염소 문제

이 글은 고아로, 다른 어떤 기사도 그것에 연결되지 않는다.관련 문서에서 이 페이지에 대한 링크를 소개하고, 제안사항을 보려면 링크 찾기 도구를 사용하십시오.(1919년 6월)

염소 문제는 적어도 비유적으로 테더로 묶인 염소(말, 황소)가 원형 지역을 방목하는 것과 관련된 레크리에이션 수학에서 관련된 두 가지 문제 중 하나인데, 그것은 실내 방목 문제와 외부 방목 문제다.전자는 원형 지역의 내부를 방목하고 후자는 원형 지역의 외부를 방목하는 것을 포함한다.

원래 문제는 외부 방목 문제였으며, 1748년판 영국 연호지 《The Ladies's Diary: 또는 《The Women's Almanack》에 실렸다.업노렌시스(미지의 역사적 인물)에 귀속된 CCCIII는 다음과 같이 언급하였다.

신사 공원에서 사료로 묶인 말을 관찰하면, 밧줄의 한쪽 끝을 앞발에 붙이고, 다른 한쪽 끝은 연못을 포함하고, 그 둘레는 160야드로, 밧줄의 길이와 같으며, 그 말은 아무리 많이도 사료를 먹일 수 있을까?

바니야드 동물에 대한 언급이 없는 원 내부의 영역과 관련된 문제는 1894년 미국 수학 월간지 초판에 처음 나타났다.찰스 E에게 귀속되었다.마이어스, 그것은 다음과 같이 명시되었다.

한 에이커를 포함하는 원은 주어진 원의 둘레에 있는 다른 에이커에 의해 절단되며, 두 에이커에 공통되는 면적은 1/2 에이커다.절단 원의 반지름을 구하십시오.

두 경우 모두 해결책은 비교가 되지 않지만 삼각법, 해석 기하학 또는 적분 미적분의 직접적인 적용에 기여한다.두 문제 모두 본질적으로 초월적이다 – 그들은 유클리드 평면에 폐쇄형 분석 솔루션을 가지고 있지 않다.숫자 답은 반복적인 근사 절차를 통해 얻어야 한다.염소 문제는 새로운 수학적인 통찰력을 낳지 않는다; 오히려 그것들은 주로 해결책을 용이하게 하기 위해 문제를 정교하게 해체하는 방법에 대한 연습이다.

분명한 직사각형 헛간 및/또는 필드를 포함한 다른 형태의 3차원 유사점과 평면 경계/면적 문제가 제안되고 해결되었다.^[1]타원형 같은 매끄러운 볼록곡선, 심지어 닫히지 않은 곡선에 대한 일반화된 해법이 공식화되었다.^[2]

외부 방목 문제

원 바깥의 경작할 수 있는 영역에 대한 질문이 고려된다.이것은 그 동물이 사일로에 묶여있는 상황에 관한 것이다.여기서의 복잡성은 방목장이 사일로 둘레에 겹친다는 것이다(즉, 일반적으로 테더는 사일로 둘레의 1/2보다 길다). 염소는 풀을 한 번만 먹을 수 있고, 두 번 먹을 수 없다.제안된 문제에 대한 답은 히스 씨가 1749년호 잡지에 실렸으며, 76,257.86 평방yds로 명시되어 있으며, 이는 부분적으로 "trial and table of logarithms"에 의해 도착했다고 한다.정답은 정밀도의 숫자가 시사하는 것만큼 정확하지 않다.분석적 해결책은 제공되지 않았다.

