퓨전 프레임

이 글은 고아로, 다른 어떤 기사도 그것에 연결되지 않는다.관련 기사에서 이 페이지에 대한 링크를 소개하고, 제안사항을 보려면 링크 찾기 도구를 사용해 보십시오. (2013년 4월)

수학에서 벡터 공간의 융합 프레임은 프레임의 자연스러운 확장이다.이것은 잠재적으로 "오버랩핑"할 수 있는 여러 프레임의 추가 구성물이다.이 개념의 동기는 신호를 단일 센서만으로 획득할 수 없는 경우(하드웨어 또는 데이터 처리량의 제한에 의해 발견되는 제약), 오히려 신호의 부분적인 구성요소를 센서 네트워크를 통해 수집해야 하며, 그 후 부분적인 신호 표현들이 완전한 신호로 융합된다.

건설에 의해, 퓨전 프레임은 임의의 중복 센서 영역으로 구성된 센서 네트워크의 병렬 처리나 분산 처리에^[1] 용이하게 대여된다.

정의

Given a Hilbert space ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, let ${\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ be closed subspaces of ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, where ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ is an index set.$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$} ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {I\mathcal{}}_{}}$ ${\$을(를) 양의 스칼라 웨이트의 집합으로$$ 한다.Then ${\displaystyle \{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ is a fusion frame of ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ if there exist constants ${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$ such that for all ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$ we have

${\displaystyle A\ f\ ^{2}\leq \sum _{i\in {\mathcal {I}}}v_{i}^{2}{\big \ }P_{W_{i}}f{\big \ }^{2}\leq B\ f\ ^{2}}$,

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {W{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\$은(는) 하위 공간 ${\displaystyle W_{}}$ i ${\$에 대한 직교 투영을 나타낸다$$$.$상수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 각각 하한 및 상한이라고 한다$$.하한과 상한이 서로 같을 때$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle {Wi}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{}_{}{i}_{}}$ } ${$ I {\$displaystyle \{W_{i}\}}\{i\in {\$mathcal {$I}}}}}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystytle$ A$}$ - 조밀한$$ 융접 프레임이 된다$$.나아가 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle B}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A=B=1$}인 경우$,$ {${\displaystyle W_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$}${\displaystyle {I\mathcal{}}_{}}$ ${\${I$}}}}$파르세발$$ 융접 프레임으로 전화하면 된다.^[1]

$\{{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {I,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {{Ji}_{}}_{}}$ ${\$이(가) ${\displaystyle W_{}}$ i ${\$의 프레임이라고$$ 가정하십시오$.$그런 다음${\displaystyle }${${\displaystyle }$(${\displaystyle {Wi}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, v i ,${\displaystyle }${$f$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {{Ji}_{}}_{})\}\}{}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {I\mathcal{}}_{}}$ ${\$$}_{i\in {\mathcal{I}}}}}$은(는) $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$H}$을(를) 위한 융접 프레임 시스템이라고 한다$.$^[1]

핵융합 프레임과 글로벌 프레임의 관계를 위한 정리

Let ${\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in {\mathcal {H}}}}$ be closed subspaces of ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ with positive weights ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$. Suppose ${\displaystyle \{f_{ij}\}_{i\in {\m$$athcal {I}},j\in J_{i}}}$ is a frame for ${\displaystyle W_{i}}$ with frame bounds ${\displaystyle C_{i}}$ and ${\displaystyle D_{i}}$. Let ${\displaystyle C=inf_{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}}$ and ${\displaystyle D=inf_{i\in {\mathcal${나는}}}D_{나는}}그 0<>만족하고 각각 ≤ D<>∞{0<\displaystyle을 말한다.H{\displaystyle{{H\mathcal}의 C\leq D<, \infty}. 그리고{거나 책 읽어 나는, vi}나는 ∈ 나는{\displaystyle\와 같이{W_{나는},v_{나는}\}_{i\in{{나는\mathcal}}}}은 퓨전 프레임}}만일{나는 나는 j다면 v}나는, 나는 ∈ j∈ J나는{\displaystyle\와 같이{v$_{i}f_{ij}\}_{i\in {I},j\in J_{i}}}}}$은(는) $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$H}$의 프레임이다$.$

