프랭크-탐 공식

프랭크 탐 공식은 충전된 입자가 슈퍼루미날 속도로 매체를 통해 이동할 때 주어진 주파수에서 방출되는 체렌코프 방사선의 양을 산출한다.1937년 체렌코프 효과 이론을 개발한 러시아 물리학자 일리아 프랭크와 이고르 탐의 이름을 따서 명명되었는데, 1958년 노벨 물리학상을 받았다.

충전된 입자가 매개체에서 빛의 위상 속도보다 빠르게 움직이면 입자와 상호작용하는 전자는 에너지와 운동량을 보존하면서 일관성 있는 광자를 방출할 수 있다.이 과정은 부패로 볼 수 있다.이 효과에 대한 설명은 체렌코프 방사선 및 비방사선 조건을 참조하십시오.

방정식

주파수 $d\omega$ $d\omega$ $d\omega$ 의 단위당 입자가 이동한 단위 길이당 방출되는 $dE$ 에너지 $d$ $E$ $dE$ 는 다음과 $d\omega$ 같다.

{\frac {\partial ^{2}E}{\partial \c\\}={\frac{4\pi }}}\mu(\omega )\omega \lift(1-{\frac{c^{2}}:{v^{2}n^{2}(오메가 )\}\}\오른쪽)}}}

그 β)'v'c1n(ω){\displaystyle \beta){\frac{v}{c}}>{\frac{1}{n(\omega)}}}. 여기(ω){\displaystyle \mu(\omega)}과 n(ω){\displaystyle n(\omega)}은 진동수 종속적인 투자율과 매체의 굴절 지수 각각q{\displaystyle q}은 ele μ게 해야 한다.ctric 입자의 전하,

v

{\

displaystyle v

}은

v

입자의 속도,

c

c

은

c

진공 상태의 빛의 속도다.

체렌코프 방사선에는 형광 또는 방출 스펙트럼에 대해 일반적으로 볼 수 있는 특성 스펙트럼 피크가 없다.한 주파수의 상대 강도는 주파수에 대략 비례한다.즉, 체렌코프 방사선에서는 더 높은 주파수(더 높은 파장)가 더 강렬하다.눈에 보이는 체렌코프 방사선이 찬란한 파란색으로 관측되는 이유다.사실, 대부분의 체렌코프 방사선은 자외선 스펙트럼에 있다; 인간의 눈의 민감도는 녹색으로 최고조에 달하며, 스펙트럼의 보라색 부분에서 매우 낮다.

단위 길이당 복사되는 에너지의 총량은 다음과 같다.

{\frac {dE}{dx}}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)\,d\omega

이 적분은 입자의 $속도$ v $v$ 이 $v$ (가) 미디어 ${\textstyle {\frac {c}{n(\omega )}}}$ ${\textstyle {\frac {c}{n(\omega )}}}$ ( ${\textstyle {\frac {c}{n(\omega )}}}$ ) ${\$ 의 빛 속도보다 큰 주파수 $\omega$ $\omega$ $\omega$ 에 걸쳐 수행된다 ${\textstyle {\frac {c}{n(\omega )}}}$ 높은 주파수에서 굴절 지수가 단합보다 작아지기 때문에 적분은 수렴(마인)이다.그리고 매우 높은 주파수의 경우 그것은 단합이 된다.^{[note 1]}^{[note 2]}

Frank-Tamm 공식 파생

상대론적으로 x{\displaystyle)}-axis을 따라에 중간 치수가 굴절 지수와 n(ω))ε(ω){\textstyle n(\omega)={\sqrt{\varepsilon)}}}[주 3]일정한 속도 v→과 함께 가고 있는)(v, 0,0){\displaystyle{\vec{v}}=(v,0,0)}. 맥스웰의 방정식을(전에 출발하다 하전 입자를 생각해 보자. 가우스 단위) 파형 형태(로렌츠 게이지 조건이라고도 함)에서 푸리에 변환을 취한다.