유용한 근사치

테더 길이 R = 160 Yds. 및 사일로 반지름 R = R/(2π) Yds를 두십시오.네 번째 사분면에 있는 비자발자는 거의 원형 원호다.동일한 둘레(arc 길이)를 가진 원형 세그먼트가 거의 동일한 영역을 둘러싸게 될 것이라고 생각할 수 있다. 반지름과 따라서 해당 세그먼트의 영역은 쉽게 계산할 수 있다.The arc length of an involute is given by ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r\theta ^{2}}$ so the arc length FG of the involute in the fourth quadrant is ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r{\Big [}\theta ^{2}{\Big ]}_{{\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }}$. Let c는 θ = 3 at/2에서 사일로에 접하는 수직선과 y축 사이의 무의식적인 호 부분의 길이로서, ;. c $c{\displaystyle }$. ${\displaystyle c}$ r {\$displaystyle c\$약$r}$로 중첩되는 호이다($$아크가 r보다 약간 긴 반면, 차이는 무시해도 좋다).따라서 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 25.46}$ ${\displaystyle \cdot }$( ${\displaystyle {\mathrm{.}}^{28\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {.71}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 25.46}$= ${\displaystyle 245.}$${\displaystyle FG ={\tfrac {1}{2}}\cdot 25.46\cdot (6.28^{2}-4.71^{2})+25.46=245.38}$. The arc length of a circular arc is ${\displaystyle r\theta }$ and θ here is π/2 radians of the fourth quadrant, so ${\displaystyle r\frac{\pi }{2}=245.}$${\displaystyle r{\tfrac {\pi }{2}}=1998.$$38$ r 원호의 반지름은 ${\displaystyle 156.21}$ ${\displaystyle 156.21}$이고, 원호의 경계면적은 $\pi {\displaystyle \frac{}{}}$ r ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle 1965}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi$ r$^{2}}:{4}=165}$ 입니다$.$The area of the involute excludes half the area of the silo (1018.61) in the fourth quadrant, so its approx area is 18146, and the grazable area including the half circle of radius R, (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi R^{2}}$) totals ${\displaystyle 2\cdot 18146+40212=76505}$.이는 정확한 면적 76256보다 큰 249 sq.yds로 0.33%의 오차가 있다.이 근사 방법은 비자발자의 각도 < 3㎛/2>에는 그다지 좋지 않을 수 있다.

문제가 된다면 ${\displaystyle \varphi}$의 빠르고 정확한 추정치를 얻을 수 있는 건설적인 방법이 있다.$$: 연못의 순환에 있는$$ 지점 3 $2{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle {\tfrac{3}{$2}}\$pi }$에서 y축의 교차점까지 대각선을 그린다.대각선의 길이는 120yds이다.왜냐하면 테더의 3$$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\$이기 때문이다.따라서 삼각형의 다른 쪽 다리, 즉 그려진 대로의 ${\displaystyle \sqrt{{하이포텐유스}^{}}}$는 ${\displaystyle \sqrt{{120}^{}{}^{}}}$- r${\displaystyle 2}$= ${\displaystyle 117}$.27 {\$displaystyle {\sqrt{120^{$2}-$r^{2}}=117.27}$yds이다$$.그래서 $\phi {\displaystyle }$sin ${\displaystyle {\sin }^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (r\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{117.27}{})}$ = ${\displaystyle .219}${\$displaystyle \varphi \$약$\sin ^{-1}({\tfrac {r}{117.27}})=.219}$ 라디안$$, 세 곳으로 반올림했다.

극좌표와 통합하여 해결

겹치는 부분을 제외하고 2㎛에서 -2㎛의 각도에서 원과 그 비자발성 사이의 영역을 찾는다.데카르트 좌표에서, 비자발자의 방정식은 초월적이다; 거기에 통합된 선을 행하는 것은 거의 불가능하다.보다 충실한 접근법은 극좌표(z,properties)를 사용하는 것이다.비자발적 영역의 "스위프"는 겹치는 영역 사이의 경계(${\displaystyle \stackrel{}{}}$ $}{\$가 아닌 접선선(아래 도표와 파생 참조)에 의해 경계되기 때문에, 문제의 분해는 네 개의 계산 가능한 영역: 반경이 테더 길이(A₁)인 원; ar.ea 2㎛(A₂) 각도에서 테더에 의한 "swept"; a₂ = 0부터 접선 세그먼트 T ${{\$A₃), 쐐기 면적 qFtq(A₄).따라서 원하는 A 영역은 A₁ + (A₂₃ - A + A₄) · 2이다.계산에 필요한 영역은 두 이차 곡선 사이에 있으며, 반드시 통합의 적분 또는 차이일 것이다.