또한${\displaystyle }${${\displaystyle }$(${\displaystyle {Wi}_{}}$, v ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ i ,${\displaystyle }${${\displaystyle f_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ j ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {{Ji}_{}}_{})\}{}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {I\mathcal{}}_{}}$ ${\$i}\$rig$\right$)\\\$인 경우$}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ is called a fusion frame system for ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ with lower and upper bounds ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$, then ${\displaystyle \{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}$ is a frame of ${\displaystyle \mathcal{H}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ with lower and upper bounds ${\displaystyle AC}$ and ${\displaystyle BD}$. And if ${\displaystyle \{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}$ is a frame of ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ with lower and upper bounds ${\displaystyle }$$E$ ${\displaystyle$ $E$$}$ 및$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ F$\},$ 그 ${\displaystyle {다음}_{}}{\displaystyle \{{}_{}}$(${\displaystyle {Wi}_{}}$, ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }${${\displaystyle f_{}}$ $i_{$}}}}\{j\in J_{i$\}}\rig}\$crig${\displaystyle {)\backslash \backslash \backslash \backslash }_{}}$$}_{i\in {\mathcal{I}}}}$은(는) 하한 및 상한 $E{\displaystyle /D}$ ${\displaystyle E/D}$ $및{\displaystyle }$ F$$${\displaystyle /C}$ ${\displaystyle F/C}$을(를)$가진$ H {\displaystystyle ${H}$을(를) 위한 융접합체 프레임 시스템이라고 불린다$$$.$^[2]

로컬 프레임 표현

Let ${\displaystyle W\subset {\mathcal {H}}}$ be a closed subspace, and let ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ be an orthonormal basis of ${\displaystyle W}$. Then for all ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$, the orthogonal projection of ${\displaystyle f}$ onto ${\displaystyle W}$$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 의해 주어진다$.$^[3]

$또한{\displaystyle }$ W ${\displaystyle$ $W}$의 지정된$$ 로컬 프레임 {$f$ $}$ {\$displaystyle$$$$\{f_{k}\}}$ 측면에서 $W{\displaystyle }$ {\displaystyle W}에 대한$$ 직교 투영을 표현할 수 있다$.$

${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{},}$ f ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$

여기서${\displaystyle }${${\displaystyle {\stackrel{~}{}k}_{}}$ ${\displaystyle \{{\tilde{f}_{k}\}\}}$은(는) 로컬 프레임${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}}}$의 이중 프레임이다$.$^[1]

퓨전 프레임 연산자의 정의

Let ${\displaystyle \{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ be a fusion frame for ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Let ${\displaystyle \{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}}$ be representation space for projection.분석 연산자 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W\mathcal{}{}_{}}$: H${\displaystyle }$→${\displaystyle }${ ${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle ⨁}$ ${\displaystyle W_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ l ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$은(는)에 의해 정의된다$$.

${\$$W_{i}}\왼쪽(f\오른쪽)\$$}_{i\in {\mathcal{I$

그러면 조정 연산자 T ${\displaystyle W_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$:${\displaystyle {{}_{}}_{}}${${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle ⨁}$ W ${\displaystyle i_{}{}_{}}$ l ${\displaystyle {2{}_{}}_{}}$ → ${\displaystyle H\mathcal{}}$ ${\$ 화살표 {\$math {H}}}}}}}$이 주어진다$.$

${\displaystyle {}_{}^{}T}$ ${\displaystyle W_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$

여기서 $g{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle f_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{}_{}{{i\mathrm{}}_{}}_{}}$ I${\displaystyle {}_{}\{\{\{{f\_{}_{}}_{}}\{$$i}\}\\displaystyle$ g$=\{f_{i}\}}{i\in {\mathcal {I}\$in $\\\\\sum \bigoplus$ W_$}_{l_{2$}}.

퓨전 프레임 연산자 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$: ${\displaystyle H\mathcal{}}$→ H ${\$오른쪽 $화살표 {\mathcal {H}}$은(는) 다음을 통해 정의된다$$.

