})

(

{\mathcal {F}}(\mathbf {x} )={\mathcal {S}}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n})

n

){\displaystyle {\mathbf

{

x}}}={\mathbal {F}(\mathbf

{x

})={n=1}^{N}\mathbf {w} _{n

.

namely it generates the core tensor ${\mathcal {S}}$ and the weighting functions $\mathbf {w} _{n}(x_{n})$ for all $n=1\ldots N$ . Its free MATLAB implementation is downloadable at [3] or at MATLAB Central [4].

주어진 ${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )$ ( ${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )$ ) ${\mathcal {F}(\mathbf {x} )$ 이(가) TP 구조(즉, TP 모델의 등급에 속하지 않음)가 없는 ${\mathcal {F}}(\mathbf {x} )$ 경우, TP 모델 변환은 근사를 결정한다.^[6]

{\mathbf {x}}\mathcal {S}\boxtimes _{n=1}^{N}\mathbf {w} _{n}(x_{n}),}

여기서 복잡성(핵심 텐서 내 구성요소 수 또는 가중치 함수의 개수)과 근사 정확도 사이의 TP 모델 변환에 의해 절충이 제공된다.TP 모델은 다양한 제약에 따라 생성될 수 있다.TP 모델 변환에 의해 생성된 대표적인 TP 모델은 다음과 같다.

HOSVD 표준 형태의 TP 기능 또는 TP 모델(qLPV 모델),
다양한 종류의 TP형 다면체 형태 또는 볼록 TP 모델 형태(이 장점은 QLPV 시스템 분석 및 설계에 사용된다).

TP 모델 변환의 속성

제어이론에서 처음 제안된 비 휴리스틱하고 다루기 쉬운 수치법이다.^[1]^[4]
주어진 기능을 유한요소 TP 구조로 변환한다.이 구조가 존재하지 않는 경우, 변환은 요소의 수에 대한 제약조건 하에서 근사치를 제공한다.
그것은 분석적 상호작용 없이 균일하게 실행될 수 있다(물리적 고려에서 기인하는 해석 방정식의 형태 또는 연성 컴퓨팅 기반 식별 기법(신경망이나 퍼지 논리 기반 방법 또는 블랙박스 식별의 결과)의 결과로서 모델이 주어지는지에 관계없이,적당한 시간 내에따라서, 변환은 분석적, 그리고 많은 경우에 복잡하고 명확하지 않은 수치적, 추적가능하고 직접적인 연산으로의 변환을 대체한다.
고유 표현인 HOSVD 기반의 표준형 TP 기능을 생성한다.^[10]TP 모델 변환은 숫자로 함수의 HOSVD를 재구성한다는 것이 Szeidl에 의해 증명되었다.이 형태는 다음과 같은 방식으로 텐서 및 행렬에 대한 HOSVD와 동일한 의미로 주어진 TP 기능의 고유한 구조를 추출한다.

치수당 가중치 함수의 수를 최소화한다(코어 텐서 크기에 따라 다름).
가중치 함수는 각 파라미터에 대해 정형화된 시스템에서 파라미터 벡터의 하나의 변수 함수(계측 함수)이다.
코어 텐서의 하위 텐서 또한 직교 위치에 있다.
코어 텐서 및 가중치 함수는 매개변수 벡터의 고차 단수 값에 따라 정렬된다.
고유한 형식을 가지고 있다(동일한 단수 값이 있는 경우와 같은 특수한 경우는 제외).
매개변수 벡터의 치수에 따라 TP 기능의 순위를 도입하고 정의한다.

위의 지점은 TP 모델(QLPV 모델의 주성분을 주문하기 위한 QLPV 모델의 HOSVD 기반 표준형식을 결정하기 위한 QLPV 모델)까지 확장될 수 있다.코어 텐서는 $N+O$ + $N+O$ $N+O$ 치수지만 $N+O$ 가중치 기능은 치수 $n=1\ldots N$ = 1 $n=1\ldots N$ … $n=1\ldots N$ ${\displaystyle$ n $=1\ldots N}$ 에 대해서만 결정되므로 $n=1\ldots N$ $코어$ 텐서는 O ${\displaysty$ O $}$ 치수 $요소$ 로 $O$ 구성되므로 결과 TP 형태가 고유하지 않다.
실행 가능한 제어기 설계를 위한 새로운 LMI 방정식(이것은 널리 채택된 ap이다)을 개발하는 대신 볼록 선체의 체계적(수리적이고 자동적인) 수정에 초점을 맞추기 위해 TP 모델 변환의 핵심 단계를 확장하여 다양한 유형의 볼록 TP 기능 또는 TP 모델(TP 타입 polytopic qLPV 모델)을 생성하였다.돌출시키다TP 모델 변환과 LMI 기반 제어 설계 방법 모두 수치적으로 차례로 실행 가능하며, 이로 인해 직설적이고 다루기 쉬운 수치적 방법으로 광범위한 문제 해결이 가능해진다는 점에 주목할 필요가 있다.
TP 모델 변환은 복잡성 감소에 텐서 HOSVD가 사용되는 것과 동일한 방식으로 고차 단수 값을 폐기함으로써 TP 기능의 복잡성과 정확성 사이의 절충을 수행할 수 있다.