문제의 주요 매개변수는 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R$ 160yds로 정의된 테더 길이 및 사일로의 $반지름인$r ${\displaystyle r}$이다.$R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle R}$과$($$)$ r {\$displaystyle r}$ 사이에는 필요한 관계가 없지만${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{여기}}{}}$서 r = ${\displaystyle \frac{160}{}}$ 2 {$${\$displaystyle$ r$={\tfrac{160}{2\pi$$$}}}}}}은 $원주$가$$R {\$displaystystyle$ R}인 원의 반지름이다$.$ $만일{\displaystyle }$ 어떤 점이 정의된다면($$위의 도표 참조).s x축 아래의 연못 둘레를 나타내는 원과, 시계방향과 시계 반대방향으로 감았을 때 테더의 교차점을 나타내는 원 아래 $Y축의$ F ${\displaystyle F}$이(가) 원 위의 점으로 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt t}$이(가) t ${\displaystatest$)의 접점이 되도록$$ 한다.$yle t}$은(는) $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$과$($와) 교차하며, v ${\displaystyle \stackrel{}{t}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}${\$displaystyle {\$displaystyle ${\frown }}}}$ + ${\displaystyle t\stackrel{}{}}$ $displaystyle {\displaystyline$ {tF$}}}}}}}}$은 테더의 길이입니다$$.$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를) 원점 아래의 y축($v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v$에 대한 반대)에 있는 연못 원주의 교차점이 되도록$$ 한다.그런 다음 급성 $\angle {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \angle tFq}$을(를) $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }($으)로$$ 두십시오$.$

비자체 아래 영역은 ${\displaystyle {2차\mathrm{}}^{}}$ 곡선 위에 있는 적분이기 때문에$$ $R{\displaystyle {}^{}}$ 3 ${\$ R$^{3}}$의 함수다.영역에는 매개변수 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}($즉, 사일로의 원주)에 의해 정의된 고정된 경계선이 있다.이 경우 $면적$이 r$${\$displaystyle r$ $즉{\displaystyle }$ r$${\$displaystyle r$에 반비례하며, 즉, r$${\displaystyle r$}$의 면적이 작을수록 원주는 r {\$displaystyle r}$의 ${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 함수($$${\displaystyle \mathrm{}}$ r ${\displaystystyle 2\pi r}).$그래서 우리는 비자발적 $E{\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}}$/ r$){\displaystyle E=f(R^{3}/r)}$ 아래의 영역에 대한 표현을 구한다$.$

먼저 A₁ 영역은 $반지름{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$의 반원이기 때문에$$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$= 1 ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \cdot }$ R ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$. ${\displaystyle A_{1}={\tfrac$ {$1}{1$}{1}:{2$}}\pi \cdot$ R$^{2}.$$}$

다음으로 아래 통합의 한계에 사용할 각도$$ ${\displaystyle \varphi }$을(를) 찾으십시오.$레트x{\displaystyle }$= ${\displaystyle t\stackrel{}{}}$ $displaystyle x= {\displaystyle \tF}}}}.$$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }}}$은(는) 오른쪽 각도가 점 t에 있는 삼각형의 반대 각도와 상호 보완적이며, 원의 세 번째 사분면에 있는 각과도 보완된다${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle T\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{F}}$ $displaystyle {\{\{\{\{tystystyleasestyleasestyleasestyleasestyleasestyle$ {\{type$}}}}}}}}$arc ${\displaystyle {\overset {\frown }{vqt}}}$, so its arclength is ${\displaystyle r\theta _{x}}$. So ${\displaystyle \theta _{x}={\tfrac {x}{r}}}$ and ${\displaystyle \theta _{x}={\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }$, so ${\displaystyle \phi =\frac{3\pi }{2}-\frac{x}{r}}$${\displaystyle \varphi ={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {x}{r}}}$. Finally,${\displaystyle \tan(\varphi )={\tfrac {r}{x}}}$ and the following equation is obtained: ${\displaystyle r=x\cdot \tan {({\tfrac {3}{2}}\pi -{\tfrac {x}{r}})}}$. That is a transcendental equation th에서는 시행착오, 다항식 확장 또는 뉴턴-랩슨과 같은 반복적 절차를 통해서만 해결할 수 있다.${\displaystyle \phi \mathrm{}\approx }$ 0${\displaystyle .21900}$[${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 0,}$- ${\displaystyle 0.00003}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \varphi \$약 0$.21900[+0,-0.00003$

