하드와이거 추측(그래프 이론)

그래프 이론에서, Hadwiger 추측에 따르면 G가 반복되지 $않고{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ t ${\$ 소수가 없으면 색수 (G ) ( ) < t ${\displaystyle \chi (G)<t}$를 만족한다고 한다. $1{\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle \le }$ 6 ${\displaystyleq t}에$대해 사실인 것으로 알려져 있다$.$이 추측은 사색 정리를 일반화한 것으로 현장에서 가장 중요하고 도전적인 개방형 문제 중 하나로 꼽힌다.^[1]

좀 더 자세히 설명하자면, 만약 비방향 그래프 G의 모든 적절한 색상이 k 또는 그 이상의 색을 사용한다면, 각 서브그래프가 서로 가장자리로 연결되어 있는 G의 분리 연결 서브그래프를 찾을 수 있다.각 서브그래프 내의 가장자리를 수축하여 각 서브그래프가 하나의 꼭지점으로 붕괴되도록 하면 G의 부차로서 k 정점에 완전한 그래프_k K가 생성된다.

4색 문제의 광범위한 일반화인 이 추측은 1943년 휴고 하드와이거에 의해 만들어졌으며 아직도 풀리지 않고 있다.볼로바스, 캐틀린 & 에르드스(1980년)는 이것을 "그래프 이론에서 가장 깊은 미해결 문제 중 하나"^[2]라고 부른다.

등가형식

Hadwiger 추측의 등가 형태(위에서 설명한 형태의 반대)는 그래프 G를 전체 그래프 K에_k 가져오는 가장자리 수축(각각 어떤 가장자리의 두 끝점을 하나의 수퍼버텍스로 병합)이 없다면 G는 k - 1 색상으로 정점 색상을 가져야 한다는 것이다.

그래프 G의 최소 k-색상에서는 색상의 각 색상 등급을 단일 꼭지점으로 수축하면 전체 그래프 K가_k 생성된다는 점에 유의하십시오.그러나 이 수축과정은 (정의상) 같은 색 등급의 어떤 두 꼭지점 사이에 에지가 없기 때문에 G의 마이너를 생성하지 않는다. 따라서 수축은 에지 수축이 아니다(미성년자에게 필요하다).Hadwiger의 추측에 따르면 정점 집합이 단일 정점에 적절하게 가장자리를 수축하여 완전한 그래프 K를_k 생성함으로써 계약된 모든 집합이 연결되는 다른 방법이 존재한다고 한다.

F가_k F의_k 모든 마이너 그래프가 (k - 1) 색상이 될 수 있는 속성을 가진 그래프 패밀리를 나타낸다면, 로버슨-에서 따온 것이다.F가_k 금지된 미성년자의 유한 집합으로 특징지을 수 있다는 세이모어의 정리.하드와이거의 추측으로는 이 세트가 금지된 단조품 K로_k 이루어져 있다는 것이다.

그래프 G의 Hadwiger 번호 h(G)는 G의 부차인 가장 큰 전체 그래프 K의_k 크기 k이다(또는 G의 가장자리를 수축하여 동등하게 얻을 수 있다).그것은 또한 G의 수축 클릭 수로도 알려져 있다.^[2]하드와이거 추정은 간단한 대수적 형태인 ((G) ≤ h(G)로 나타낼 수 있다. 여기서 χ(G)는 G의 색수를 나타낸다.

특례 및 부분 결과

사례 k = 2는 사소한 것이다. 그래프는 가장자리가 있는 경우에만 두 가지 이상의 색을 필요로 하며, 그 가장자리 자체는₂ K 단위가 된다.사례 k = 3도 쉽다. 세 가지 색상이 필요한 그래프는 비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비₃ 사이클

그가 그 추측을 소개한 같은 논문에서 하드와이거는 k≤ 4에 대한 그 진실을 증명했다.K₄ 단위가 없는 그래프는 시계열-병렬 그래프와 그 하위 그래프들이다.이 유형의 각 그래프에는 입사 모서리가 최대 두 개 있는 꼭지점이 있다. 이러한 꼭지점 하나를 제거하고, 나머지 그래프를 반복적으로 색칠한 다음, 제거된 꼭지점을 다시 추가하고 색칠하여 해당 그래프를 3가지 색칠할 수 있다.제거된 정점에는 최대 두 개의 가장자리가 있기 때문에, 정점을 다시 추가할 때 세 가지 색상 중 하나를 항상 사용할 수 있다.

k = 5에 대한 추측의 진실은 네 가지 색의 정리를 암시한다. 왜냐하면 만약 추측이 사실이라면, 5개 이상의 색상을 요구하는 모든 그래프는 K₅ 단조일 것이고 (와그너의 정리에 의해) 평행이 아닐 것이기 때문이다.클라우스 바그너는 1937년 케이스 k = 5가 실제로 4색 정리와 동등하다는 것을 증명했고, 따라서 우리는 이제 그것이 사실임을 알고 있다.바그너가 보여주었듯이 K₅ 단위가 없는 모든 그래프는 클릭섬을 통해 평면 또는 8-Verex Möbius 사다리를 통해 분해될 수 있으며, 이들 각 조각은 서로 독립적으로 4-색상이 될 수 있으므로₅ K-minor 프리 그래프의 4-색상은 평면 조각의 4-색상에서 따르게 된다.