\left(k^{2}-{\frac {\omega^{2}}:}\varepsilon (\omega )\오른쪽)\Phi({\vec{k},\omega )={\frac {4\pi }{\barepsilon (\omega )}}\rho({\vec {k},\omega )}

\left(k^{2}-{\frac {\omega^{2}}:}\varepsilon (\omega )\오른쪽){\vec {A}({\vec {k},\omega )={\frac {4\pi }{c}{\vec {k},\omega )

For a charge of magnitude $ze$ (where $e$ is the elementary charge) moving with velocity $v$ , the density and charge density can be expressed as $\rho ({\vec {x}},t)=ze\delta ({\vec {x}}-{\vec {v}}t)$ $\rho ({\vec {x}},t)=ze\delta ({\vec {x}}-{\vec {v}}t)$ 및 ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ → ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ ( ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ → ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ , ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ ) ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ = v ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ → ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ → ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ , ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$ ) ${\displaystyle {\bec{J}}({\vec {{x},t)={\vec}\rho({\vec}},t$ 푸리에 변환을 수행하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

\rho({\vec{k},\omega )={\frac {ze}{2\pi }\pi }\pa(\omega -{\vec}\cdot{\v})}

{\vec{k},\omega )={\vc}\rho({\vec {k},\omega )

이 밀도와 전하 전류를 파동 방정식으로 대체하면 푸리에 양식 전위를 해결할 수 있다.

\Phi({\vec {k},\omega )={\frac {2ze}{\barepsilon(\obega )}{\delta(\omega -{\vec}\cdot {\v})}}{k^{2}-{\frac {\omega^{2}}:{c^{2}}:\varepsilon (\omega )}}}

그리고

{\vec{k},\omega )=\varepsilon(\omega){\frac {\v}}\Phi({\vec{k},\omega )

전자기장의 정의를 전위적인 관점에서 사용함으로써, 우리는 전기장과 자기장의 푸리에 형태를 갖게 된다.

{\vec{k},\omega )=i\좌({\frac {\omega \varepsilon (\omega )}{c}{\vc}-{\vec}\우)\Phi({\vec{k},\omega )

그리고

{\vec{k},\omega )=i\varepsilon (\omega ){\vc}\time {\frac{\vc}}\Phi({\vec{k},\omega )

복사 에너지를 찾기 위해 $(0,b,0)$ 우리는 ( $(0,b,0)$ , b $(0,b,0)$ , $(0,b,0)$ )에서 $(0,b,0)$ (0 , b , 0 ) {\displaystyle ( $0,b,0)}$ 과 같이 입자 궤적으로부터 어느 정도 수직 거리에서 주파수 함수로 간주한다 $(0,b,0)$ $b$ 서 b $b$ 은 $b$ 충격 파라미터다.이 값은 역 푸리에 변환에 의해 주어진다.

{\vec{{E}(\omega )={\frac {1}{1}{{3/2}}:\int d^{3/2}}:k\,{\vec{k},\omega )e^{2}}:

먼저 전기장의 $x$ $E_{1}$ $x$ -component $x$ $E_{1}$ $E_{1}$ ${\$ 를 계산한다( ${\vec {v}}$ → ${\$

E_{1}(\omega )={\frac {2ize}{\varepsilon (\omega )(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,e^{ibk_{2}}\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )v}{c^{2}}}-k_{1}\right){\frac {\delta (\omega -vk_{1})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}

For brevity we define ${\textstyle \lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\left(1-\beta ^{2}\varepsilon (\omega )\right)}$ . Breaking the integral apart into $k_{1},k_{2},k_{3}$ $k_{1},k_{2},k_{3}$ , $k_{1},k_{2},k_{3}$ $k_{1},k_{2},k_{3}$ , $k_{1},k_{2},k_{3}$ k $k_{1},k_{2},k_{3}$ ${\$ $k_{1}$ $k_{1}$ ${\$ }}, dirac Delta의 정의로 즉시 통합할 $k_{1}$ 수 있다.

{\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {2ize\omega }{v^{2}(2\pi )^{3/2}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }=dk_{2}\,e^{ibk_{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dk_{3}}{k_{2}^{2}+k_{3}}^{2}+\lamb다 ^{2}}:

$k_{3}$ ${\$ 에 대한 적분 값은 $k_{3}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$ ( ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$ + ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$ ) ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$ / ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$ ${\$ }이다. $}}^{2}\오른쪽)^{1/2$ }}, 다음을 부여한다 ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$

E_{1}(\omega )=-{\frac {ize\omega }{v^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}{\frac {e^{ibk_{2}}}{(\lambda ^{2}+k_{2}^{2})^{1/2}}}

$k_{2}$ ${\$ }}의 마지막 적분은 수정된 (Macdonald) Besel 함수의 형태로 평가된 $k_{2}$ 병렬 구성요소를 다음과 같은 형태로 제공한다.

E_{1}(\omega )=-{\frac {ize\omega }{v^{2}}:}\왼쪽({\frac {2}{\pi }\오른쪽)^{1/2}\{\frac {1}{\barepsilon(\omega )-\{{2}\오른쪽)K_{0}(\lambda b)

다음 항목에 도달하는 다른 필드 구성요소에 대해서도 유사한 계산 패턴을 따를 수 있다.