다음으로 연못의 둘레와 비자발적 사이의 영역을 계산한다.비자발자의 테이퍼링 "꼬리" 영역, 즉 겹치는 영역(참고, 접선 tF 때문에, 이 영역은 쐐기 부분, A 영역을₄ 포함하며, 최종 합계에서 다시 추가되어야 한다.)을 계산한다.각도가 라디안인 경우$$ 원형 섹터의 면적이 ${\displaystyle \frac{1}{}}$ $2{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\teta }$임을 상기하십시오.o {\$displaystyle$ ${\displaystyle o}$$}$에서 $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $p}$까지 무한히 얇은 원형 섹터를 상상해보십시오$.$ $o{\displaystyle }$ ${\displaystyle o}$에 접선된 o ${\$displaystyle o$\},$ 비자극의 무한히 얇은 섹터가 $m{\displaystyle }$ ${\$$displaystate$ $o}$에서$n$까지 대응되는 무한히 얇은 섹터가 있다.$yle n}$ subtending the same infinitely small angle ${\displaystyle \Delta \theta }$. The area of this sector is ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}z^{2}\Delta \theta }$ where ${\displaystyle z}$ is the radius at some angle ${\displaystyle \theta _{i}}$, which is ${\displaystyl$$e r\theta _{i},$ 지금까지 원호의 호 길이$$$angle{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 각도로 "포장".비자발적 하부의 영역은 무한히 얇은 모든 $섹터{\displaystyle }$ i$${\$displaystyle i}$의 어떤 각도 ${\displaystyle {\theta n}_{}}$ ${\$를 통해$$ 합한 것이다$.$이 합은

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}(r\theta _{i})^{2}\Delta \theta =\int _{{\frac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }{\frac {1}{2}}(r\theta )^{2}\ d\theta ={\frac {1}{2}}r^{2}\left[{\frac {\theta ^{3}}{3}}\right]_{{\frac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }={\frac {4}{3}}r^{2}\pi ^{3}-{\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {({\frac {3\pi }{2}}-\varphi )^{3}{3}}.}$

The bounds of the integral represent the area under the involute in the fourth quadrant between ${\displaystyle {\overline {tF}}}$ and ${\displaystyle {\overline {vG}}}$. The angle is measured on the circle, not on the involute, so it is less than ${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}}$ by some각도 지정 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$ .$$$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$ 주어지지 않으며$$, 간접적으로 결정해야 한다.불행하게도 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$ $\}$의 합리적인 부분이 아니기$$ 때문에 $eval{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}을(를$$) 한 번에 대체하고 평가할 수 있기 때문에 평가 식의 하한을 나타내는 후기를 단순화할 방법이 없다. $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 6r{}^{}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}r^{2}\pi ^{3}\cdot ({\tfrac {27}{8}}-K({\tfrac {\varphi }{\pi }}))}$ which for expository reasons can be rewritten ${\displaystyle A_{2}-A_{3}={\tfrac {R^{3}}{6r}}-{\$$tfrac {R^{3}}{48r}}\cdot({\tfrac {27}{8}-K({\tfrac {\barphi }{\pi }})}}$.It seems apropo to merge a factor of ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$ into the constant term to get a common denominartor for the terms, so ${\displaystyle A_{2}-A_{3}={\tfrac {R^{3}}{6r}}-{\tfrac {R^{3}}{6r}}\cdot ({\tfrac {$$27}{64}}-K({\tfrac {\varphi }{8\pi }}))}$. ${\displaystyle K}$ is dominated by a linear term from the integration, so may be written, ${\displaystyle K={\tfrac {27}{32\pi }}\varphi -Z}$ where ${\displaystyle Z}$ is a non-zero positive but negligible quantity.