로버트슨, 세이모어 & 토마스(1993)는 4가지 색 정리를 사용하여 k = 6에 대한 추측을 증명했다. 이 증거를 가진 그들의 논문이 1994년 풀커슨 상을 받았다.평면 그래프의 3차원 아날로그인 연결성이 없는 내장형 그래프가 최대 5개의 색수를 가지고 있다는 이들의 증거에서 비롯된다.^[3]이 결과 k 6 6에 대해서는 추측이 사실인 것으로 알려져 있으나, k > 6에 대해서는 모두 미해결로 남아 있다.

k = 7의 경우, 일부 부분적인 결과를 알 수 있다. 모든 7색 그래프는₇ K 부차 또는 K_4,4 부차 및 K_3,5 부차 모두를 포함해야 한다.^[4]

모든 그래프 G에는 최대 O(h(G) √log h(G) 입사 가장자리의 정점이 있으며,^[5] 여기서 이 저도 정점을 제거하고 남은 그래프를 색칠한 다음 제거된 정점을 다시 추가하고 색칠하는 탐욕스러운 컬러링 알고리즘이 주어진 그래프를 O(h(G) loglog h(G) 색상으로 채색한다.

In the 1980s, Alexander V. Kostochka^[6] and Andrew Thomason^[7] both independently proved that every graph with no ${\displaystyle K_{k}}$-minors has average degree ${\displaystyle O(k{\sqrt {\log k}})}$ and can thus be colored using ${\displaystyle O(k{\sqrt {\log k}})}$ colors.이 결과 후 세르게이 Norin, Zi-Xia 송과 루크 Postle에 의해 어떤β 을에 O(β){O(k{(\log k)\displaystyle}^{\beta})}색깔에;2020년 한국에 1/4{\displaystyle \beta>{1}{4}}.[8][9], Postle O에 또 다른 개선(k(통나무 ⁡ 로그 ⁡ k)6){\displaystyle 발표했다 개선되었습니다. O(k{()$\log k)}^{6}$ $-K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}${\$displaystyle K_{k}$ -minor가$$ 없는 그래프의 색상$$.^[10][11]

Van der Zypen(2012년)은 ((H) = Ω이지만_ω K 단위가 없는 그래프 H를 구성하여, 이 추측이 색상 수가 셀 수 없을 정도로 무한인 그래프에 대해 함축되지 않는다는 것을 증명했다.

일반화

하조스는 하드와이거의 추측이 미성년자가 아닌 세분화로 강화될 수 있다고 추측했다. 즉, 색수 k를 가진 모든 그래프에는 완전한 그래프 K의_k 분할이 포함되어 있다.하조스의 추측은 k≤ 4에 해당하지만, 캐틀린(1979)은 k≥ 7에 대해 이렇게 강화된 추정에 대한 백배증을 발견했는데, 사례 k = 5와 k = 6은 여전히 열려 있다.^[12]Erdős&Fajtlowicz(1981년)로 vertices, n의 숫자'무한대가 Hajós의 추측을 심하게 무작위 그래프:ε하여, 0, 한도에서 확률은 하나에 접근하지 못한 것은 무작위 n-vertex 그래프, 그것의 큰 패거리 세분 som으로cn1/2 vertices만 가지고 있는 채색 수 ≥(1/2− ε)n/log2 n 있다.e상수c. 이러한 맥락에서, 무작위 n-vertex 그래프가 색수보다 크거나 같은 Hadwiger 수를 갖는 확률도 접근하므로, Hadwiger 추측에는 높은 확률의 무작위 그래프가 있다. 보다 정확히 말하면, Hadwiger 숫자는 일정한 시간 n/multlog n을 가진 높은 확률로 나타난다.^[2]

보로비에키(1993)는 하드와이거의 추측이 목록 컬러링까지 확대될 수 있는지 물었다.k ≤ 4의 경우, 목록 색도 번호 k가 있는 모든 그래프에는 k-Vertex clique 부차가 있다.그러나 평면 그래프의 최대 목록 색도 수는 4가 아니라 5이므로 K-minor-free₅ 그래프에 대한 확장은 이미 실패한다.^[13]보다 일반적으로, ≥ 1마다 Hadwiger 번호가 3t + 1이고 목록 색도 번호가 4t + 1인 그래프가 존재한다.^[14]

제라드와 시모어는 색수 k를 가진 모든 그래프 G는 홀수 단조로 완전한 그래프 K를_k 가지고 있다고 추측했다.그러한 구조는 G의 k 꼭지점-분리 하위 트리 계열로 나타낼 수 있으며, 각 하위 트리 쌍이 단색 가장자리로 연결되도록 각각 2색이다.홀수 K_k 단위가 없는 그래프가 반드시 희박한 것은 아니지만, 표준 Hadwiger 추측에서와 마찬가지로 유사한 상한이 유지된다. 홀수 K 단위가_k 없는 그래프에는 색수 χ(G) = O(k √log k)가 있다.^[15]

G에게 추가 조건을 부과함으로써 K보다_k 더 큰 미성년자의 존재를 증명할 수 있을지도 모른다.한 예는 스나크 정리인데, 어떤 엣지 컬러링에서 4가지 색상을 요구하는 모든 입방형 그래프는 W. T. T. Tutte에 의해 추측되고 2001년에 로버트슨, 샌더스, 시모어, 토마스에 의해 증명될 것으로 발표된 피터슨 그래프는 마이너로서 피터슨 그래프를 가지고 있다.^[16]

메모들

참조

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