푸리에 대수

이 글은 인용 방식이 불분명하다. 사용된 참조는 서로 다르거나 일관된 스타일의 인용과 발소리를 사용하여 더 명확하게 할 수 있다.(2012년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

푸리에와 관련 알헤브라는 국소 콤팩트 그룹의 조화 분석에서 자연적으로 발생한다.그들은 이들 집단의 이중성 이론에서 중요한 역할을 한다.푸리에-스티엘트제스 대수학 및 푸리에-스티엘트제스 변환은 1964년 피에르 에마르에 의해 도입되었다.

정의

비공식적

G를 지역적으로 콤팩트한 아벨리안 그룹이 되게 하고, G의 이중 그룹 Ⅱ가 되게 한다.그러면 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle G\stackrel{}{\mathit{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$) ${\displaystyle L_{1}({\hat{\mathit{G}}})$은 ĝ에 있는 모든 함수의 공간이며, on에 대한 하르 측정에 관하여 통합이 가능하며, 두 함수의 곱이 콘볼루션인 바나흐 대수 구조를 가지고 있다.We define ${\displaystyle A(G)}$ to be the set of Fourier transforms of functions in ${\displaystyle L_{1}({\hat {\mathit {G}}})}$, and it is a closed sub-algebra of ${\displaystyle CB(G)}$, the space of bounded continuous complex-valued functions on G with pointwise multiplication.$우리$는 A${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle A(G)}$을 G의 푸리에 대수학이라고 부른다.

마찬가지로 ĝ에 측정 대수 $M$${\displaystyle (G\stackrel{}{\mathit{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$) ${\displaystyle$ M$({\hat {\mathit{G}})$을 쓰는데, 이는 ĝ에 대한 모든 유한 정규 보렐 측정값의 공간을 의미한다.$우리$는 B${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle B(G)}$을(를) $M{\displaystyle }$( ${\displaystyle G\stackrel{}{\mathit{}}^)}$ ${\displaystyle M({\hat {\mathit{G}}})$의 측정값의 집합으로 정의한다$.$C ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle CB(G)}$의 닫힌 하위 앨지브라로$,$ G에 점 곱으로 경계된 연속 복합 값 함수의 공간이다.우리는 $B{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle B(G)}$을 G의 푸리에-스티엘트제스 대수라고 부른다. 동등하게, $B{\displaystyle }$( G${\displaystyle )}$ ${\displaystyle B(G)}$는 G의 연속 양성-확정함수의 집합$$ $P{\displaystyle }$(${\displaystyle G)}${\$displaysty P(G)$의 선형경간으로 정의할 수 있다$$.^[1]

Since ${\displaystyle L_{1}({\hat {\mathit {G}}})}$ is naturally included in ${\displaystyle M({\hat {\mathit {G}}})}$, and since the Fourier-Stieltjes transform of an ${\displaystyle L_{1}({\hat {\mathit {G}}})}$ function is just the Fourier transform of that funct이온, ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 A${\displaystyle }$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle$ A$(G)\subset B(G)}$을 가지고 있다$.$ 사실 $A{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle A(G)}$은 $B{\displaystyle }$( G${\displaystyle )}$ ${\displaystytle B(G)}$에서 폐쇄적 이상이다$.$

격식

$){\displaystyle$ B$({\mathit{G}})$는 푸리에-스티엘트제스 대수, $){\displaystyle A({\mathit{G}}}})$는 푸리에 대수로서$$, 국소 콤팩트 $그룹{\displaystyle \mathit{}}$ G$${\$displaystystyle${\$mathit{G}}}$은 아벨리안이다.Let ${\displaystyle M({\widehat {\mathit {G}}})}$ be the measure algebra of finite measures on ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ and let ${\displaystyle L_{1}({\widehat {\mathit {G}}})}$ be the convolution algebra of integrable functions on ${\displaystyle {\wideha$$t{G$ 여기서 $G{\displaystyle \stackrel{}{\mathit{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\${\$widehat${\$mathit{G}}}$은(는) 아벨 그룹 $G{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 문자 그룹이다$.$

$G{\displaystyle \stackrel{}{\mathit{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$의 유한 측정 $\mu {\displaystyle }$} ${\$$displaystyle$ $\$$mu}$의 Fourier-Stieltjes 변환은 다음과 같이 정의된$$ $G$ ${\$ {$G}$의 함수 $\mu {\displaystyle \hat{}}$ ${\$d}이다$$.

${\displaystyle {\widehat {\mu(x)}=\int_{\widehat {G}{\overline {X(x)}\,d\mu(X)\quad x\in G}$

The space ${\displaystyle B({\mathit {G}})}$ of these functions is an algebra under pointwise multiplication is isomorphic to the measure algebra ${\displaystyle M({\widehat {\mathit {G}}})}$. Restricted to ${\displaystyle L_{1}({\widehat {\mathit {G}}})}$, viewed as a subspaceof ${\displaystyle M({\widehat {\mathit {G}}})}$, the Fourier–Stieltjes transform is the Fourier transform on ${\displaystyle L_{1}({\widehat {\mathit {G}}})}$ and its image is, by definition, the Fourier algebra ${\displaystyle A({\mathit {G}})}$.일반화된 보치너 정리는 $G{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$에 대한 측정 가능한 함수가 양성이 확실한 경우에만$$ $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 대한 비 음의 유한 척도의 푸리에-스티엘트제스 변환과 거의 모든 곳에서 동일하다고$$ 명시하고 있다.따라서 $){\displaystyle$ B$({\$$mathit{G}}}}$은$($는) $G{\displaystyle \mathit{}}$ {\$displaystyle$ {\$mathit{G$}}}}에 대한 연속적인 양의 정의 함수 집합의 선형 스팬으로 정의할$$ 수 $있다{\displaystyle \mathit{}}$$.$ 이 정의는 G$${\$displaystystyle {\mathit {G}$이 아벨리안이 아닌$$ 경우에도 유효하다.

헬슨-카하인-카츠넬슨-루딘 정리

A(G)를 콤팩트 그룹 G의 푸리에 대수학으로 한다.비너, 레비, 겔프랜드, 그리고 뷰링의 작업을 바탕으로 1959년 헬슨, 카하네, 캣즈넬슨, 루딘은 G가 콤팩트하고 아벨리안일 때, f가 진짜 분석적인 경우에만 A(G)에서 비행기의 닫힌 볼록 부분 집합에 정의된 함수 f가 작동한다는 것을 증명했다.^[2]1969년 던클은 G가 작고 무한 아벨의 하위 그룹을 포함하고 있을 때 그 결과가 유지된다는 것을 증명했다.

참조

• "콤팩트 그룹의 푸리에 대수학에서 작동하는 기능" 찰스 F.미국수학회의 던클 프로시저 21권, 제3권 (1969년 6월), 페이지 540–544.안정적인 URL:[1]
• "이별 그룹의 푸리에 대수학에서 작동하는 기능" 레오네 드 미켈레; 파올로 M.Soardi, 미국수학협회의 의사록, 제45권, 제3권 (1974년 9월), 페이지 389–392.안정적인 URL:[2]
• "Fourier-Stieltjes Jezbras의 통일폐쇄", Ching Chou, 미국수학회의 의사진행, 제77권, 제1권 (1979년 10월), 페이지 99–102.안정적인 URL: [3]
• "아메나블 그룹의 푸리에 대수 중심자", P. F. 레나우드, 미국수학협회 회보, 32권, 2권 (1972년 4월), 539–542페이지.안정적인 URL: [4]