독특한 웨지 λ tFq({\displaystyle\lambda ^{tFqt}}. 꼭지점 t과 직각 삼각형의 영역은 지역 뺀 부문의 지역 tq⌢{\displaystyle{\overset{\frown}{tq}을 경계로}}. λ)r)2− 12r2θ{\displaystyle \lambda){\tfrac{rx}{2}}-{\tfrac{1}{2}의 A4는 지역이다.}$r^{2}\theta }$ 여기서$$ x는 tF이고 θ은 직각 삼각형의 φ에 반대되는 각도다.So, ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{2}}r(R-r({\tfrac {\pi }{2}}+\varphi ))-{\tfrac {1}{2}}r^{2}({\tfrac {\pi }{2}}-\varphi )={\tfrac {1}{2}}(rR-r^{2}\pi )}$. If ${\displaystyle R=2\pi r}$, then the area ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle }$쐐기의$$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) ${\displaystyle \frac{\mathrm{축소}}{}}$하여 ${\displaystyle 1}$ 2 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ r$$2 {\$displaystyle${\$tfrac {1}{1}:{$2}}\$pi r^{2$}}.

최종 합계 A1+(A2− A3+A4)·2는 12π ⋅ R2+(미국의 36r− R36r⋅(2764−(2732π φ − Z))+12(rR− r2π))⋅ 2{\displaystyle{\tfrac{1}{2}}\pi \cdot R^{2}+({\tfrac{R^{3}}{6r}}-{\tfrac{R^{3}}{6r}}\cdot({\tfrac{27}{64}}-({\tfrac{27}{32\pi}}\varphi -Z.))+{$\tfrac {1}{2}}(rR-r^{2}\pi ))\cdot 2}$. All imprecision in the calculation is now uncertainty in ${\displaystyle \varphi }$ and the residual ${\displaystyle Z}$. ${\displaystyle \varphi \doteq ({\tfrac {R}{r}}-{\tfrac {\pi }{2}}-\varphi )^{-1}}$.그것은 변수들 사이의 관계를 해명하는데 유용하다.${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 초월적이므로$$ 정의는 재발 관계다.초기 $추측{\displaystyle }$ { ${\displaystyle \varphi }$은(는) $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 작은 일부분이다$.$ $숫자{\displaystyle }$ 대답은 A =${\displaystyle 76256}$ ${\displaysty A=76256}$이며 가장 가까운 제곱 야드로 반올림된다$$.^[4]${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{\phi }}$→ ${\displaystyle \underset{}{\pi }}$ 2 A${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}\pi }$ ${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle R\frac{{}^{}}{}}$ 3 ${\displaystyle \frac{{6\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{r}{}}$ ${\$에 주목할 필요가 있다.$A={\tfrac {1}{2}}\pi \cdot R^{2}+{\tfrac {R^{3}}{6r}}}$, which is the answer given for the case where the tether length is half the circumference (or any length such that ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}\leq \pi }$) of the silo, or no overlap to account for.염소는 테더 길이로 정의된 원 면적의 5%를 제외하고 모두 먹을 수 있으며, 먹을 수 없는 면적의 절반은 연못/사일로의 둘레 안에 있다.계산에서 유일한 부정확한 점은 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대한 닫힌 형태 표현은 제시된 기하학에서 도출할 수 없다는$$ 점이다.$그러나$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$${\$$displaystyle \varphi }$의 작은 부정확성은 최종 결과에 크게 영향을 미치지 않는다$$.