${\$$T_{W}^{{{W}^{}T_{W}\왼쪽(f\right)=\sum v_{i}^{2}P_{{{{}}}$$W_{i}}\왼쪽(f\오른쪽)}$^[2].

퓨전 프레임 연산자의 속성

Given the lower and upper bounds of the fusion frame ${\displaystyle \{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$, ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$, the fusion frame operator ${\displaystyle S_{W}}$ can be bounded by

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle AI\leq S_{W}\leq BI$ 여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) ID 연산자다.따라서 퓨전 프레임 $오퍼레이터{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ W$${\$displaystyle S_{W}}$은(는$$) 양성이며 반전성이 있다.^[2]

퓨전 프레임 연산자의 표현

퓨전 프레임 시스템${\displaystyle }${${\displaystyle }$(${\displaystyle {Wi}_{}}$, ${\displaystyle v_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, F ${\displaystyle i_{}}$)$$${\displaystyle {\}}_{}}$ ${\displaystyle {i\mathcal{}}_{}}$ ${\$}\$오른쪽)\$$}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ for ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, where ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}}$, and ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{i}=\{{\tilde {f}}_{ij}\}_{j\in J_{i}}}$, which$F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을(를) 위한 이중 프레임으로$,$ 퓨전 프레임 연산자 ${\displaystyle S_{}}$ W ${\$은(는) 다음과 같이 표현할 수 있다$$.

$style$$v$$T_{{\tilde{\mathcal{F}}_{i}}^{\T_{{\mathcal{F}}}}=\sum v_{i}^{$$2}$$T_{{\mathcal{F}_{i}}^{{}T_{\tilde{\mathcal{F}}_{i$

where ${\displaystyle T_{{\mathcal {F}}_{i}}}$, ${\displaystyle T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}}$ are analysis operators for ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ and ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}$ respectively, and ${\displaystyle T_{{\mathcal{F}}_i}^{\ast }}$${\displaystyle T_{{\mathcal {F}}_{i}}^{\ast }}$, ${\displaystyle T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}^{\ast }}$ are synthesis operators for ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ and ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}$ respectively.^[1]

유한 프레임(즉, 딤 < $displaystyle \dim {\mathcal$ {H$}}=:$$N<\flatty$ 과 < ${\displaystyle {\mathcal{I}}}<\flotty$} ), 융접 프레임 연산자는 매트릭스로 구성할 수 있다.^[1]Let ${\displaystyle \{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ be a fusion frame for ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{N}}$, and let ${\displaystyle \{f_{ij}\}_{j\in {\mathcal {J}}_{i}}}$ be a frame for the subspace ${\displaystyle W_{i}}$및 ${\displaystyle {Ji}_{}}$ ${\$ 각 ${\displaystyle i}$에 대한 인덱스$$ 세트 ${\$ 포함

${\displaystyle F_{i}={\begin{bmatrix}\vdots &\vdots &&\vdots \\f_{i1}&f_{i2}&\cdots &f_{i J_{i} }\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\end{bmatrix}}_{N\times J_{i} }}$

그리고

${\displaystyle {\tilde {F}}_{i}={\begin{bmatrix}\vdots &\vdots &&\vdots \\{\tilde {f}}_{i1}&{\tilde {f}}_{i2}&\cdots &{\tilde {f}}_{i J_{i} }\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\end{bmatrix}}_{N\times J_{i} },}$

여기서 $f{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {f}_{ij}}$은(는) $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$의 정식 이중 프레임으로$,$ 퓨전 프레임 $연산자{\displaystyle }$S :${\displaystyle H\mathcal{}}$ → H$${\$displaystyle S:{\mathcal{H}\to {\mathcal}}}}}}}}}}}}}}}$이 주어진다$$.

${\$$}F_{i}{\tilde{F}_{i}^$$\{$$T}.$

그런 다음 퓨전 프레임 $연산자{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$은(는) N ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}${\$displaystyle$ N$\time$ N$}$ 행렬에$$ 의해 주어진다$$.

참고 항목

• 힐베르트 공간
• 프레임(선형 대수)

참조

외부 링크

• 퓨전 프레임