E_{2}(\omega )={\frac {ze}{v}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {\lambda }{\varepsilon (\omega )}}K_{1}(\lambda b),\quad E_{3}=0\quad

and

{\di

splaystyle \quad B_{1}=B_{2}=0,\quad B_{3}(\omega )=\varepsilon(\omega )\beta E_{2}(\omega )}

이제 입자당 $dE$ 복사 에너지 $d$ $E$ ${\$ $displaystyle dx_{\text{particle}}$ 을 $($ 를) $dx_{\text{particle}}$ 할 수 있다 $dx_{\text{particle}}$ 전자파 에너지 흐름 $P_{a}$ $P_{a}$ ${\$ 를 통해 반경 $a$ $a$ au의 $a$ 무한 실린더 표면을 통해 $P_{a}$ 표현할 수 있다.nd Poynting 벡터 $\mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]$ = c / ( $\mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]$ $\mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]$ ) [ E $\mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]$ $\mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]$ ${\displaystyle \mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times$ \mathbf \times $\mathbf {H}}}}$ 의 적분으로 실린더 표면 위에 주어지는 $\mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]$ 경로:

\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {1}{v}}P_{a}=-{\frac {c}{4\pi v}}\int _{-\infty }^{\infty }2\pi aB_{3}E_{1}\,dx

한 순간의 $dx$ $d$ x{\ $displaystyle dx}$ 에 대한 적분은 한 시점에 모든 시간에 걸쳐 적분과 동일하다. $dx=v\,dt$ $dx=v\,dt$ = $dx=v\,dt$ $dx=v\,dt$ $dx=v\,dt$ $dx=v\,dt$ 사용 $dx=v\,dt$

\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}\right)_{\rad}=-{\frac {ca}{2}}\int_{-\inft }^{\b_{3}(t)E_{1(t)\d},t

주파수 영역으로 변환하는 중:

\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}\오른쪽)_{\rad}=-ca\opername {Re}\left(\int_{0}^{0}}{0}^{{}}}}^{*}(\omega ){1}\1}, domega)\, domega\

체렌코프 방사선의 영역으로 들어가기 위해, 이제 우리는 매질에서 원자 거리보다 훨씬 $b$ 더 큰 수직 $거리$ b ${\$ $displaystyle$ $b},$ 즉 $|\lambda b|\gg 1$ b $\lambda b \g1}$ 을 고려한다 $|\lambda b|\gg 1$ 이러한 가정으로 베셀 함수를 점증하지 않는 형태로 확장할 수 있다.

E_{1}(\omega )\오른쪽 화살표 {\frac {ize\omega }{c^{2}}:}\좌측(1-{\frac {1}{1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}\우측){\frac{-\lambda b}}}{sqrt}}}}}}}}}}}}}}}}}}

E_{2}(\omega )\rightarrow {\frac {ze}{v\varepsilon (\omega )}}{\sqrt {\frac {\lambda }{b}}}e^{-\lambda b}

and

B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )

따라서 다음과 같다.

\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{2}e^{2}}{c^{2}}}\left(-i{\sqrt {\frac {\lambda ^{*}}{\lambda }}}\right)\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right)e^{-(\lambda +\lambda ^{*})a}\,d\omega \right)

$\lambda$ $\lambda$ 이(가) 양의 실제 부분(일반적으로 참)을 가지고 $\lambda$ 있다면, 지수화되면 표현이 먼 거리에서 빠르게 사라지게 되어 모든 에너지가 경로 근처에 퇴적된다는 것을 의미한다.그러나 $\lambda$ $\lambda$ 이(가) 순전히 가상인 경우에는 $\lambda$ 사실이 아니다. 대신 지수수를 1이 되게 한 다음 $a$ 과 $a$ 와) 독립적이어서 에너지의 일부가 방사선으로 무한대로 빠져나간다는 것을 의미한다. 이것이 체렌코프 방사선이다.