호 길이 비율별 용액

Just as the area below a line is proportional to the length of the line between boundaries, and the area of a circular sector is a ratio of the arc length (${\displaystyle L=r\theta }$) of the sector (${\displaystyle A={\tfrac {r}{2}}\cdot L}$), the area between an involute and its bounding circle is also propOrtional의 인벌류 우트의 아크 길이로 L=12rθ 2{\displaystyle L={\tfrac{1}{2}}r\theta ^{2}}:A=rθ 3⋅ L)r2θ 36{\displaystyle A={\tfrac{r\theta}{3}}\cdot L={\tfrac{{2r^}\theta ^{3}}{6}}}0<>;θ<>θ 나는{0<, \theta<>\theta_{나는\displaystyle}}. 그래서 총 grazi.공개 지역은${\displaystyle A=A_{1}+(A_{2}-A_{3}+A_{4})\cdot 2}$. ${\displaystyle A_{1}={\tfrac {1}{2}}\pi R^{2}}$. ${\displaystyle A_{2}-A_{3}=\left[{\tfrac {r^{2}\theta ^{3}}{6}}\right$$]_{{\tfrac {3\$$pi$ $}{2}}-\\varphi }^{2\pi$ $\}\}\}.$ ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ 2$π$ r ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {$1}{1$}:{2$}}.$

실내 방목 문제

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$을(를) 단위 원의 중심이 되도록$$ 한다.염소/황소/말 한 마리가 $둘레$의 Q ${\displaystyle Q}$ 지점에 묶여 있다.로프 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이(가) 동물이 원 영역의 정확히 절반(도표에서 흰색 영역, 평면 기하학에서 렌즈라고 함)에 방목할 수 있도록 하려면 얼마나 오래 걸릴 필요가$$ 있는가?

유용한 근사치

해석적 해법은 고단하고 초월적 공식을 산출하며, 이를 반복하여 수치적 근사치를 도출해야 한다.대략적이고 빠른 근사치는 가장 실용적인 용도에 적합할 수 있으며 몇 가지 간단한 관찰로 얻을 수 있다.

먼저 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$에서 반지름에 수직인 둘러싸인 원의 $중심$ P ${\displaystyle P}$을 통해 그려진 화음이 그 영역을 반으로 나눈다$$.절삭 원의 반지름(즉, 단위 길이)이 주변 원의 반지름과 같을 경우 코드 아래의 모든 영역이 아니라 많은 부분을 쓸 수 있다.화음의 어느 한쪽 끝에 도달하는 커팅 원의 반지름(즉, 길이 ≈2 4 1.414)은 화음 위의 얇은 원형 세그먼트를 더한 화음 아래의 전체 영역을 쓸어버린다.따라서 그럴듯한 반지름 길이는 둘의 평균이다.그러나 스윕 영역은 반지름과 함께 선형이 아닌 2차적으로 팽창하고 있으므로 산술 평균보다 조화 평균이 선호된다, 즉 1.189...이는 ~ 2.5% 이내로 정확하며 실제 상황에서 상당히 사용할 수 있으며, 그 절차는 복제하기 쉽다.

훨씬 더 나은 근사치는 관련 범위에서 테더 길이와 접지 가능한 영역 사이의 관계가 실질적으로 선형이라는 관찰을 통해 얻을 수 있다 [1, √2]:

$(\displaystyle A=2.2r-0.98).}$

$A{\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle A=\pi /2}$에서$$근사치 테더 길이 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은(는) 1.15945로 오차 0.06%에 불과하다.

렌즈 면적 계산에 의한 용액

동물이 도달할 수 있는 영역은 두 개의 원형 호로 구분된 비대칭 렌즈 형태다.

반지름 $R{\displaystyle }$, r ${\displaystyle R,r}$의 두 원과 중심 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 사이의 거리가 있는 렌즈의 $영역$ A ${\displaystyle A}$은(는)

${\displaystyle {\reasoned}A={}&r^{2}\cos ^{-1}\왼쪽({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}-R^{2dr}\오른쪽)++++++++++++++++++++++++++++++{{{{2dr^{{2dr}}R^{2}\cos ^{-1}\왼쪽({\frac {d^{d^{2}-r^{2}+R^{2}}:{2dR}\오른쪽)\\&{}-{\frac {1}{1}:{2}}: {(d+r-R)(d-r+R)(-d+r+R)(d+r+R)(d+r+R)}}}},\end{aigned}}}}}}$

$R{\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle R=d=1}$및$$ 원 영역의 1/2이

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {1}{2}}r\right)+\cos ^{-1}\left(1-{\frac {1}{2}}r^{2}\right)-{\frac {1}{2}}r{\sqrt {4-r^{2}}}.}$

$이{\displaystyle }$ 방정식은 반복적으로만 풀 수 있으며 r${\displaystyle }$=${\displaystyle 1.1587}$… ${\displaystyle r=1.1587\ldots }($OEIS의 $$순서 A133731).