참조

^ ^a ^b P. Baranyi (April 2004). "TP model transformation as a way to LMI based controller design". IEEE Transactions on Industrial Electronics. 51 (2): 387–400. doi:10.1109/tie.2003.822037. S2CID 7957799.
^ ^a ^b Baranyi, Péter (2016). TP-Model Transformation-Based-Control Design Frameworks. doi:10.1007/978-3-319-19605-3. ISBN 978-3-319-19604-6.
^ ^a ^b Baranyi, Peter (2014). "The Generalized TP Model Transformation for T–S Fuzzy Model Manipulation and Generalized Stability Verification". IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 22 (4): 934–948. doi:10.1109/TFUZZ.2013.2278982.
^ ^a ^b P. Baranyi; D. Tikk; Y. Yam; R. J. Patton (2003). "From Differential Equations to PDC Controller Design via Numerical Transformation". Computers in Industry. 51 (3): 281–297. doi:10.1016/s0166-3615(03)00058-7.
^ P. Baranyi; Y. Yam & P. Várlaki (2013). Tensor Product model transformation in polytopic model-based control. Boca Raton FL: Taylor & Francis. p. 240. ISBN 978-1-43-981816-9.
^ ^a ^b ^c D. Tikk; P. Baranyi; R. J. Patton (2007). "Approximation Properties of TP Model Forms and its Consequences to TPDC Design Framework". Asian Journal of Control. 9 (3): 221–331. doi:10.1111/j.1934-6093.2007.tb00410.x.
^ ^a ^b Lieven De Lathauwer; Bart De Moor; Joos Vandewalle (2000). "A Multilinear Singular Value Decomposition". Journal on Matrix Analysis and Applications. 21 (4): 1253–1278. CiteSeerX 10.1.1.3.4043. doi:10.1137/s0895479896305696.
^ A.솔로시, 바라니, P. (2016)QLPV 모델의 텐서 제품 모델이 선형 매트릭스 불평등의 실현 가능성에 미치는 영향아시안 저널 오브 컨트롤, 18(4), 1328-1342
^ A. Szöllősi 및 P. Baranyi: „3DoF 공기탄성 날개 섹션의 제어 성능 향상: TP 모델 기반 2D 파라메트릭 제어 성능 최적화." 아시아 Journal of Control, 19(2), 450-466. / 2017
^ ^a ^b P. Baranyi; L. Szeidl; P. Várlaki; Y. Yam (July 3–5, 2006). Definition of the HOSVD-based canonical form of polytopic dynamic models. 3rd International Conference on Mechatronics (ICM 2006). Budapest, Hungary. pp. 660–665.
^ ^a ^b L. Szeidl & P. Várlaki (2009). "HOSVD Based Canonical Form for Polytopic Models of Dynamic Systems". Journal of Advanced Computational Intelligence and Intelligent Informatics. 13 (1): 52–60. doi:10.20965/jaciii.2009.p0052.

바라니, P. (2018).변수 개수가 다른 함수로 다중TP 모델 변환 확장.복잡성, 2018년.

외부 링크

TP 도구 – 홈 페이지

[Baranyi04-1] P. Baranyi (April 2004). "TP model transformation as a way to LMI based controller design". IEEE Transactions on Industrial Electronics. 51 (2): 387–400. doi:10.1109/tie.2003.822037. S2CID 7957799.

[springer.com-2] Baranyi, Péter (2016). TP-Model Transformation-Based-Control Design Frameworks. doi:10.1007/978-3-319-19605-3. ISBN 978-3-319-19604-6.

[P._Baranyi_2014,_pp._934-948-3] Baranyi, Peter (2014). "The Generalized TP Model Transformation for T–S Fuzzy Model Manipulation and Generalized Stability Verification". IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 22 (4): 934–948. doi:10.1109/TFUZZ.2013.2278982.

[compind-4] P. Baranyi; D. Tikk; Y. Yam; R. J. Patton (2003). "From Differential Equations to PDC Controller Design via Numerical Transformation". Computers in Industry. 51 (3): 281–297. doi:10.1016/s0166-3615(03)00058-7.

[ykc00-5] P. Baranyi; Y. Yam & P. Várlaki (2013). Tensor Product model transformation in polytopic model-based control. Boca Raton FL: Taylor & Francis. p. 240. ISBN 978-1-43-981816-9.

[ykc01-6] D. Tikk; P. Baranyi; R. J. Patton (2007). "Approximation Properties of TP Model Forms and its Consequences to TPDC Design Framework". Asian Journal of Control. 9 (3): 221–331. doi:10.1111/j.1934-6093.2007.tb00410.x.

[Lath00-7] Lieven De Lathauwer; Bart De Moor; Joos Vandewalle (2000). "A Multilinear Singular Value Decomposition". Journal on Matrix Analysis and Applications. 21 (4): 1253–1278. CiteSeerX 10.1.1.3.4043. doi:10.1137/s0895479896305696.

[8] A.솔로시, 바라니, P. (2016)QLPV 모델의 텐서 제품 모델이 선형 매트릭스 불평등의 실현 가능성에 미치는 영향아시안 저널 오브 컨트롤, 18(4), 1328-1342

[9] A. Szöllősi 및 P. Baranyi: „3DoF 공기탄성 날개 섹션의 제어 성능 향상: TP 모델 기반 2D 파라메트릭 제어 성능 최적화." 아시아 Journal of Control, 19(2), 450-466. / 2017

[canon1-10] P. Baranyi; L. Szeidl; P. Várlaki; Y. Yam (July 3–5, 2006). Definition of the HOSVD-based canonical form of polytopic dynamic models. 3rd International Conference on Mechatronics (ICM 2006). Budapest, Hungary. pp. 660–665.

[canon3-11] L. Szeidl & P. Várlaki (2009). "HOSVD Based Canonical Form for Polytopic Models of Dynamic Systems". Journal of Advanced Computational Intelligence and Intelligent Informatics. 13 (1): 52–60. doi:10.20965/jaciii.2009.p0052.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Search

텐서 제품 모델 변환

네임스페이스

더

목차

정의들

TP 모델 변환의 속성

참조

외부 링크