만약ε(ω){\displaystyle \varepsilon(\omega)}과 β 2ε(ω)을이 진짜인지λ{\lambda\displaystyle}순전히>1{\displaystyle\beta ^{2}\varepsilon(\omega)> 1}. 때ε(ω){\displaystyle \varepsilon(\omega)}현실은 체렌코프 복사 등의 조건을 v>, 요리 ε(ω은 오히려 상상의 것이다. ) ${\textstyle v>{\frac {c}{{\sqrt {\varepsilon (\omega }})}}={\frac {c}{n}}}$ c ${\textstyle v>{\frac {c}{{\sqrt {\varepsilon (\omega }})}}={\frac {c}{n}}}$ ${\$ 체렌코프 방사선을 가지려면 주파수 $\omega$ {\ $displaystyle \omega }$ 에서 입자의 속도가 매체의 전자기장 위상 속도보다 커야 한다는 진술이다.이 순전히 상상의 $\lambda$ 상태로 $\lambda$ ${\textstyle {\sqrt {{\lambda ^{*}}/{\lambda }}}=i}$ / ${\textstyle {\sqrt {{\lambda ^{*}}/{\lambda }}}=i}$ = i ${\textstyle {\sqrt {{\lambda ^{*}/{\lambda }}}=i}$ 을(으)로 ${\textstyle {\sqrt {{\lambda ^{*}}/{\lambda }}}=i}$ 적분을 단순화할 수 있다.

\left({\frac{dE}{dx_{\text{입자}}}}\right)_{\text{아주 근사한}}={\frac{{2z^}e^{2}}{c^{2}}}\int _{\varepsilon(\omega)>,{\frac{1}{\beta ^{2}}}}\omega \left(1-{\frac{1}{\beta ^{2}\varepsilon(\omega)}}\right)\,d\omega ={\frac{{2z^}e^{2}}{c^{2}}}\int _{v>,{\frac{c}{n(\omega)}}}\omega \left(1-{\frac{{2}}c^{v^{2}n^{2}(\omega)}}.\right)\,d\omega

가우스 단위의 프랭크탐 방정식이다.^[1]

메모들

^ 굴절률 n은 진공에서 전자기 방사 속도의 비율과 매질에서 전자기파의 위상 속도의 비율로 정의되며 특정 상황에서 1 미만이 될 수 있다.자세한 내용은 굴절률을 참조하십시오.
^ 굴절률은 공진 주파수 근처에서 일률 미만이 될 수 있지만, 극히 높은 주파수에서 굴절률은 일치가 된다.
^ 단순성을 위해 자기 투과성 $\mu (\omega )=1$ ) $\mu (\omega )=1$ = $\mu (\omega )=1$ ${\displaystyle \mu(\omega )=1$
^ 푸리에 변환에는 엔지니어링 표기법을 사용하며 $1/{\sqrt {2\pi }}$ 서 1 $1/{\sqrt {2\pi }}$ / 2 $1/{\sqrt {2\pi }}$ ${\$ 1 $/{\sqrt {2\pi }}$ 인자가 직접 $1/{\sqrt {2\pi }}$ 변환과 역 변환 모두에서 나타난다.

참조

^ Jackson, John (1999). Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons, Inc. pp. 646–654. ISBN 978-0-471-30932-1.

Mead, C. A. (1958). "Quantum Theory of the Refractive Index". Physical Review. 110 (2): 359. Bibcode:1958PhRv..110..359M. doi:10.1103/PhysRev.110.359.
Cerenkov, P.A. (1937). "Visible Radiation Produced by Electrons Moving in a Medium with Velocities Exceeding that of Light". Physical Review. 52 (4): 378. Bibcode:1937PhRv...52..378C. doi:10.1103/PhysRev.52.378.

외부 링크

체렌코프 방사선 ('프랭크-탐 공식'으로 표기)

[1] 굴절률 n은 진공에서 전자기 방사 속도의 비율과 매질에서 전자기파의 위상 속도의 비율로 정의되며 특정 상황에서 1 미만이 될 수 있다.자세한 내용은 굴절률을 참조하십시오.

[2] 굴절률은 공진 주파수 근처에서 일률 미만이 될 수 있지만, 극히 높은 주파수에서 굴절률은 일치가 된다.

[3] 단순성을 위해 자기 투과성 $\mu (\omega )=1$ ) $\mu (\omega )=1$ = $\mu (\omega )=1$ ${\displaystyle \mu(\omega )=1$

[4] 푸리에 변환에는 엔지니어링 표기법을 사용하며 $1/{\sqrt {2\pi }}$ 서 1 $1/{\sqrt {2\pi }}$ / 2 $1/{\sqrt {2\pi }}$ ${\$ 1 $/{\sqrt {2\pi }}$ 인자가 직접 $1/{\sqrt {2\pi }}$ 변환과 역 변환 모두에서 나타난다.

[5] Jackson, John (1999). Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons, Inc. pp. 646–654. ISBN 978-0-471-30932-1.

[note 1]

[note 2]

[1]

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