통합을 사용한 솔루션

렌즈 영역의 오른쪽 절반에 걸쳐 다음 구성 요소와 통합

${\displaystyle {\frac{1}{4}\pi =\int_{0}^{0}-{r^{2}-{4}}}}-{\frac{r^{4}}}}}}\\r^{2}-t^{1-}}}}+{1-{dt},dt}}}}$

초월 방정식

${\displaystyle r={\frac {\pi }{\pi r-{\sqrt {4-r^{2}}+\left\frac\frac {4}{r}{r}}}\sin ^{1}\lefrac\1}{1}{1}:{2}}r\r\오른쪽)}}}$

같은 해결책으로 뒤따른다.

폐쇄형 솔루션

Ingo Uullisch는 복잡한 분석 방법을 사용하여 다음과 같은 두 가지 등고선 통합 비율의 코사인(cosine)으로 폐쇄형 솔루션을 얻었다.^[5]

${\displaystyle r=2\cos \left({\frac {1}{2}}{\frac {\oint _{ z-3\pi /8 =\pi /4}z/(\sin z-z\cos z-\pi /2)\,dz}{\oint _{ z-3\pi /8 =\pi /4}1/(\sin z-z\cos z-\pi /2)\,dz}}\right).}$

3차원 확장

3차원 사례에서 점 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$은 단위 구체의 표면에 놓여$$ 있는데, 문제는 교차로 본체의 부피가 단위 구의 부피의 정확히 절반과 일치하도록 두 번째 구의$$ $반지름{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$을 찾는 것이다.

동물이 도달할 수 있는 단위 구의 부피는 다른 모양의 면을 가진 3차원 렌즈 형태를 가지고 있으며, 두 개의 구형 캡으로 정의된다.

radii $R{\displaystyle }$, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R,r}$의 두 구와 $중심{\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$ 사이의 거리를 가진 렌즈의$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 볼륨은$$

${\displaystyle V={\frac {\pi(R+r-d)^{2}\왼쪽(d^{2}+2dr-3r^{2}+2dR+6R-3R^{2}+2dR+3R^{2}}{12d},}}$

$R{\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle R=d=1$} 및$$ 구 볼륨의 절반인 경우

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}\cdot {\frac {4}}\pi =-{\frac {1}{1}}\pi r^{4}+{\frac {2}{3}\pi r^{3}}}}}}}}$

$r{\displaystyle }$= 1.${\displaystyle 2285}$…의$$솔루션으로 $이어지는$ {\$displaystyle r=$1.$2285$\ldots $}$

만약 r입니다. 그것은 만약 r<, 차원수 증가하면서, 도달할 수 있는 지역은 중요한 길이 r=}}.;}}하나를 영역 2{\displaystyle r={\sqrt{2}2{\displaystyle r<,{\sqrt{2}를 찾아갈 수 있는 지역;2{\displaystyle r>,{\sqrt{2}}}이 다가오면 구의 거의 없다가를 덮었다.그 지역덮인 부분이 구의 전체 영역으로 접근한다.^[6][7]

참조

• 레이먼드 클레어 아르키발트(Raymond Clare Archibald) : "동그라미와 파스퇴라지의 문제"American Mathemical Monthly, 1921년 (28), 페이지 328–329.
• 마샬 프레이저 : "염소 두 마리 이야기." 1982년 (55년), 페이지 221–227.
• 장 자켈린 : "르 프로블렘 드 하이퍼체브르."4각형, 2003, 49, 페이지 6-12.ISSN 1142-2785

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Goat Problem". MathWorld.
• 콴타 매거진에서 수백 년 된 염소 방목 문제를 정확히 해결한 수학자