약한 치수

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In abstract algebra, the weak dimension of a nonzero right module M over a ring R is the largest number n such that the Tor group ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$ is nonzero for some left R-module N (or infinity if no largest such n exists), and the weak dimension of a left R-module is defined simi라를리. 약한 차원은 앙리 카르탄과 사무엘 에일렌베르크(1956, 페이지 122)에 의해 소개되었다.약한 치수는 평면 모듈에 의한 모듈 분해능의 최단 길이여서 평면 치수라고도 한다.모듈의 약한 치수는 그것의 투영 치수와 기껏해야 같다.

링의 약한 글로벌 치수는 ${\displaystyle {Torn}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (M , N ) {\$displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$이(가) 일부 오른쪽 R-모듈 M과 왼쪽 R-모듈 N에 대해 0이 아닌$$ 수처럼 가장 큰 n이다.이처럼 큰 숫자 n이 없다면 취약한 글로벌 차원은 무한하다고 정의된다.그것은 링 R의 왼쪽 또는 오른쪽 글로벌 치수와 최대 동일하다.

예

• 링$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {Q}$에 대한 합리적인 숫자의 $모듈$ Q ${\$$displaystyle \mathb$ {$Z}$은$($는) 치수 0이 약하지만 투영 치수 1이 있다.
• 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$${Q} /\mathb${$Z}$ 위에$$ 있는 모듈 $/$는 치수 1이 약하지만 주입 치수 0이(가) 있다$$.
• 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {Z$$}$ 위에$$ 있는 모듈 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle \mathb$ {Z}은$($는) 약한 치수 0이지만 주입 치수 1을 가지고 있다$$.
• Prufer 도메인은 기껏해야 1에 약한 글로벌 차원을 가지고 있다.
• Von Neumann의 일반 링은 전지구적 차원 0이 약하다.
• 무한히 많은 분야의 산물은 글로벌 치수 0이 약하지만 글로벌 치수는 0이 아니다.
• 만약 반지가 오른쪽 노메테리아라면, 오른쪽 글로벌 차원은 약한 글로벌 차원과 같으며, 기껏해야 왼쪽 글로벌 차원이다.특히 반지가 오른쪽과 왼쪽 노메테리아인이라면 좌우의 글로벌 치수와 약한 글로벌 치수는 모두 같다.
• 삼각형 행렬 링[ Q ${\$은(는) 오른쪽 글로벌 치수 1, 약한 글로벌 치수 1, 왼쪽 글로벌 치수 2를 가지고 있다.오른쪽은 노에테리아지만, 왼쪽은 노에테리아다.

참조

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956), Homological algebra, Princeton Mathematical Series, vol. 19, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5, MR 0077480
• Năstăsescu, Constantin; Van Oystaeyen, Freddy (1987), Dimensions of ring theory, Mathematics and its Applications, vol. 36, D. Reidel Publishing Co., doi:10.1007/978-94-009-3835-9, ISBN 9789027724618, MR 0894033