공식 평활도

대수 기하학 및 정류 대수학에서 링 $동형상{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle$ f$:$$A\to B}$이(가) 다음과 같은 최소 리프팅 특성을 만족하는 경우 정식으로 매끄러운(프랑스어: Formellement lise)이라고 부른다$$.

B가 지도 f를 통해 A-알지브라 구조를 제공받는다고 가정하자.Given a commutative A-algebra, C, and a nilpotent ideal ${\displaystyle N\subseteq C}$, any A-algebra homomorphism ${\displaystyle B\to C/N}$ may be lifted to an A-algebra map ${\displaystyle B\to C}$. If moreover any such lifting is unique, then f is said to be formally étale.^[1][2]

공식적으로 평탄한 지도는 알렉산더 그로텐디크에 의해 규정되었다: Eléments de Géomettrie Algébrique IV.

정밀하게 제시된 형태론의 경우, 형식적인 부드러움은 평소의 부드러움 개념과 동등하다.

예

부드러운 형태론

모든 부드러운 $형태변환{\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle S}${\$displaystyle f:X\to$ S$}$은 공식적으로 부드러운 유한 표시의 국소적 형태변환과 동등하다.따라서 형식적인 부드러움은 부드러운 형태론을 약간 일반화한 것이다.^[3]

비예시

체계의 공식적인 부드러움을 감지하는 한 가지 방법은 최소한의 리프팅 기준을 사용하는 것이다.예를 들어, 절단 $형태론{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$[ t${\displaystyle }$]${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$3 )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle k}$[ ${\displaystyle t}$]${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( t ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle k[t]/(t^{3})\to k[t]/(t^{2})}$을 사용하여 최소 리프팅 기준을 정류 제곱을 사용하여 설명할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\text{Spec}\왼쪽({\frac {k[x]}{(x^{2})}\오른쪽)\\\downarrow &&\downarrow \\\S&\leftarrow &{{\text}}\왼쪽({\frac {k[x]}{{3}}}}\오른쪽)\end{matrix}}}}}}}$

여기서 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$/ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,S\in Sch/S$ 예:

${\displaystyle X}$= ${\displaystyle \text{Spec}(\frac{k}{}}$[ ${\displaystyle \frac{x}{}}$, y ${\displaystyle \frac{]}{}}$( x ${\displaystyle \frac{y}{}}$)${\$및$$ $Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{Spec}(k}$) ${\displaystyy$ Y$={\text}(k)}$

그런 다음 링 형태론에 의해 주어진$$ 원점(${\displaystyle 0},{\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm{X}(k}$) ${\displaystyle X(}$k${\displaystyle )}$ ${\displaystyle(0,0)\in$ X$(k)}$에서 접선 벡터를 고려한다.

${\displaystyle {\frac {k[x,y]}{(xy)}}}}}\to {\frac {k[t]}{(t^{2})}}}}}}$

보내기

${\displaystyle {\regated}x&\mapsto \varepsilon \\y&\mapsto \varepsilon \ended}}}}$

$참고$로 x ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}2}$ = 0 ${\displaystyle xy\mapsto \varepsilon$^{$2}=0$ 이것은 정류 링의 유효한 형태론이다.그리고, 이런 형태론의 해제가

${\displaystyle {\text}\왼쪽({\frac {k[t]}{{(t^{3}}}\오른쪽)\X}$

형식이다

${\displaystyle {\regated}x&\mapsto \varepsilon +a\a\varepsilon ^{2}\y&\mapsto \varepsilon +b\b\varepsilon ^{2}\ended}}}}}$

and ${\displaystyle xy\mapsto \varepsilon ^{2}+(a+b)\varepsilon ^{3}=\varepsilon ^{2}}$, there cannot be an infinitesimal lift since this is non-zero, hence ${\displaystyle X\in Sch/k}$ is not formally smooth.이것은 또한 이러한 형태론이 한정된 표현에서 국소적으로 평탄한 형태론과 평탄한 형태론 사이의 동등성으로부터 매끄럽지 않다는 것을 증명한다.

참고 항목

• 이중수
• 부드러운 형태론
• 변형 이론

참조

외부 링크

• 매끄러운 섬유로 공식적으로 부드럽지만 매끄럽지 않다. https://mathoverflow.net/q/333596
• 공식적으로 부드럽지만 부드럽지는 않다. https://mathoverflow.net/q/195