완전색소

그래프 이론에서 완전한 색상은 모든 색의 쌍이 적어도 한 쌍의 인접한 정점에 나타나는 정점 색이라는 점에서 조화로운 색채의 반대다.동등하게, 완전한 색상은 한 쌍의 색상을 합쳐서 더 적은 색상으로 적절한 색상으로 변형될 수 없다는 점에서 미미하다.그래프 G의 무채색 수 ψ(G)는 G의 완전한 색상에서 가능한 최대 색상 수입니다.

복잡성 이론

ψ(G)를 찾는 것은 최적화 문제다.완전한 색상의 결정 문제는 다음과 같이 표현될 수 있다.

인스턴스: 그래프 $G{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$, E${\displaystyle }$) ${\displaystyle G=(V,E)}$ 및$$ 양의 $정수{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$

QUESTION: does there exist a partition of ${\displaystyle V}$ into ${\displaystyle k}$ or more disjoint sets ${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots ,V_{k}}$ such that each ${\displaystyle V_{i}}$ is an independent set for ${\displaystyle G}$ and such that for each pair of distinct sets $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle j_{}{}_{}}$, V ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 독립된 세트가 아니다.

무채색 수를 결정하는 것은 NP-hard이다; 주어진 수보다 큰지 여부를 결정하는 것은 1978년 얀나카키스와 가브릴이 최소 최대 일치 문제에서 탈바꿈하여 나타낸 것처럼 NP-완전이다.^[1]

최소 색상 수를 가진 그래프의 색상은 완전한 색상이어야 하므로 전체 색상에서 색상의 수를 최소화하는 것은 표준 그래프 색소 문제의 보충일 뿐이다.

알고리즘

고정 k의 경우, 주어진 그래프의 무채색 숫자가 적어도 k인지, 선형 시간으로 판단할 수 있다.^[2]

최적화 문제는 근사치를 허용하며 O($V{\displaystyle /log\sqrt{\log }}$ ${\displaystyle \sqrt{V}}$) ${\$의 근사 비율 내에서 근사치가 가능하다.^[3]

그래프의 특수 클래스

무채색 수 문제의 NP 완전성은 또한 일부 특수 등급의 그래프에 대해서도 적용된다: 초당적 그래프,^[2] 초당적 그래프(즉, 정점 세트가 세 개 이상인 그래프),^[1] cograph와 interval graph,^[4] 그리고 나무에도 해당된다.^[5]

나무의 보완을 위해 무채색 숫자는 다항식 시간으로 계산할 수 있다.^[6]나무의 경우 상수 인자 내에서 근사치를 구할 수 있다.^[3]

n차원 하이퍼큐브 그래프의 무채색 숫자는 $n{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2n}^{}}}$ ${\$에 비례한다고 알려져 있지만, 비례의 상수는 정확히 알 수 없다.^[7]

참조

외부 링크

• NP 최적화 문제 요약
• 키스 에드워즈의 조화로운 색채와 무채색 번호 목록